臺北市高級中等學校 111 學年度聯合轉學考招生考試
升高二數學科試題(普高)
一、單選題:(共 70 分)
解答:A=103.6045=1000×100.6045⇒logA=3+0.6045≈3+0.301×2=3+2log2=3+log4⇒A≈103×4=4000,故選(B)
解答:y−3=m(x−2)代表經過(2,3),(x,y)且斜率為m的直線,因此欲求與P(2,3)連成直線的斜率最小只有¯PB與¯PE的斜率是負值,其它皆為正值,而¯PB較陡,故選(B)
解答:假設{P(0,1)Q(12,10)⇒直線L=↔PQ:y=34x+1x2+y2−8hx−7hy+k=0⇒(x−4h)2+(y−72h)2=16h2+494h2−k⇒圓心O(4h,72h)在L上⇒72h=34⋅4h+1⇒h=2⇒O(8,7)⇒圓半徑r=12−8=4⇒16h2+494h2−k=42⇒64+49−k=16⇒k=97,故選(D)
解答:a1=−2⇒a2=−13⇒a3=12⇒a4=3⇒a5=−2⇒a6=−13⇒循環數=4⇒99=24×4=3⇒a99=a3=12,故選(C)
解答:{a1=2r=2⇒an=2n⇒k=loga1a2+loga2a3+loga3a4+loga4a5=log24+log48+log816+log1632=log4log2+log8log4+log16log8+log32log16=2log2log2+3log22log2+4log23log2+5log24log2=2+32+43+54=6112,故選(E)
解答:{(B)平均值=16⇒各數與平均值的差距:10,5,0,5,10(D)平均值=15⇒各數與平均值的差距:10,10,0,10,10(E)平均值=15⇒各數與平均值的差距:10,5,0,5,10⇒(D)的變異最大,故選(D)
解答:有一天要排二科,其它三天排一科;假設排二科的是:週一:{英數:其他三科三天任排有3!=6種排法英(非數):各有4種排法,共12種排法週二:國社,社自,國自各有2種,共6種週三:{數國,數社,數自各2種,共6種排法國社,國自,社自各1種,共3種週四與週三情況相同,有9種排法因此共有18+6+9+9=42種,故選(D)
解答:假設紅色巧克力有a顆,加上其他色有12顆,共有12+a顆⇒期望值=Ca1C122+2Ca2C121+3Ca3C12+a3=65⇒a=8,故選(E)
解答:
共有7種,如上圖,故選(B)
解答:若甲乙兩對在第一個第一輪對戰的機率=2×10!12!=166共有四個第一輪,因此機率為466=233,故選(C)
解答:{cos73∘=sin17∘cos146∘=sin34∘cos219∘=−sin51∘cos292∘=−sin24∘cos365∘=sin85∘⇒sin85∘>sin34∘>sin17∘>−sin24∘>−sin51∘⇒中位數為sin17∘=cos73∘,故選(A)
解答:假設{塔尖C塔底O及{¯OA=a¯OB=b⇒{a2+b2=1002塔高¯OC=atan45∘=btan60∘⇒a=√3b⇒(√3b)2+b2=4b2=1002⇒b=50⇒塔高=50√3≈86.6,故選(C)
解答:(A)◯:{μ′x=nμx+μxn+1=μxμ′y=nμy+μyn+1=μy(B)×:多了一筆數據μx,∑(xi−μx)不變,新的標準差σ′x<σx(C)(D)(E)◯:多了一筆數據(μx,μy)落在原迴歸直線上⇒迴歸直線不變,相關係數也不變,故選(ACDE)
解答:(A)◯:sinA=5√314⇒cosA=±1114,由於¯BC=5不是最長邊,∠A不是鈍角,因此cosA=1114(B)◯:¯BCsinA=¯ABsinC⇒55√3/14=7sinC⇒sinC=√32(C)×:sinC=√32⇒∠C=60∘或120∘;cosA=49+¯AC2−2514⋅¯AC=1114⇒¯AC=8或3⇒{¯AC=8⇒∠C=60∘¯AC=3⇒∠C=120∘⇒∠C不一定是60∘(D)×:¯AC不確定⇒面積不確定(E)◯:¯BCsinA=55/√3/14=2R⇒R=7√3=7√33,故選(ABE)
解答:(x+1)(x−3)<0⇒−1<x<3(A)◯:|x−1|<2⇒−2<x−1<2⇒−1<x<3(B)×:x=0⇒x2(x+1)(x−3)=0≮0⇒解集合不同(C)×:x2(x−2)<(x−2)(2x+3)⇒x3−2x2<2x2−x−6⇒x3−4x2+x+6<0⇒(x+1)(x−2)(x−3)<0⇒2<x<3或x<−1(D)◯:x2+x+1=(x+12)2+34>0⇒(x+1)(x−3)<0⇒−1<x<3(E)×:(x+1)(x−3)(x2+x−1)=(x+1)(x−3)(x−−1+√52)(x−−1−√52)<0,故選(AD)
