桃園高中 111 學年度第 1 次教師甄選初試
第一部分填充題:每題 4 分,共 28 分。
1. 全班 42 人搭遊覽車出遊,每位同學事先都安排好座位,上車就坐時,同學依序排隊進入車廂,找好自己的位子,大華第一位進入車廂,他昨晚沒睡好,腦袋昏沉的隨便找一個位子坐,如果他坐到別人的位子(比如阿花),阿花就得隨機找一個位子坐下, 已知全班只有大華有”沒睡好” 的問題, 那麼第 4 位進入車廂的同學坐到自己座位的機率為_____。
解答:0≤a=x−[x]<1⇒x2−12[x]+11=x2−12(x−a)+11=0⇒0≤a=x2−12x+11−12<1⇒{x2−12x+11−12≥0⇒x2−12x+11≤0⇒(x−11)(x−1)≤0⇒1≤x≤11x2−12x+11−12<1⇒−x2+12x−2312<0⇒x2−12x+23>0⇒x>6+√13或x<6−√13⇒{6+√13<x≤11⇒[x]=9,10,111≤x<6−√13⇒[x]=1,2⇒{[x]=1⇒x2=1⇒x=1[x]=2⇒x2=13⇒x=√13(不合,[√13]=3≠2)[x]=9⇒x2=97⇒x=√97[x]=10⇒x2=109⇒x=√109[x]=11⇒x2=121⇒x=11⇒x=1,√97,√109,11
解答:
α,β,γ,δ為x4+13x3+17x2+6x+1=0的四根⇒1α,1β,1γ,1δ為1+13x+17x2+6x3+x4=0的四根令f(x)=x4+6x3+17x2+13x+1,則f′(x)=4x3+18x2+34x+13利用長除法求f′(x)f(x),見上圖,可得1α2+1β2+1γ2+1δ2=2
解答:1+√sinx−√x=cos2x+2x2=1−2sin2x+2x2⇒√sinx−√x+2(sin2x−x2)=0⇒√sinx−√x+2(sinx+x)(sinx−x)=0⇒√sinx−√x+2(sinx+x)(√sinx−√x)(√sinx+√x)=0⇒(√sinx−√x)(2(sinx+x)(√sinx+√x)+1)=0⇒{√sinx=√x⇒x=02(sinx+x)(√sinx+√x)+1>0⇒只有1實根0≤x≤π⇒sinx≥0⇒2(sinx+x)(√sinx+√x)+1>0
解答:
解答:
令{A(甲)=(1,0,0)B(乙)=(0,1/2,√3/2)C(丙)O(0,0,0),甲、乙、丙皆在地球表面上,最短路徑也在表面上(不能挖地道)又→OA⋅→OB=0⇒¯OA⊥¯OB,再由題意知:⌢AC=2⌢BC,因此{∠AOC=60∘∠BOC=30∘;令¯AB與¯OC交於點P,則△OAP:△OBP=¯OPsin60∘:¯OPsin30∘=√3:1=¯AP:¯BP⇒P=(√3B+A)/(√3+1)=1√3+1(1,√32,32)又¯AB=√2⇒¯AP=√2⋅√3√3+1=√6√3+1⇒¯APsin60∘=¯OPsin45∘⇒√6/(√3+1)√3=¯OP√2⇒¯OP=√3−1⇒C=1¯OPP=1(√3−1)(√3+1)(1,√32,32)=(12,√34,34)


解答:
假設Q為原點,長寬高分為a,b,c,因此{O(0,0,0)A(0,b,c)B(0,0,c)C(a,0,c)P(0,b,0)R(a,0,0)⇒{M∈↔AQ⇒M=(0,bs,cs),s∈RN∈↔BR⇒N=(at,0,−ct+c),t∈R⇒{→MN=(at,−bs,−ct+c−s)→PC=(a,−b,c),→MN∥→PC⇒ata=−bs−b=−ct+c−sc⇒{s=1/3t=1/3⇒{M(0,b/3,c/3)N(a/3,0,2c/3)⇒{¯MN=√a2+b2+c2/3¯PC=√a2+b2+c2⇒¯MN¯PC=13
解答:這是經濟學上見常見的問題:{需求p=−0.8q+150供應p=5.2q,供需平衡⇒−0.8q+150=5.2q⇒q=25⇒當q=25達成供需平衡,此時p=5.2×25=130⇒the producer surplus=△ACO面積=12×25×130=1625
第二部分填充題: 每題 6 分,共 36 分。
解答:an+3=5an+2−7an+1+3an⇒λ3−5λ2+7λ−3=0⇒(λ−1)2(λ−3)=0⇒λ=1(重根),3⇒an=C13n+(C2n+C2)將初始值{a1=1a2=1a3=2代入⇒{3C2+C2+C3=19C1+2C2+C3=127C1+3C2+C3=2⇒{C1=1/12C2=−1/2C3=5/4⇒an=1123n−12n+54⇒a50=112⋅350−25+54⇒loga50≈log350−log12=50log3−(2log2+log3)=50×0.4771−(2×0.301+0.4771)=22.7759⇒a50為(22+1)=23位數解答:令an為第n次連續下雨的天數,依題意:a1+a2+a3+a4+a5=16,其中an∈N,因此共有H516−5=H511組解;接著在5個an的間隔中(共6個間隔),分別插入b1−b6,並符合b1+⋯+b6=12,其中b1,b6≥0,b2−b5≥1,因此有H612−4=H68組解;總共有H511×H68=1365×1287=1756755
解答:zw+12wi=3i−12ˉwi+z⇒z(w−1)=i(3−12(ˉw+w))⇒|z||w−1|=|i||3−12(ˉw+w)|⇒3|w−1|=|3−12(ˉw+w)|⇒3√(x−1)2+y2=|3−x|,其中w=x+yi,x,y∈R⇒9((x−1)2+y2)=(x−3)2⇒(x−3/4)29/16+y21/2=1為一橢圓⇒{a=3/4b=1/√2⇒c=1/4⇒{中心O(3/4,0)焦點F1(1/2,0)焦點F2(1,0)⇒|w−12|=¯PF1,P在橢圓上⇒{P=右端點有最大值M=a+c=3/4+1/4=1P=左端點有最小值m=a−c=3/4−1/4=1/2⇒(M,m)=(1,1/2)
解答:−x2+y2=1⇒y=±√x2+1⇒欲求面積=∫√31(√x2+1−(−√x2+1))dx=2∫√31√x2+1dx=[x√x2+1+ln(√x2+1+x)]|√31=2√3+ln(2+√3)−√2−ln(√2+1)=2√3−√2+ln2+√3√2+1=2√3−√2+ln(2√2+√6−2−√3)
