104年身障生升大學-數學乙詳解

104 學年度身心障礙學生升學大專校院甄試

甄試類(群)組別：大學組數學乙

單選題，共 20 題，每題 5 分

解答：$$\begin{cases}x\gt 3 &\Rightarrow &x+x-3\lt 3 &\Rightarrow &x\lt 3 矛盾\\ 0\le x\le 3 &\Rightarrow &x+3-x \lt 3 &\Rightarrow  & 3\lt 3 矛盾\\ x\lt 0 &\Rightarrow &-x+3-x \lt 3 &\Rightarrow &x\gt 0矛盾\end{cases} \Rightarrow 無解，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$f(x)= 3x^3+x^2+x-2 \Rightarrow \cases{f(-1)=-3+1-1-2=1 \ne 0\\ f(1/3) = 1/9+1/9+1/3-2 \ne 0\\ f(2/3)= 24/27+4/9+2/3-2=54/27-2=0\\ f(1)= 3+1+1-2=3\ne 0} \\ \Rightarrow x=2/3為f(x)=0的根，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$ f(1)=f(3)=0 \Rightarrow f(x)=(x-1)(x-3)(ax+b)，再將\cases{ f(0)=3\\ f(2)=-3} 代入f(x)\\ \Rightarrow \cases{3b=3\\ -(2a+b)=-3} \Rightarrow \cases{ a=1\\b=1} \Rightarrow f(x)=(x-1)(x-3)(x+1) \\\Rightarrow x^2的係數= -1-3+1=-3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{A(2,\log 2)\\ B(a,10^a)\\ L:y-x=0} \Rightarrow \cases{\overline{AB} 斜率m_1={10^a-\log 2\over a-2} \\ L:斜率m_2=1}; \\由於L\bot \overline{AB} \Rightarrow m_1m_2=-1 \Rightarrow {10^a-\log 2\over a-2}=-1 \Rightarrow 10^a-\log 2+a-2=0；\\令f(a)= 10^a-\log 2+a-2 \Rightarrow \cases{f(0)= -1-\log 2 \ne 0\\ f(1)=9-\log 2 \ne 0\\ f(\log(3/2))=\log (3/4)-1/2\ne 0\\ f(\log 2)=2-\log 2+\log 2-2=0 }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$(A)\log 150= \log ({100\over 2}\times 3) =2-\log 2+\log 3=2-0.301+0.4771 = 2.1761\\ (B)\sqrt 5\approx 2.236\\ (C)a=10^{0.3} \Rightarrow \log a=0.3 \lt \log 2 \Rightarrow a\lt 2\\(D)15/7\approx 2.14\\ 因此\sqrt 5最大，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{三個1、二個3、一個4任意排列有{6!\over 3! 2!} =60種排法\\ 三個1、二個3 任意排列有{5!\over 3! 2!} =10種排法} \\ \Rightarrow 任意排列-4開頭-4結尾=60-10-10=40，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$第2,3次出現(正,反),(反正)或(正,正)就可得獎，機率為0.4\cdot 0.6+0.6\cdot 0.4+ 0.4\cdot 0.4=0.64\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$\cases{已感染:p \cases{90\%被驗出已感染\\ 10\%被驗出未感染}\\ 未感染:1-p\cases{10\%被驗已感染\\ 90\%被驗出未感染}} \Rightarrow 被驗出已感染=0.9p+ 0.1(1-p) = 0.26 \\\Rightarrow 0.8p=0.16  \Rightarrow p=0.2 =20\%，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$ \begin{array}{c|ccccccccccc}x_i &0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\y_i & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\x_i^2 &0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\y_i^2 &1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\x_iy_i &0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \\ \Rightarrow \cases{\sum x_i= \sum y_i= \sum x_i^2 =\sum y_i^2=8 \\ \sum x_iy_i=4} \\\Rightarrow r={\sum x_iy_i -(\sum x_i)(\sum y_i)/n\over \sqrt{\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n} \cdot \sqrt{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}} ={4-8\cdot 8/12\over 8-8^2/12 } ={-4/3\over 8/3}=-{1\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$新的平均值a'=(36a+x_{37}) \div 37 \Rightarrow 新的標準差b'= \sqrt{b^2+a^2+x_{37}^2-(a')^2};\\ 其他不一定求得出，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$\cases{L_1:y=\sqrt 3x,斜率m_1=\sqrt 3\\ L_2: x=ky+2,斜率m_2=1/k} \Rightarrow \cases{L_1與x軸交於原點O\\ L_2與x軸交於A\\ L_1與L_2交於B}，依題意\triangle OAB為正三角形\\ \Rightarrow \angle AOB =\angle ABO \Rightarrow m_1=-m_2 \Rightarrow {1\over k}= -\sqrt 3 \Rightarrow k=-\sqrt 3/3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$假設\cases{生產A產品x單位 \\生產B產品y單位} \Rightarrow \cases{需要甲原料2x+4y單位\\ 需要乙原料x+4y單位\\ 需要丙原料x+y單位\\ 利潤為2x+5y}；\\ 因此\cases{0\le 2x+4y\le 72\\ 0\le x+4y\le 60\\ 0\le x+y \le 30} 所圍封閉區域頂點坐標\cases{A(30,0)\\ B(24,6) \\C(12,12)\\ D(0,15)}代入f(x,y)=2x+5y \\\Rightarrow \cases{f(A)=60\\ f(B)=78\\ f(C)=84 \\f(D)=75}\Rightarrow  獲得最大利潤84時，需要\cases{甲原料:2x+4y=72單位，無剩料\\ 乙原料:x+4y=60單位，無剩料\\ 丙原料:x+y=24單位，有剩料}\\ \Rightarrow 丙原料有剩餘，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{\vec u=(1,1)\\ \vec v=(-1,1) \\ \vec n=(x,y)=a\vec u+b\vec v} \Rightarrow \cases{|\vec u|=\sqrt 2\\ |\vec v|=\sqrt 2\\ \vec u\cdot \vec v=0 \Rightarrow \vec u\bot \vec v}\Rightarrow |\vec n|^2 = |a\vec u|^2 +|b\vec v|^2 (畢氏定理) \\\Rightarrow x^2+y^2 = 2a^2+2b^2 \Rightarrow a^2+b^2 ={x^2+y^2\over 2}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$假設長方形\cases{短邊長為a\\長邊長為b} \Rightarrow \cases{\cos 30^\circ = {2^2+2^2 - a^2 \over 2\cdot 2\cdot 2} \Rightarrow {\sqrt 3\over 2} ={8-a^2\over 8} \Rightarrow a^2=8-4\sqrt 3\\[1ex] \cos 150^\circ ={2^2+2^2 - b^2 \over 2\cdot 2\cdot 2} \Rightarrow -{\sqrt 3\over 2} = {8-b^2\over 8} \Rightarrow b^2= 8+4\sqrt 3} \\ \Rightarrow 長方形面積= ab = \sqrt{(8-4\sqrt 3)(8+4\sqrt 3)} =\sqrt{64-48} =4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$(\sqrt 3)^2 =|\vec u+\vec v|^2 = |\vec u|^2+2\vec u\cdot \vec v+ |\vec v|^2 =1+2\vec u\cdot \vec v+ 1 \Rightarrow \vec u\cdot \vec v =1/2 \\ \Rightarrow |\vec u-\vec v|^2 =(\vec u-\vec v )\cdot (\vec u-\vec v) =|\vec u|^2-2\vec u\cdot \vec v+ |\vec v|^2 =1-1+1=1 \Rightarrow |\vec u-\vec v|=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 1 & 2\\0 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right] \Rightarrow \cases{x+y+z =3 \cdots(1)\\ y+z=2\cdots(2)\\ y+z=1\cdots(3)}，由(2)及(3)可知:無解，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：$$\cases{A組:P(5,4),Q(8,3)\\ B組:R(3,3),S(7,2)} \Rightarrow \cases{L_P=過P且斜率為-3/4的直線: y=-3x/4+31/4 \\L_Q=過Q且斜率為-3/4的直線: y=-3x/4+9 \\L_R=過R且斜率為-3/4的直線: y=-3x/4+21/4 \\L_S=過S且斜率為-3/4的直線: y=-3x/4+29/4 } \\ \Rightarrow d(L_P,L_S) = {2\over 5} =0.4 \lt \min\{d(L_P,L_R),d(L_Q,L_R),d(L_Q,L_S)\}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答：$$A=\left[\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}a & b\\1 - a & 1 - b\end{matrix}\right] \\\Rightarrow A^2= \left[\begin{matrix}a^{2} + b \left(1 - a\right) & a b + b \left(1 - b\right)\\a \left(1 - a\right) + \left(1 - a\right) \left(1 - b\right) & b \left(1 - a\right) + \left(1 - b\right)^{2}\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix}0.28 & 0.24\\0.72 & 0.76\end{matrix}\right]\\ \Rightarrow \cases{a^2+b(1-a)= 0.28\\ ab+b(1-b)=0.24} \Rightarrow a^2+b(1-a)=ab+b(1-b)+0.04 \Rightarrow a^2-2ab+b^2=0.04\\ \Rightarrow (a-b)^2=0.04 \Rightarrow a-b=0.2(-0.2 違反a\gt b) \Rightarrow b=a-0.2 \Rightarrow a^2+(a-0.2)(1-a)=0.28\\ \Rightarrow 1.2a=0.48 \Rightarrow a=0.4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：$$顧客與機器各有3種出法，共9種情形，其中3種顧客贏、3種平手、3種顧客輸\\，因此期望值為(2+1-1)\times 3/9=6/9 = 2/3，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答：$$假設出現正面a次、反面b次的期望值為E(a,b)，其中a+b=5；\\由於E(a,b)=-E(b,a)，1\le a,b\le 4，因此只需考慮E(5,0)與E(0,5)；\\ \cases{E(5,0)=820/2^5\\ E(0,5)=-500 /2^5} \Rightarrow E(5,0)+E(0,5) =320/32 =10，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

============================ END ===========================

解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解