國立高雄師範大學 108 學年度學士班轉學生招生考試試題
系所別:數學系及光通系二年級
科 目:微積分(全一頁)
解答:f(x)=ex⇒dkdxnf(x)|x=0=e0=1⇒∞∑k=0f[k](0)k!(x−0)k=∞∑k=01k!xk
解答:f(x,y)=x2+y2+2⇒{fx=2xfy=2y⇒{fxx=2fxy=0fyy=2⇒d=fxxfyy−f2xy=4>0因此{fx=0fy=0⇒(x,y)=(0,0)∈S⇒f(0,0)=2為相對極小值也是最小值
解答:(a)1−x1/n1−x=1−x1/n(1−x1/n)(1+x1/n+x2/n+⋯+x(n−1)/n)=11+x1/n+x2/n+⋯+x(n−1)/n⇒limx→1(1−x1/2)(1−x1/3)⋯(1−x1/n)(1−x)n−1=limx→1(1−x1/21−x⋅1−x1/31−x⋯1−x1/n1−x)=limx→1(11+x1/2⋅11+x1/3+x2/3⋯11+x1/n+x2/n+⋯+x(n−1)/n)=12⋅3⋯n=1n!(b)limx→2cos(π/x)x−2=limx→2(cos(π/x))′(x−2)′=limx→2πx2sin(π/x)1=π4
解答:(a)令{P(x,y)=−y/(x2+y2)Q(x,y)=x/(x2+y2)⇒{Py=−1/(x2+y2)+2y2/(x2+y2)2Qx=1/(x2+y2)−2x2/(x2+y2)2依Green's theorem 定理,若R(封閉曲線C所圍區域)不含原點,則∮CPdx+Qdy=∬RQx−PydA=∬R(2x2+y2−2(x2+y2)(x2+y2)2)dA=∬R0dA=0(b)取C′為一圓路徑,其圓心為原點且半徑為a,路徑方向為順時鐘,則∮C−C′Pdy+Qdx=0⇒∮CPdy+Qdx=∮C′Pdy+Qdx=∫2π0−acosθa2(−asinθ)+acosθa2⋅acosθdθ∫2π01dθ=2π(取{x=acosθy=asinθ⇒{dx=−asinθdθdy=asinθdθx2+y2=a2)
解答:
{u=xyv=x2−y2⇒|uxuyvxvy|=|yx2x−2y|=−2(x2+y2)⇒|xuxvyuyv|=1/|uxuyvxvy|=−12(x2+y2)又(x2+y2)2=(x2−y2)2+4x2y2=v2+4u2⇒x2+y2=√v2+4u2⇒|xuxvyuyv|=−12√v2+4u2⇒∬R(x4−y4)exydA=∬R(x2+y2)(x2−y2)exydA=∫41∫√256−v2/2√81−v2/2√v2+4u2⋅veu⋅−12√v2+4u2dudv=∫41∫√256−v2/2√81−v2/2−12veududv=∫41−12v(e√256−v2/2−e√81−v2/2)dv=∫4112ve√81−v2/2dv−∫4112ve√256−v2/2dv=∫6580−14e√sds+∫24025514e√tdt,其中{s=81−v2t=256−v2⇒{ds=−2vdvdt=−2vdv=−14[2e√s(√s−1)]|6580+14[2e√t(√t−1)]|240255=12(e√80(√80−1)+e√240(√240−1))−12(e√65(√65−1)+e√255(√255−1))
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解題僅供參考,其他試題及詳解
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