解答:8888^{8888} \lt 10000^{8888} =10^{35552} \Rightarrow 8888^{8888}最多是35553位數\Rightarrow A\lt 9\times 35553=319977\\ \Rightarrow B\le 2+9+9+9+9+9 = 47(此時A=299999) \Rightarrow B的數字和不超過3+9=12(此時B=39)\\ 現在我們要找一個數X,滿足1\le X\le 12且8888^{8888} = X \mod 9\\ 由於\cases{8888 = 5 \mod 9\\ 8888^2 = 7 \mod 9\\ 8888^3 = 8\mod 9 \\ 8888^4 = 4\mod 9\\ 8888^5 = 2\mod 9 \\ 8888^6 =1 \mod 9} \Rightarrow 8888^{8888} =8888^{1481\cdot 6+2} =8888^2 \mod 9 = 7\mod 9\\ \Rightarrow B的數字和= \bbox[red, 2pt]{7}\\註:\href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1975_IMO_Problems/Problem_4}{參考資訊}
解答:
解答:zw+12wi=3i−12ˉwi+z⇒z(w−1)=i(3−12(ˉw+w))⇒|z||w−1|=|i||3−12(ˉw+w)|⇒3|w−1|=|3−12(ˉw+w)|⇒3√(x−1)2+y2=|3−x|,其中w=x+yi,x,y∈R⇒9((x−1)2+y2)=(x−3)2⇒(x−3/4)29/16+y21/2=1為一橢圓⇒{a=3/4b=1/√2⇒c=1/4⇒{中心O(3/4,0)焦點F1(1/2,0)焦點F2(1,0)⇒|w−12|=¯PF1,P在橢圓上⇒{P=右端點有最大值M=a+c=3/4+1/4=1P=左端點有最小值m=a−c=3/4−1/4=1/2⇒(M,m)=(1,1/2)
解答:−x2+y2=1⇒y=±√x2+1⇒欲求面積=∫√31(√x2+1−(−√x2+1))dx=2∫√31√x2+1dx=[x√x2+1+ln(√x2+1+x)]|√31=2√3+ln(2+√3)−√2−ln(√2+1)=2√3−√2+ln2+√3√2+1=2√3−√2+ln(2√2+√6−2−√3)
解答:8888^{8888} \lt 10000^{8888} =10^{35552} \Rightarrow 8888^{8888}最多是35553位數\Rightarrow A\lt 9\times 35553=319977\\ \Rightarrow B\le 2+9+9+9+9+9 = 47(此時A=299999) \Rightarrow B的數字和不超過3+9=12(此時B=39)\\ 現在我們要找一個數X,滿足1\le X\le 12且8888^{8888} = X \mod 9\\ 由於\cases{8888 = 5 \mod 9\\ 8888^2 = 7 \mod 9\\ 8888^3 = 8\mod 9 \\ 8888^4 = 4\mod 9\\ 8888^5 = 2\mod 9 \\ 8888^6 =1 \mod 9} \Rightarrow 8888^{8888} =8888^{1481\cdot 6+2} =8888^2 \mod 9 = 7\mod 9\\ \Rightarrow B的數字和= \bbox[red, 2pt]{7}\\註:\href{https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1975_IMO_Problems/Problem_4}{參考資訊}
解答:
\triangle OBC+ \triangle OAC +\triangle OAB= \triangle ABC \Rightarrow {\triangle OBC \over \triangle ABC}+ {\triangle OAC \over \triangle ABC}+ {\triangle OAB \over \triangle ABC}=1 \\ \Rightarrow {\overline{OD}\over \overline{AD}} +{\overline{OE} \over \overline{BE}} +{\overline{OF}\over \overline{CF}} =1 \Rightarrow {4\over a }+{4\over b }+ {4\over c }=1,其中\cases{ \overline{AD} =a=\overline{OA}+4 \\ \overline{BE}=b =\overline{OB}+4\\ \overline{CE}=c = \overline{OC}+ 4} \\ \Rightarrow \cases{{1\over a } +{1\over b } +{1\over c }={ab+bc +ca\over abc} ={1\over 4} \Rightarrow abc=4(ab+bc+ca)=4t (取t=ab +bc+ca) \\a+b+c= 37+4\times 3=49} \\ 假設有一3次多項式f(x),滿足f(x)=0的三根為a,b,c,即\cases{a+ b+c=49\\ ab+bc+ca =t\\ abc=4t},\\則f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)= x^3-49x^2+tx-4t \\ \Rightarrow f(4)=(4-a)(4-b)(4-c) =64-784+4t-4t =-720 \\ \Rightarrow -\overline{OA} \times \overline{OB} \times \overline{OC}= -720 \Rightarrow \overline{OA} \times \overline{OB} \times \overline{OC}= \bbox[red, 2pt]{720}
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