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2022年4月8日 星期五

111年嘉義高中科學班甄選-數學科詳解

國立嘉義高級中學 111 學年度科學班甄選【數學科】試題

一、填充題: (60 分,每題 5 )

1. 根據內政部營建署《建築物無障礙設施設計規範》, 如右(示意)圖, 坡道和地面(視為水平面)的銳夾角不得超過 5 度。已知某坡道的最高點到地面的高度為 100 公分,試問此坡道的長度至少要多少公分才合乎前述的規範?
(答案四捨五入至整數位,其中sin50.0872cos50.9962tan50.0875 )
解答a100sin5=1000.0872=1146.81147
2. 右圖是一個立體圖形的上視圖,在小方格內標示的號碼是指有多少個小立方體堆疊在這個
小方格上方。試問下列哪一個選項是此上視圖所表示的立體圖形? (單選題)

解答
(A)
3. 現有兩個三位數𝐴𝐵𝐶 < 𝐷𝐸𝐹,其和為另一個三位數𝑃𝑄𝑅,其中 A , B ,C , D , E , F , P ,Q , R 恰為1 ~ 9的正整數各一個,能滿足此條件的三個三位數並不唯一(如327 654 981  為其中一種可能性),試求滿足此條件的所有三位數中,能讓其和𝑃𝑄𝑅最小的三位數數對 (𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐸𝐹, 𝑃𝑄𝑅) =?
解答PQR{A=1D=2R=91BC+2EF=PQ99={{C=6F=3176+283=459{C=5F=4×(ABC,DEF,PQR)=(176,283,459):CFBD
4. 如右(示意)圖,有一正方形𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐸為¯AD上一點, ¯𝐸𝐶¯𝐷𝐵交於點𝐹,已知Δ𝐷𝐸𝐹與Δ𝐸𝐴𝐵的面積分別是2與16(平方單位),試求正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面積是多少平方單位?
解答
DEB=DECFEB=FDC=a;ABD=BCD2+16+a=a+BCFBCF=18{¯DF:¯FB=CDF:BCF=a:18¯DF:¯FB=EDF:BEF=2:aa:18=2:aa=6ABCD=36+2a=36+12=48
5. 試將𝑥4+64 因式分解成整係數多項式的乘積。 (若不能分解則請在答案格寫不能分解)
解答(x2+8)2=x4+16x2+64x4+64=(x2+8)216x2=(x2+4x+8)(x24x+8)
解答{an+6=an+5an+4+an+3an+2+an+1anan+7=an+6an+5+an+4an+3+an+2an+1an+7=an{312=7×44+4111=7×15+6{a312=(1)44a4=a4=21a111=(1)111a6=a6=55a312+a111=2155=34
解答a2b2=1114aa2+4a+4b2=115(a+2)2b2=115(a+b+2)(ab+2)=115115=1×115=5×23=23×5=115×1a+b+2ab+2aba+b11515657113235129215231115a+b=11321
解答{62222222=13×17094111=6×18+311122222213=22213222=13×7+1=1
9. 右(示意)圖為一塊長方形壓克力板,圓O與長方形三邊均相切。 先剪去包含圓O的正方形後,在剩下的長方形壓克力板上畫出與三邊均相切的圓O ', 再剪去包含圓O '的正方形後剩下的長方形與原來的長方形壓克力板相似,若剩下的小長方形壓克力板面積是2(平方單位), 試求原來的大長方形壓克力板面積是多少平方單位?
解答

{¯PB¯BQ=¯AB¯BC=k¯BQ=a¯PB=¯QC=¯RC=ak¯AP=k¯PB=ak2{¯AD=¯AP=ak2¯AD=¯BC=a+akak2=a+akk2k1=0k=1+52{PBQS=¯PBׯBQ=a2kABCD=¯ABׯBC=(ak2+ak)(a+ak)PBQSABCD=1(k+1)2ABCD=PBQS×(k+1)2=2×(3+52)2=14+652=7+35

解答
DD¯BC¯DD¯BD=¯BD=6;¯BDO¯FD=¯FB=62=3BOD=2BCDBOG=GOD=θ;OBF:{sinθ=3/5cosθ=4/5cos2θ=cos2θsin2θ=725cos(π2θ)=725cosDOD=cos(π2θ)=725=12+52¯DD2215¯DD=125{¯DE=6/5¯DE=6/5{¯CE=¯DEtanθ=6/53/4=85¯BE=62(6/5)2=12/5¯BC=85+125=205=45

解答
解答xy=1x2+y2xy=(xy)2+2xyxy=(xy)2+2xy=(xy)+2xy2(xy)2xy=22xy=2xyc=22xy=2xyxy=2(x>y2)x1x=2x22x1=0x=2+62()y=1x=622(a,b,c)=(6+22,622,22)

解答
$$圖A是可以填滿的,如上圖;圖B是不行的,理由可參考科展作品,有點複雜!!$$

解答
{¯OP=(a+b)/2¯QP=b¯OQ=a+b2b=ab2OQR¯QR2=(a+b2)2(ab2)2=ab¯QR=ab¯OR>¯QRa+b2>ab(1)RTQOQR¯TQ¯QR=¯QR¯OR¯TQ=ababa+b2=2aba+bRTQ¯QR>¯TQab>2aba+b(2)ORS¯OS>¯ORa2+b22>a+b2(3)(1),(2)(3)a2+b22>a+b2>ab>2aba+b
3. 將平面上(凸)正多邊形的概念拓展到立體空間時可得(凸)正多面體,其條件為:
(i)每個面皆是全等的正𝑛邊形。 (ii)每個頂點皆連接𝑘個邊。
如日常生活常見的骰子即為其中一種(凸)正多面體, 每個面都是正四邊形(即正方形),每個頂點皆連接三個邊。試利用條件(i)、 (ii)推理出空間中應有幾種(凸)正多面體?
(6%, 僅有答案未附理由或使用條件以外公式者僅得部分分數)
解答n180(n2)nknk×180(n2)n<360(n2)k<2nnk2k2n4<4(n2)(k2)<4n,knk334334853123520

解答
(1)2n+11+2++n=n(n+1)2Sn+Sn+Sn=n(n+1)2×(2n+1)Sn=n(n+1)(2n+1)6(2)12+32++992=(12+22++992)(22+42++982)=99k=1k249k=1(2k)2=99k=1k2449k=1k2=99100199644950996=3285404×40425=166650

解答


{¯AE=a¯PB=b¯EM=c¯QC=d¯PB¯EM¯QCBPQC¯EM¯EM=(¯PB+¯QC)÷2c=(b+d)÷2¯PB¯EM¯QC{ADEBDP¯AB¯AD=¯AE+¯PB¯AE=a+ba¯AM¯AE=¯AE+¯EM¯AE=a+caAFECFQ¯AC¯AF=¯AE+¯QC¯AE=a+daa+c2=(a+b2+a+d2)÷2¯AB¯AD¯AM¯AE¯AC¯AF


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