新北市公立高級中等學校 112 學年度教師聯合甄選
數學詳解
一、填充題:共10題,每題7分。
解答:{f(x)=log2(5x−3x)g(x)=log√5(3x+4x),顯然f(2)=g(2)=4⇒交點至少一個又f(x)−g(x)=log(5x−3x)log√5(3x+4x)log2>0,∀x>2⇒1個交點解答:
將9格依序編號如上圖;九格任取5格有C95種取法;9格先取一直線的三格,即:123,456,789,147,258,369,159,357,共8種,剩下6格任取2格,都會至少連成一線,這種有8C62種取法;5格連成二直線的選法:12347,12358,12369,12357,12359,14567,24568,34569,14569,34567,14789,25789,36789,15789,35789,14579,13457,23578,12589,35679,13569,13579共有22種;5格不會連成三直線,因此總共有C95−8C62+22=126−120+22=28種
解答:利用Lagrange 算子求極值,令{f(x,y,z)=xy+yzg(x,y,z)=x2+y2+z2−1⇒{fx=λgxfy=λgyfz=λgzg=0⇒{y=λ(2x)⋯(1)x+z=λ(2y)⋯(2)y=λ(2z)⋯(3),(1)(3)=1=xz⇒x=z代入(2)⇒2z=λ(2y)⋯(4)(4)(3)⇒2zy=yz⇒y=√2z,將{x=zy=√2z代入g(x,y,z)=0⇒4z2=1⇒z=12⇒{x=1/2y=√2/2⇒xy+yz=√24+√24=√22
解答:三邊長相異,因此周長只能是6−14,可能的三邊為(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),共6個
解答:1s+1p=3q⇒1+sp=3sq⇒1+q=3p⇒{q=2⇒p=1,不合q是奇數⇒1+q是偶數⇒3p是偶數⇒p=2⇒{p=2q=5⇒s=pq=10⇒p+q+s=2+5+10=17
解答:{an+1=5an+3bn+7⋯(1)bn+1=3an+5bn⋯(2),由(1)可得bn=13(an+1−5an−7)代入(2)⇒13(an+2−5an+1−7)=3an+53(an+1−5an−7)⇒an+2−10an+1+16an=−28⇒α2−10α+16=0⇒α=2,8⇒an=C12n+C28n+C3⋯(4){a2=5a1+3b1+7=20b2=3a1+5b1=11⇒a3=5a2+3b2+7=140⇒{2C1+8C2+C3=24C2+64C2+C3=208C3+512C2+C3=140⇒{C1=2C2=1/4C3=−4⇒an=2⋅2n+148n−4=2n+1+23n−2−4
解答:S=(1+2+⋯+2023)−(2024+2025+⋯+4046)=2024×20232−(2024+4046)⋅20232=20232(2024−(2024+4046))=−(2023)2=−(224×9+7)2⇒S除以9的餘數=−49除以9的餘數⇒−49=9×(−5)−4⇒餘數=9−4=5
解答:x2+ax+b=0的兩根為α,β⇒{α+β=−a⋯(1)αβ=b⋯(2)又x2+bx+c的兩根為1α,β⇒{1α+β=−b⋯(3)βα=c⋯(4)(2)×(4)=β2=bc,因此ab=2⇒(1)×(3)=ab=1+αβ+βα+β2=2⇒1+b+c+bc=2⇒(b+1)(c+1)=2
解答:
解答:三邊長相異,因此周長只能是6−14,可能的三邊為(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),共6個
解答:1s+1p=3q⇒1+sp=3sq⇒1+q=3p⇒{q=2⇒p=1,不合q是奇數⇒1+q是偶數⇒3p是偶數⇒p=2⇒{p=2q=5⇒s=pq=10⇒p+q+s=2+5+10=17
解答:{an+1=5an+3bn+7⋯(1)bn+1=3an+5bn⋯(2),由(1)可得bn=13(an+1−5an−7)代入(2)⇒13(an+2−5an+1−7)=3an+53(an+1−5an−7)⇒an+2−10an+1+16an=−28⇒α2−10α+16=0⇒α=2,8⇒an=C12n+C28n+C3⋯(4){a2=5a1+3b1+7=20b2=3a1+5b1=11⇒a3=5a2+3b2+7=140⇒{2C1+8C2+C3=24C2+64C2+C3=208C3+512C2+C3=140⇒{C1=2C2=1/4C3=−4⇒an=2⋅2n+148n−4=2n+1+23n−2−4
