國立嘉義高級中學 111 學年度科學班甄選【數學科】試題
一、填充題: (60 分,每題 5 分)
1. 根據內政部營建署《建築物無障礙設施設計規範》, 如右(示意)圖, 坡道和地面(視為水平面)的銳夾角不得超過 5 度。已知某坡道的最高點到地面的高度為 100 公分,試問此坡道的長度至少要多少公分才合乎前述的規範?
(答案四捨五入至整數位,其中sin5∘≈0.0872,cos5∘≈0.9962,tan5∘≈0.0875 )
2. 右圖是一個立體圖形的上視圖,在小方格內標示的號碼是指有多少個小立方體堆疊在這個
小方格上方。試問下列哪一個選項是此上視圖所表示的立體圖形? (單選題)
解答:
由上圖知,故選(A)
解答:
3. 現有兩個三位數𝐴𝐵𝐶 < 𝐷𝐸𝐹,其和為另一個三位數𝑃𝑄𝑅,其中 A , B ,C , D , E , F , P ,Q , R 恰為1 ~ 9的正整數各一個,能滿足此條件的三個三位數並不唯一(如327 + 654 = 981 為其中一種可能性),試求滿足此條件的所有三位數中,能讓其和𝑃𝑄𝑅最小的三位數數對 (𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐸𝐹, 𝑃𝑄𝑅) =?
解答:為了要得到最小的PQR,因此可先假設{A=1D=2R=9,即1BC+2EF=PQ9而9={{C=6F=3⇒176+283=459{C=5F=4⇒×⇒(ABC,DEF,PQR)=(176,283,459)及其他組合,如:C、F交換、B、D交換;
4. 如右(示意)圖,有一正方形𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐸為¯AD上一點, ¯𝐸𝐶與¯𝐷𝐵交於點𝐹,已知Δ𝐷𝐸𝐹與Δ𝐸𝐴𝐵的面積分別是2與16(平方單位),試求正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面積是多少平方單位?
△DEB=△DEC⇒△FEB=△FDC=a;又△ABD=△BCD⇒2+16+a=a+△BCF⇒△BCF=18此外,{¯DF:¯FB=△CDF:△BCF=a:18¯DF:¯FB=△EDF:△BEF=2:a⇒a:18=2:a⇒a=6⇒正方形ABCD面積=36+2a=36+12=48
5. 試將𝑥4+64 因式分解成整係數多項式的乘積。 (若不能分解則請在答案格寫不能分解)
解答:(x2+8)2=x4+16x2+64⇒x4+64=(x2+8)2−16x2=(x2+4x+8)(x2−4x+8)
解答:{an+6=an+5−an+4+an+3−an+2+an+1−anan+7=an+6−an+5+an+4−an+3+an+2−an+1,兩式相加⇒an+7=−an因此{312=7×44+4111=7×15+6⇒{a312=(−1)44a4=a4=21a111=(−1)111a6=−a6=−55⇒a312+a111=21−55=−34解答:a2−b2=111−4a⇒a2+4a+4−b2=115⇒(a+2)2−b2=115⇒(a+b+2)(a−b+2)=115又115=1×115=5×23=23×5=115×1⇒a+b+2a−b+2aba+b1151565711323512921523−−非自然數解1115−−非自然數解⇒a+b=113或21
解答:{6個2⏞222222=13×17094111=6×18+3⇒111個2⏞222⋯22除以13的餘數=222除以13的餘數而222=13×7+1⇒餘數=1
9. 右(示意)圖為一塊長方形壓克力板,圓O與長方形三邊均相切。 先剪去包含圓O的正方形後,在剩下的長方形壓克力板上畫出與三邊均相切的圓O ', 再剪去包含圓O '的正方形後剩下的長方形與原來的長方形壓克力板相似,若剩下的小長方形壓克力板面積是2(平方單位), 試求原來的大長方形壓克力板面積是多少平方單位?
