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2022年5月6日 星期五

111年桃園高中教甄-數學詳解

桃園高中 111 學年度第 1 次教師甄選初試

第一部分填充題:每題 4 分,共 28 分。

1. 全班 42 人搭遊覽車出遊,每位同學事先都安排好座位,上車就坐時,同學依序排隊進入車廂,找好自己的位子,大華第一位進入車廂,他昨晚沒睡好,腦袋昏沉的隨便找一個位子坐,如果他坐到別人的位子(比如阿花),阿花就得隨機找一個位子坐下, 已知全班只有大華有沒睡好的問題, 那麼第 4 位進入車廂的同學坐到自己座位的機率為_____。

解答1P(D)P(BBD)P(CCD)P(BBCCD)=1142142141142140142141140=1142(1+141)14240(1+141)=14142404241=1140=3940
解答0a=x[x]<1x212[x]+11=x212(xa)+11=00a=x212x+1112<1{x212x+11120x212x+110(x11)(x1)01x11x212x+1112<1x2+12x2312<0x212x+23>0x>6+13x<613{6+13<x11[x]=9,10,111x<613[x]=1,2{[x]=1x2=1x=1[x]=2x2=13x=13([13]=32)[x]=9x2=97x=97[x]=10x2=109x=109[x]=11x2=121x=11x=1,97,109,11
解答

α,β,γ,δx4+13x3+17x2+6x+1=01α,1β,1γ,1δ1+13x+17x2+6x3+x4=0f(x)=x4+6x3+17x2+13x+1,f(x)=4x3+18x2+34x+13f(x)f(x)1α2+1β2+1γ2+1δ2=2
解答1+sinxx=cos2x+2x2=12sin2x+2x2sinxx+2(sin2xx2)=0sinxx+2(sinx+x)(sinxx)=0sinxx+2(sinx+x)(sinxx)(sinx+x)=0(sinxx)(2(sinx+x)(sinx+x)+1)=0{sinx=xx=02(sinx+x)(sinx+x)+1>010xπsinx02(sinx+x)(sinx+x)+1>0
解答


{A()=(1,0,0)B()=(0,1/2,3/2)C()O(0,0,0)()OAOB=0¯OA¯OB:AC=2BC{AOC=60BOC=30;¯AB¯OCPOAP:OBP=¯OPsin60:¯OPsin30=3:1=¯AP:¯BPP=(3B+A)/(3+1)=13+1(1,32,32)¯AB=2¯AP=233+1=63+1¯APsin60=¯OPsin456/(3+1)3=¯OP2¯OP=31C=1¯OPP=1(31)(3+1)(1,32,32)=(12,34,34)

解答
Qa,b,c{O(0,0,0)A(0,b,c)B(0,0,c)C(a,0,c)P(0,b,0)R(a,0,0){MAQM=(0,bs,cs),sRNBRN=(at,0,ct+c),tR{MN=(at,bs,ct+cs)PC=(a,b,c)MNPCata=bsb=ct+csc{s=1/3t=1/3{M(0,b/3,c/3)N(a/3,0,2c/3){¯MN=a2+b2+c2/3¯PC=a2+b2+c2¯MN¯PC=13
解答

:{p=0.8q+150p=5.2q0.8q+150=5.2qq=25q=25p=5.2×25=130the producer surplus=ACO=12×25×130=1625

第二部分填充題: 每題 6 分,共 36 分。

解答an+3=5an+27an+1+3anλ35λ2+7λ3=0(λ1)2(λ3)=0λ=1(),3an=C13n+(C2n+C2){a1=1a2=1a3=2{3C2+C2+C3=19C1+2C2+C3=127C1+3C2+C3=2{C1=1/12C2=1/2C3=5/4an=1123n12n+54a50=11235025+54loga50log350log12=50log3(2log2+log3)=50×0.4771(2×0.301+0.4771)=22.7759a50(22+1)=23
解答ann:a1+a2+a3+a4+a5=16anNH5165=H5115an(6)b1b6b1++b6=12b1,b60,b2b51H6124=H68H511×H68=1365×1287=1756755
解答zw+12wi=3i12ˉwi+zz(w1)=i(312(ˉw+w))|z||w1|=|i||312(ˉw+w)|3|w1|=|312(ˉw+w)|3(x1)2+y2=|3x|w=x+yi,x,yR9((x1)2+y2)=(x3)2(x3/4)29/16+y21/2=1{a=3/4b=1/2c=1/4{O(3/4,0)F1(1/2,0)F2(1,0)|w12|=¯PF1,P{P=M=a+c=3/4+1/4=1P=m=ac=3/41/4=1/2(M,m)=(1,1/2)
解答x2+y2=1y=±x2+1=31(x2+1(x2+1))dx=231x2+1dx=[xx2+1+ln(x2+1+x)]|31=23+ln(2+3)2ln(2+1)=232+ln2+32+1=232+ln(22+623)
解答8888^{8888} \lt 10000^{8888} =10^{35552} \Rightarrow 8888^{8888}最多是35553位數\Rightarrow A\lt 9\times 35553=319977\\ \Rightarrow B\le 2+9+9+9+9+9 = 47(此時A=299999) \Rightarrow B的數字和不超過3+9=12(此時B=39)\\ 現在我們要找一個數X,滿足1\le X\le 12且8888^{8888} = X \mod 9\\ 由於\cases{8888 = 5 \mod 9\\ 8888^2 = 7 \mod 9\\ 8888^3 = 8\mod 9 \\ 8888^4 = 4\mod 9\\ 8888^5 = 2\mod 9 \\ 8888^6 =1 \mod 9} \Rightarrow 8888^{8888} =8888^{1481\cdot 6+2} =8888^2 \mod 9 = 7\mod 9\\ \Rightarrow B的數字和= \bbox[red, 2pt]{7}\\註:\href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1975_IMO_Problems/Problem_4}{參考資訊}

解答
\triangle OBC+ \triangle OAC +\triangle OAB= \triangle ABC \Rightarrow {\triangle OBC \over \triangle ABC}+ {\triangle OAC \over \triangle ABC}+ {\triangle OAB \over \triangle ABC}=1 \\ \Rightarrow {\overline{OD}\over \overline{AD}} +{\overline{OE} \over \overline{BE}} +{\overline{OF}\over \overline{CF}} =1 \Rightarrow {4\over a }+{4\over b }+ {4\over c }=1,其中\cases{ \overline{AD} =a=\overline{OA}+4 \\ \overline{BE}=b =\overline{OB}+4\\ \overline{CE}=c = \overline{OC}+ 4} \\ \Rightarrow \cases{{1\over a } +{1\over b } +{1\over c }={ab+bc +ca\over abc} ={1\over 4} \Rightarrow abc=4(ab+bc+ca)=4t (取t=ab +bc+ca) \\a+b+c= 37+4\times 3=49} \\ 假設有一3次多項式f(x),滿足f(x)=0的三根為a,b,c,即\cases{a+ b+c=49\\ ab+bc+ca =t\\ abc=4t},\\則f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)= x^3-49x^2+tx-4t \\ \Rightarrow f(4)=(4-a)(4-b)(4-c) =64-784+4t-4t =-720 \\ \Rightarrow -\overline{OA} \times \overline{OB} \times \overline{OC}= -720 \Rightarrow \overline{OA} \times \overline{OB} \times \overline{OC}= \bbox[red, 2pt]{720}

=============== END ==============

學校未公告計算題題目,解題僅供參考,其他教甄試題及詳解


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