臺灣綜合大學系統111學年度學士班轉學生聯合招生考試
科目名稱:工程數學
類組代碼:D09
解答:y′+y=y2⇒∫1y2−ydy=∫1dx⇒∫(1y−1−1y)dy=x+C1⇒ln|y−1|−ln|y|=x+C1⇒ln|y−1y|=ln|1−1y|=x+C1⇒1−1y=ex+C1=C2ex⇒1y=1−C2ex⇒y=11−C2ex,C2為常數
解答:2xydy=(x2+y2)dx⇒dydx=x2y+y2x,因此假設u=yx⇒y=ux⇒y′=u′x+u代回原式⇒u′x+u=12u+u2⇒u′x=12u−u2=1−u22u⇒∫2u1−u2du=∫1xdx⇒−ln(1−u2)=lnx+C1=lnC2x⇒11−u2=C2x⇒u2=y2x2=1−1C2x⇒y2=x2−C3x⇒x2+y2=Cx,C為常數解答:cos(πx)cos(2πy)dx=2sin(πx)sin(2πy)dy⇒cos(πx)sin(πx)dx=2sin(2πy)cos(2πy)dy⇒∫cos(πx)sin(πx)dx=2∫sin(2πy)cos(2πy)dy⇒1πln(sin(πx))=−1πln(cos(2πy))+C1=1πln1C2cos(2πy)⇒sin(πx)=1C2cos(2πy)⇒C2sin(πx)cos(2πy)=1將初始值y(32)=12代入上式⇒C2sin3π2cos(π)=1⇒C2=1⇒sin(πx)cos(2πy)=1
解答:acosx+bsinx+c=0⇒{x=0⇒a+c=0x=π/2⇒b+c=0x=π⇒−a+c=0⇒a=b=c=0⇒cosx,sinx,1為線性獨立
解答:y‴−y′=10cos(2x)⇒λ3−λ=0⇒λ=0,±1⇒yh=C1+C2ex+C3e−x令yp=Acos(2x)+Bsin(2x)⇒y′p=−2Asin(2x)+2Bcos(2x)⇒y″p=−4Acos(2x)−4Bsin(2x)⇒y‴p=8Asin(2x)−8Bcos(2x)⇒y‴p−y′p=10Asin(2x)−10Bcos(2x)=10cos(2x)⇒{A=0B=−1⇒yp=−sin(2x)⇒y=yh+yp⇒y=C1+C2ex+C3e−x−sin(2x)
解答:y(t)=1+∫t0y(τ)dτ⇒L{y(t)}=L{1+∫t0y(τ)dτ}⇒Y(s)=1s+Y(s)s⇒(s−1s)Y(s)=1s⇒Y(s)=1s−1⇒y(t)=L−1{1s−1}=et⇒y(t)=et
解答:A=[0110]⇒det(A−λI)=0⇒λ2−1=0⇒λ=±1λ1=1⇒(A−λ1I)x=0⇒[−111−1][x1x2]=0⇒x1=x2,取v1=[11]λ2=−1⇒(A−λ2I)x=0⇒[1111][x1x2]=0⇒x1=−x2,取v2=[1−1]因此特徵值為1,−1,相對應的特徵向量為[11]及[1−1]
解答:(1)→V=yz→i+zx→j+xy→k⇒div→F=∂∂xyz+∂∂yzx+∂∂zxy=0(2)curl →F=|→i→j→k∂∂x∂∂y∂∂zyzzxxy|=x→i+y→j+z→k−x→i−y→j−z→k=→0
解答:E={(x,y,z)∣x2+y2≤4,x≥0,y≥0,|z|≤1}⇒∬
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解題僅供參考,其他轉學考試題及詳解
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