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2022年8月19日 星期五

98年專科學力鑑定-工程數學詳解

教育部 98 年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

科 別:冷凍空調、電機工程、電子工程、電訊工程、資訊工程
科目名稱:專業科目(一)
考 科:工程數學

解答L{cosat}=0cos(at)estdt=1scos(at)estas0sin(at)estdt=1scos(at)est+as2sin(at)esta2s20cos(at)estdt(1+a2s2)0cos(at)estdt=[1scos(at)est+as2sin(at)est]|0=1s0cos(at)estdt=s2s2+a21s=ss2+a2(A)
解答u=B×CuBBu=0(D)×:ABA=kBA(B×C)=kBu=0(D)
解答L1{1s3(s2+1)}=L1{1s3+ss2+11s}=t22+cost1()(C)
解答yy
解答向量繞一圈為0,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答A=\left[\begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3\\-3 & 4 & 0 & -1\\1 & 0 & -2 & 7\end{matrix}\right] \Rightarrow rref(A)=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & - \frac{1}{4}\\0 & 0 & 1 & - \frac{7}{2}\end{matrix}\right] \Rightarrow rank(A)=3,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}\\公布的答案是\bbox[blue,2pt]{(B)}
解答\nabla \cdot \vec V= {\partial \over \partial x}(xz) +,{\partial \over \partial y}(-y^2) +{\partial \over \partial z}(2x^2y) =z-2y,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答10x_1^2+ 6x_1x_2+ 2x_2^2 =1 \Rightarrow \left[\begin{matrix} x_1 & x_2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}10 & 3 \\3 & 2\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \end{matrix}\right] =1 \\ \Rightarrow  \left[\begin{matrix} x_1 & x_2 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} -1/\sqrt{10} & 3/\sqrt{10} \\3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \color{blue}1 & 0 \\ 0 & \color{blue} {11}\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}  -1/\sqrt{10} & 3/\sqrt{10} \\3/\sqrt{10} & 1/\sqrt{10} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} x_1\\ x_2 \end{matrix} \right] =1 \\ \Rightarrow [(-x_1+3x_2)/\sqrt{10}, (3x_1+x_2)/\sqrt{10}] \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 11 \end{matrix} \right] \begin{bmatrix} (-x_1+3x_2)/\sqrt{10}\\ (3x_1+x_2)/\sqrt{10}\end{bmatrix} =1\\ \Rightarrow [y_1\; y_2] \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 11\end{matrix}\right] \begin{bmatrix} y_1\\ y_2 \end{bmatrix}=1 \Rightarrow y_1^2+11y_2^2 =1\Rightarrow a=1, b=11,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}解答只有(D)符合y(0)=1,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答xy'+y=3x \Rightarrow y'+{1\over x}y=3 \Rightarrow 積分因子=e^{\int 1/x\,dx} =e^{\ln x} =x,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答依齊性定義,f(x)=0,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答\cases{A=\begin{bmatrix} \alpha & 4\\ -2 & \beta\end{bmatrix} \\ A=A^{-1}} \Rightarrow AA=I \Rightarrow \begin{bmatrix} \alpha & 4\\ -2 & \beta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 4\\ -2 & \beta\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \alpha^2-8 & 4(\alpha+\beta) \\ -2(\alpha+\beta) & \beta^2-8\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow \cases{\alpha+\beta =0\\ \alpha^2=9\\ \beta^2=9} \Rightarrow (\alpha,\beta)=(3,-3)((-3,3)不合,違反\alpha\gt \beta),故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答(A)與(D)符合y(1)=2,但其中只有(A)符合y'(1)=5,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}
解答\mathcal{L}\{ u(t-1)\cos t\} =e^{-s} \mathcal{L}\{\cos (t+1)\} =e^{-s}\cdot {1\over s^2+1}(s\cos 1-\sin 1),故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答只有(B)符合y(1)=\sqrt 3,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答週期為2\ell,角度為{n\pi\over \ell}x,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答\vec F\cdot \vec r =6-2+5=9,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
解答\cases{A為3\times 3矩陣\\ B為3\times 2矩陣} \Rightarrow AB 為3\times 2矩陣,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}
解答AA^T為一對稱矩陣,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}
解答\left|\begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3\\4 & -1 & 0 & 7\\1 & 0 & -2 & 3\\2 & 1 & -1 & 2\end{matrix}\right| \underrightarrow{餘因式A_{11}} \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 7\\0 & -2 & 3\\1 & -1 & 2\end{matrix}\right| =4+14-3=15,故選\bbox[red, 2pt]{(A)} 

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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解

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