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2023年5月8日 星期一

112年新北市高中教甄聯招-數學詳解

新北市公立高級中等學校 112 學年度教師聯合甄選
數學詳解

一、填充題:共10題,每題7分。

解答{f(x)=log2(5x3x)g(x)=log5(3x+4x),f(2)=g(2)=4f(x)g(x)=log(5x3x)log5(3x+4x)log2>0,x>21
解答
95C959123,456,789,147,258,369,159,3578628C62512347123581236912357,12359,14567245683456914569,34567,147892578936789,15789,35789,14579,13457,23578,12589,35679,13569,13579225C958C62+22=126120+22=28
解答Lagrange ,{f(x,y,z)=xy+yzg(x,y,z)=x2+y2+z21{fx=λgxfy=λgyfz=λgzg=0{y=λ(2x)(1)x+z=λ(2y)(2)y=λ(2z)(3),(1)(3)=1=xzx=z(2)2z=λ(2y)(4)(4)(3)2zy=yzy=2z,{x=zy=2zg(x,y,z)=04z2=1z=12{x=1/2y=2/2xy+yz=24+24=22
解答,614,(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),6
解答1s+1p=3q1+sp=3sq1+q=3p{q=2p=1,q1+q3pp=2{p=2q=5s=pq=10p+q+s=2+5+10=17
解答{an+1=5an+3bn+7(1)bn+1=3an+5bn(2),(1)bn=13(an+15an7)(2)13(an+25an+17)=3an+53(an+15an7)an+210an+1+16an=28α210α+16=0α=2,8an=C12n+C28n+C3(4){a2=5a1+3b1+7=20b2=3a1+5b1=11a3=5a2+3b2+7=140{2C1+8C2+C3=24C2+64C2+C3=208C3+512C2+C3=140{C1=2C2=1/4C3=4an=22n+148n4=2n+1+23n24
解答S=(1+2++2023)(2024+2025++4046)=2024×20232(2024+4046)20232=20232(2024(2024+4046))=(2023)2=(224×9+7)2S9=49949=9×(5)4=94=5
解答x2+ax+b=0α,β{α+β=a(1)αβ=b(2)x2+bx+c1α,β{1α+β=b(3)βα=c(4)(2)×(4)=β2=bc,ab=2(1)×(3)=ab=1+αβ+βα+β2=21+b+c+bc=2(b+1)(c+1)=2
解答
{¯AD=a¯BE=b{¯AE=14/a¯BF=6/b¯CF=¯AD¯BF=a6b¯CD=12a6/b=12bab6¯AB=¯CDb+14a=12bab6(ab)24ab84=0ab=2+222¯ADׯAB=ab+14=16+222=(7+3+6)+DEFDEF=222
如果你不想假設矩形,如下圖,步驟相同,只是算出來的是absinθ=2+222,結果是一樣的。


解答L=n(3n)!(n!)3lnL=1nln(n!n!(n+1)(n+2)(n+n)n!(2n+1)(2n+2)(2n+n)n!)=1nln((n+11n+22n+nn)(2n+112n+222n+nn))=1n(nk=1lnn+kk+nk=1ln2n+kk)=1n(nk=1ln1+k/nk/n+nk=1ln2+k/nk/n)limnlnL=10ln1+xx+ln2+xxdx=[xln1+xx+ln(1+x)]|10+[(2+x)ln(x+2)xln(x)]|10=2ln2+(3ln32ln2)=ln27limnL=27