解答:令{¯PB¯BQ=¯AB¯BC=k¯BQ=a⇒¯PB=¯QC=¯RC=ak⇒¯AP=k¯PB=ak2⇒{¯AD=¯AP=ak2¯AD=¯BC=a+ak⇒ak2=a+ak⇒k2−k−1=0⇒k=1+√52又{矩形PBQS=¯PBׯBQ=a2k矩形ABCD=¯ABׯBC=(ak2+ak)(a+ak)⇒矩形PBQS矩形ABCD=1(k+1)2⇒矩形ABCD=矩形PBQS×(k+1)2=2×(3+√52)2=14+6√52=7+3√5
解答:
令D′為D的對稱點,則¯BC為¯DD′的中垂線,因此¯BD′=¯BD=6;又弦¯BD′的中垂線必過圓心O,即¯FD′=¯FB=62=3;此外,對同弧的圓心角是圓周角的兩倍,即∠BOD′=2∠BCD′⇒∠BOG=∠GOD′=θ;由直角△OBF可知:{sinθ=3/5cosθ=4/5⇒cos2θ=cos2θ−sin2θ=725⇒cos(π−2θ)=−725⇒cos∠DOD′=cos(π−2θ)=−725=12+52−¯DD′22⋅1⋅5⇒¯DD′=12√5⇒{¯D′E=6/√5¯DE=6/√5⇒{¯CE=¯D′Etanθ=6/√53/4=8√5¯BE=√62−(6/√5)2=12/√5⇒¯BC=8√5+12√5=20√5=4√5
解答:題目有誤,本題送分
解答:xy=1⇒x2+y2x−y=(x−y)2+2xyx−y=(x−y)2+2x−y=(x−y)+2x−y≥2√(x−y)⋅2x−y=2√2⇒當x−y=2x−y時,有最小值c=2√2而x−y=2x−y⇒x−y=√2(x>y⇒−√2不合)⇒x−1x=√2⇒x2−√2x−1=0⇒x=√2+√62(負值不合)⇒y=1x=√6−√22⇒(a,b,c)=(√6+√22,√6−√22,2√2)
解答:
{¯OP=(a+b)/2¯QP=b⇒¯OQ=a+b2−b=a−b2⇒直角△OQR的股邊¯QR2=(a+b2)2−(a−b2)2=ab⇒¯QR=√ab⇒斜邊¯OR>股邊¯QR,即a+b2>√ab⋯(1)又△RTQ∼△OQR⇒¯TQ¯QR=¯QR¯OR⇒¯TQ=√ab⋅√aba+b2=2aba+b同理,直角△RTQ的斜邊¯QR>股邊¯TQ,即√ab>2aba+b⋯(2)同理,直角△ORS的斜邊¯OS>股邊¯OR,即√a2+b22>a+b2⋯(3)由(1),(2)及(3),可得√a2+b22>a+b2>√ab>2aba+b,故得證。
3. 將平面上(凸)正多邊形的概念拓展到立體空間時可得(凸)正多面體,其條件為:
(i)每個面皆是全等的正𝑛邊形。 (ii)每個頂點皆連接𝑘個邊。
如日常生活常見的骰子即為其中一種(凸)正多面體, 每個面都是正四邊形(即正方形),每個頂點皆連接三個邊。試利用條件(i)、 (ii)推理出空間中應有幾種(凸)正多面體?
(6%, 僅有答案未附理由或使用條件以外公式者僅得部分分數)
解答:正n邊形的內角度數為180(n−2)n,每個頂點有k個正n邊形,因此k×180(n−2)n<360⇒(n−2)k<2n⇒nk−2k−2n−4<4⇒(n−2)(k−2)<4由於n,k皆為自然數,因此共有五組解,即nk形狀33正四面體43正立方體34正8面體53正12面體35正20面體
(1)將圖一、圖二、圖三,三張圖加在一起,每個頂點的新數字都是2n+1;每個圖都有1+2+⋯+n=n(n+1)2個數字,因此Sn+Sn+Sn=n(n+1)2×(2n+1)⇒Sn=n(n+1)(2n+1)6(2)12+32+⋯+992=(12+22+⋯+992)−(22+42+⋯+982)=99∑k=1k2−49∑k=1(2k)2=99∑k=1k2−449∑k=1k2=99⋅100⋅1996−4⋅49⋅50⋅996=328540−4×40425=166650
解答:
解答:
令{¯AE=a¯PB=b¯EM=c¯QC=d,由於¯PB∥¯EM∥¯QC,則BPQC為梯形且¯EM為中線長,因此¯EM=(¯PB+¯QC)÷2,即c=(b+d)÷2,也就是¯PB、¯EM、¯QC成等差;又{△ADE∼△BDP⇒¯AB¯AD=¯AE+¯PB¯AE=a+ba¯AM¯AE=¯AE+¯EM¯AE=a+ca△AFE∼△CFQ⇒¯AC¯AF=¯AE+¯QC¯AE=a+da,由於a+c2=(a+b2+a+d2)÷2因此¯AB¯AD、¯AM¯AE、¯AC¯AF成等差,故得證
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