解答:(A)×:f(x)=(x−3)(x+1)p(x)+2x+1⇒f(−1)=−1≠1(B)×:f(1)=5≠3(C)◯:f(1)=5⇒f(1)−5=0⇒f(x)−5=(x−1)P(x)(D)◯:假設f(x)=(x2−1)Q(x)+ax+b⇒{f(−1)=−1=−a+bf(1)=5=a+b⇒{a=3b=2⇒餘式:3x+2(E)◯:f(x)=(x2−2x−3)p(x)+2x+1⇒xf(x)=x(x2−2x−3)p(x)+2x2+x=x(x2−2x−3)p(x)+2(x2−2x−3)+5x+6⇒餘式為5x+6,故選(CDE)
解答:若甲乙兩對在第一個第一輪對戰的機率=2×10!12!=166共有四個第一輪,因此機率為466=233,故選(C)
解答:{cos73∘=sin17∘cos146∘=sin34∘cos219∘=−sin51∘cos292∘=−sin24∘cos365∘=sin85∘⇒sin85∘>sin34∘>sin17∘>−sin24∘>−sin51∘⇒中位數為sin17∘=cos73∘,故選(A)
解答:假設{塔尖C塔底O及{¯OA=a¯OB=b⇒{a2+b2=1002塔高¯OC=atan45∘=btan60∘⇒a=√3b⇒(√3b)2+b2=4b2=1002⇒b=50⇒塔高=50√3≈86.6,故選(C)
解答:只要√身高<1.3⇒身高<1.69,新制高於舊制,故選(A)
二、多重選擇題:(共 30 分)
解答:((A)×:f(x)=ax3−18x2+49x+k=2(x+p)3+b(x+p)+1=2x3+6px2+(6p2+b)x+2p3+p+1⇒{a=26p=−186p2+b=492p3+bp+1=k⇒{a=2p=−3b=−5⇒k=−38(B)◯:理由同(A)(C)×:f(2)=8a−72+98+k=16+26−38=4≠6(D)×:f′(x)=6x2−36x+49⇒f″(x)=12x−36=0⇒x=3⇒對稱中心(3,f(3))(E)◯:f′(−p)=f′(3)=54−108+49=−5⇒y=−5(x−3)+f(3)=−5x+15+1⇒y=−5x+16,故選(BE)解答:(A)◯:{μ′x=nμx+μxn+1=μxμ′y=nμy+μyn+1=μy(B)×:多了一筆數據μx,∑(xi−μx)不變,新的標準差σ′x<σx(C)(D)(E)◯:多了一筆數據(μx,μy)落在原迴歸直線上⇒迴歸直線不變,相關係數也不變,故選(ACDE)
解答:(A)◯:sinA=5√314⇒cosA=±1114,由於¯BC=5不是最長邊,∠A不是鈍角,因此cosA=1114(B)◯:¯BCsinA=¯ABsinC⇒55√3/14=7sinC⇒sinC=√32(C)×:sinC=√32⇒∠C=60∘或120∘;cosA=49+¯AC2−2514⋅¯AC=1114⇒¯AC=8或3⇒{¯AC=8⇒∠C=60∘¯AC=3⇒∠C=120∘⇒∠C不一定是60∘(D)×:¯AC不確定⇒面積不確定(E)◯:¯BCsinA=55/√3/14=2R⇒R=7√3=7√33,故選(ABE)
解答:(x+1)(x−3)<0⇒−1<x<3(A)◯:|x−1|<2⇒−2<x−1<2⇒−1<x<3(B)×:x=0⇒x2(x+1)(x−3)=0≮0⇒解集合不同(C)×:x2(x−2)<(x−2)(2x+3)⇒x3−2x2<2x2−x−6⇒x3−4x2+x+6<0⇒(x+1)(x−2)(x−3)<0⇒2<x<3或x<−1(D)◯:x2+x+1=(x+12)2+34>0⇒(x+1)(x−3)<0⇒−1<x<3(E)×:(x+1)(x−3)(x2+x−1)=(x+1)(x−3)(x−−1+√52)(x−−1−√52)<0,故選(AD)
解答:(A)×:f(x)=(x−3)(x+1)p(x)+2x+1⇒f(−1)=−1≠1(B)×:f(1)=5≠3(C)◯:f(1)=5⇒f(1)−5=0⇒f(x)−5=(x−1)P(x)(D)◯:假設f(x)=(x2−1)Q(x)+ax+b⇒{f(−1)=−1=−a+bf(1)=5=a+b⇒{a=3b=2⇒餘式:3x+2(E)◯:f(x)=(x2−2x−3)p(x)+2x+1⇒xf(x)=x(x2−2x−3)p(x)+2x2+x=x(x2−2x−3)p(x)+2(x2−2x−3)+5x+6⇒餘式為5x+6,故選(CDE)
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解題僅供參考,其他轉學考試題及詳解
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