二、計算證明題: 共 3 題,每題 10 分。

解答x^3+2x^2+3=0的三根為\alpha,\beta,\gamma \Rightarrow \cases{\alpha+\beta +\gamma=-2\\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha=0\\ \alpha\beta \gamma=-3} \\ 又f(x)=x^3+2x^2+3=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \\\Rightarrow f'(x)=3x^2+4x = (x-\alpha)(x-\beta)+ (x-\beta)(x-\gamma)+(x-\gamma)(x-\alpha) \\ \Rightarrow \cases{f'(\alpha)= 3\alpha^2+ 4\alpha= (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma) \\ f'(\beta) = 3\beta^2+ 4\beta = (\beta-\gamma)(\beta-\alpha) \\f'(\gamma) =3\gamma^2+4 \gamma = (\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)} \\ \Rightarrow f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma) =(3\alpha^2+ 4\alpha)(3\beta^2+ 4\beta)(3\gamma^2+4 \gamma) =-(\alpha-\beta)^2 (\beta-\gamma)^2 (\gamma-\alpha)^2\\ 左式=27\alpha^2\beta^2 \gamma^2+ 36\alpha\beta\gamma (\alpha\beta+\beta\gamma +\gamma\alpha) +48\alpha\beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma) +64\alpha\beta\gamma \\=243+0+288-192=339=右式=-(\alpha-\beta)^2 (\beta-\gamma)^2 (\gamma-\alpha)^2 \\ \Rightarrow (\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) =\sqrt{339}i\\ 因此 \left({1\over \alpha}-{1\over \beta} \right) \left({1\over \beta}-{1\over \gamma} \right) \left({1\over \gamma}-{1\over \alpha} \right) =-{(\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \over \alpha^2 \beta^2 \gamma^2}  =-{1\over 9}\sqrt{339}i  \\ \Rightarrow \left|\left({1\over \alpha}-{1\over \beta} \right) \left({1\over \beta}-{1\over \gamma} \right) \left({1\over \gamma}-{1\over \alpha} \right)  \right| =\bbox[red, 2pt]{{1\over 9}\sqrt{339}}
解答
把題目拆成兩部分
第一部分:任四數可找到其中兩數經加減乘除得到8的倍數
Case I 四數有一數為8的倍數:將此8的倍數與任一數相乘就是8的倍數
Case II 四數都不是8的倍數:
(a) 若有兩數除以8有相同餘數,將此二數相減就是8的倍數
(b) 若四數除以8都沒有相同餘數,我們將餘數拆成三組(1,7),(3,5),(2,4,6); 四個數一定有兩數屬於同一組。
(i)若兩數餘數同屬(1,7)或同屬(3,5)或同屬(2,6),將此二數相加就是8的倍數
(ii)若兩數餘數同屬(2,4)或(4,6),將此二數相乘就是8的倍數

第二部分:任兩數經加減乘除可得到3的倍數
Case I 兩數至少有一個是3的倍數,此兩數相乘就是3的倍數
Case II 兩數都不是3的倍數:若兩數同餘,則兩數相減就是3的倍數;一個餘數1,另一個餘數為2,則兩數相加就是3的倍數

由上述可知:任四數可以先找到兩數經加減乘除後為8的倍數,剩下的兩數經加減乘除為3的倍數,前兩數8的倍數乘上後兩數3的倍數就是24的倍數,故得證

解答(b-1)^2=b^2+1-2b\ge 0 \Rightarrow b^2+1\ge 2b \Rightarrow {1\over 1+b^2}\le {1\over 2b} \\ 因此{a\over b^2+1} =a-{ab^2\over b^2+1} \ge a-{ab^2\over 2b} =a-{ab\over 2} \Rightarrow{a\over b^2+1}\ge a-{ab\over 2} \cdots(1) \\同理可得 {b\over c^2+1}\ge b-{bc\over 2}\cdots(2) 及 {c\over a^2+1}\ge c-{ac\over 2}\cdots(3) \\ 再由柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(1^2+ 1^2 +1^2 )\ge (a+b+c)^2  \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 3\\ 因此(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca={1\over 2}((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)) \\ \Rightarrow ab+bc+ca \le {1\over 2}(9-3)=3 \Rightarrow ab+bc+ca \le 3 \cdots(4)\\ (1)+(2)+ (3)\Rightarrow {a\over b^2+1} +{b\over c^2+1} +{c\over a^2+1} \ge (a+b+c)-{1\over 2}(ab+bc+ca)\\=3-{1\over 2}(ab+bc+ca) \ge 3-{1\over 2}\cdot 3 ={3\over 2} (將(4)代入)\\ 因此{a\over b^2+1} +{b\over c^2+1} +{c\over a^2+1} \ge {3\over 2},\bbox[red, 2pt]{故得證}

============== END ============

解題僅供參考,其他教甄試題及詳解

2 則留言:

  1. 請問填充六,不太了解α出現的那一行是什麼意思

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