解答:S=(1+2+⋯+2023)−(2024+2025+⋯+4046)=2024×20232−(2024+4046)⋅20232=20232(2024−(2024+4046))=−(2023)2=−(224×9+7)2⇒S除以9的餘數=−49除以9的餘數⇒−49=9×(−5)−4⇒餘數=9−4=5
解答:x2+ax+b=0的兩根為α,β⇒{α+β=−a⋯(1)αβ=b⋯(2)又x2+bx+c的兩根為1α,β⇒{1α+β=−b⋯(3)βα=c⋯(4)(2)×(4)=β2=bc,因此ab=2⇒(1)×(3)=ab=1+αβ+βα+β2=2⇒1+b+c+bc=2⇒(b+1)(c+1)=2
解答:
假設此平行四邊形為矩形,並令{¯AD=a¯BE=b⇒{¯AE=14/a¯BF=6/b⇒¯CF=¯AD−¯BF=a−6b⇒¯CD=12a−6/b=12bab−6又¯AB=¯CD⇒b+14a=12bab−6⇒(ab)2−4ab−84=0⇒ab=2+2√22總面積=¯ADׯAB=ab+14=16+2√22=(7+3+6)+△DEF⇒△DEF=2√22
如果你不想假設矩形,如下圖,步驟相同,只是算出來的是absinθ=2+2√22,結果是一樣的。
解答:L=n√(3n)!(n!)3⇒lnL=1nln(n!n!⋅(n+1)(n+2)⋯(n+n)n!⋅(2n+1)(2n+2)⋯(2n+n)n!)=1nln((n+11⋅n+22⋯n+nn)⋅(2n+11⋅2n+22⋯2n+nn))=1n(n∑k=1lnn+kk+n∑k=1ln2n+kk)=1n(n∑k=1ln1+k/nk/n+n∑k=1ln2+k/nk/n)⇒limn→∞lnL=∫10ln1+xx+ln2+xxdx=[xln1+xx+ln(1+x)]|10+[(2+x)ln(x+2)−xln(x)]|10=2ln2+(3ln3−2ln2)=ln27⇒limn→∞L=27
二、計算證明題: 共 3 題,每題 10 分。
解答:x^3+2x^2+3=0的三根為\alpha,\beta,\gamma \Rightarrow \cases{\alpha+\beta +\gamma=-2\\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha=0\\ \alpha\beta \gamma=-3} \\ 又f(x)=x^3+2x^2+3=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \\\Rightarrow f'(x)=3x^2+4x = (x-\alpha)(x-\beta)+ (x-\beta)(x-\gamma)+(x-\gamma)(x-\alpha) \\ \Rightarrow \cases{f'(\alpha)= 3\alpha^2+ 4\alpha= (\alpha-\beta)(\alpha-\gamma) \\ f'(\beta) = 3\beta^2+ 4\beta = (\beta-\gamma)(\beta-\alpha) \\f'(\gamma) =3\gamma^2+4 \gamma = (\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)} \\ \Rightarrow f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma) =(3\alpha^2+ 4\alpha)(3\beta^2+ 4\beta)(3\gamma^2+4 \gamma) =-(\alpha-\beta)^2 (\beta-\gamma)^2 (\gamma-\alpha)^2\\ 左式=27\alpha^2\beta^2 \gamma^2+ 36\alpha\beta\gamma (\alpha\beta+\beta\gamma +\gamma\alpha) +48\alpha\beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma) +64\alpha\beta\gamma \\=243+0+288-192=339=右式=-(\alpha-\beta)^2 (\beta-\gamma)^2 (\gamma-\alpha)^2 \\ \Rightarrow (\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) =\sqrt{339}i\\ 因此 \left({1\over \alpha}-{1\over \beta} \right) \left({1\over \beta}-{1\over \gamma} \right) \left({1\over \gamma}-{1\over \alpha} \right) =-{(\alpha-\beta) (\beta-\gamma)(\gamma-\alpha) \over \alpha^2 \beta^2 \gamma^2} =-{1\over 9}\sqrt{339}i \\ \Rightarrow \left|\left({1\over \alpha}-{1\over \beta} \right) \left({1\over \beta}-{1\over \gamma} \right) \left({1\over \gamma}-{1\over \alpha} \right) \right| =\bbox[red, 2pt]{{1\over 9}\sqrt{339}}解答:
把題目拆成兩部分
第一部分:任四數可找到其中兩數經加減乘除得到8的倍數
Case I 四數有一數為8的倍數:將此8的倍數與任一數相乘就是8的倍數
Case II 四數都不是8的倍數:
(a) 若有兩數除以8有相同餘數,將此二數相減就是8的倍數
(b) 若四數除以8都沒有相同餘數,我們將餘數拆成三組(1,7),(3,5),(2,4,6); 四個數一定有兩數屬於同一組。
(i)若兩數餘數同屬(1,7)或同屬(3,5)或同屬(2,6),將此二數相加就是8的倍數
(ii)若兩數餘數同屬(2,4)或(4,6),將此二數相乘就是8的倍數
第二部分:任兩數經加減乘除可得到3的倍數
Case I 兩數至少有一個是3的倍數,此兩數相乘就是3的倍數
Case II 兩數都不是3的倍數:若兩數同餘,則兩數相減就是3的倍數;一個餘數1,另一個餘數為2,則兩數相加就是3的倍數
由上述可知:任四數可以先找到兩數經加減乘除後為8的倍數,剩下的兩數經加減乘除為3的倍數,前兩數8的倍數乘上後兩數3的倍數就是24的倍數,故得證
解答:(b-1)^2=b^2+1-2b\ge 0 \Rightarrow b^2+1\ge 2b \Rightarrow {1\over 1+b^2}\le {1\over 2b} \\ 因此{a\over b^2+1} =a-{ab^2\over b^2+1} \ge a-{ab^2\over 2b} =a-{ab\over 2} \Rightarrow{a\over b^2+1}\ge a-{ab\over 2} \cdots(1) \\同理可得 {b\over c^2+1}\ge b-{bc\over 2}\cdots(2) 及 {c\over a^2+1}\ge c-{ac\over 2}\cdots(3) \\ 再由柯西不等式:(a^2+b^2+c^2)(1^2+ 1^2 +1^2 )\ge (a+b+c)^2 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 3\\ 因此(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca={1\over 2}((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)) \\ \Rightarrow ab+bc+ca \le {1\over 2}(9-3)=3 \Rightarrow ab+bc+ca \le 3 \cdots(4)\\ (1)+(2)+ (3)\Rightarrow {a\over b^2+1} +{b\over c^2+1} +{c\over a^2+1} \ge (a+b+c)-{1\over 2}(ab+bc+ca)\\=3-{1\over 2}(ab+bc+ca) \ge 3-{1\over 2}\cdot 3 ={3\over 2} (將(4)代入)\\ 因此{a\over b^2+1} +{b\over c^2+1} +{c\over a^2+1} \ge {3\over 2},\bbox[red, 2pt]{故得證}
============== END ============
解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
請問填充六,不太了解α出現的那一行是什麼意思
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