112年金門高中教甄-數學詳解

國立金門高中 112 學年度第一次教師甄選數學科試題卷

一、填充題 (每題 6 分，共 60 分)

解答： $$假設正方形邊長為a，且\cases{B(0,0)\\ A(-a,0) \\ C(0,a) \\P(x,y)} \Rightarrow \cases{\overline{PA}^2=18= (x+a)^2+y^2 \cdots(1) \\ \overline{PB}^2 =9= x^2+y^2 \cdots(2)\\ \overline{PC}^2=36 = x^2+(y-a)^2 \cdots(3)} \\ 將(2)代入(1)及(3) \Rightarrow \cases{2ax+a^2=9 \\-2ay+a^2=27} \Rightarrow \cases{ 2ax=9-a^2\\ 2ay=a^2-27} \\ \Rightarrow 4a^2x^2+4a^2y^2 =(9-a^2)^2+(a^2-27)^2 \Rightarrow 4a^2(x^2+ y^2)=2a^4-72a^2+810 \\ \Rightarrow 36a^2= 2a^4-72a^2+810 \Rightarrow a^4-54a^2+405=0 \Rightarrow (a^2-9)(a^2-45)=0\\ \Rightarrow 正方形面積a^2= \bbox[red, 2pt]{45} \quad(若a=3 \Rightarrow 對角線\overline{AC}=3\sqrt 2 \lt \overline{PC},不合)$$

解答： $$假設狀態1(S1):\cases{A箱:1黑球，１白球\\ B箱:1白球}，狀態2(S2):\cases{A箱:2白球\\ B箱:1黑球}\\ P(S_1\to S_1)=P(A\xrightarrow{黑}B \xrightarrow{黑}A) +P(A\xrightarrow{白}B \xrightarrow{白}A) ={1\over 2}\times {1\over 2} +{1\over 2}\times 1={3\over 4} \\ \Rightarrow P(S_1\to S_2)=1-{3\over 4}={1\over 4} \\ P(S_2\to S_2)=P(A\xrightarrow{白}B \xrightarrow{白}A) =1\times {1 \over 2}={1\over 2} \Rightarrow P(S_2\to S_1)={1\over 2}\\ 因此轉換矩陣A=\begin{bmatrix}3/4 & 1/2 \\1/4 & 1/2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1 & 2 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1/4 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1/3 & 2/3 \\1/3 & 1/3 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty}A^n=\begin{bmatrix}-1 & 2 \\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{blue}0 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1/3 & 2/3 \\1/3 & 1/3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2/3 & 2/3 \\1/3 & 1/3 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix}2/3 & 2/3 \\1/3 & 1/3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\  0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/3 \\1/3 \end{bmatrix} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}P_n =\bbox[red, 2pt]{2\over 3}$$

解答： $$\cases{E_1:x-2y+4z=d_1\\ E:x+y+z=0} \Rightarrow \cases{E_1法向量\vec u=(1,-2,4) \\ E法向量\vec v=(1,1,1)} \Rightarrow \cos \theta={\vec u\cdot \vec v \over |\vec u||\vec v|}={1\over \sqrt 7} \\ \Rightarrow \sin \theta={\sqrt 6\over \sqrt 7} \Rightarrow d(L_1,L_2) \sin \theta =\sqrt 6 \Rightarrow d(L_1,L_2)= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 7}$$

解答： $$假設\cases{O(0,0) \\ A(2,0)\\ B(\cos \theta,\sin \theta)} \Rightarrow \cases{\overline{OA}=2\\ \overline{AB}= \sqrt{(\cos\theta-2)^2+\sin^2\theta} =\sqrt{5-4\cos \theta} } \\ \Rightarrow \cases{\triangle OAB面積={1\over 2}\cdot \overline{OA}\cdot \overline{OB}\sin \theta = \sin \theta\\ \triangle ABC面積={\sqrt 3\over 4}\cdot \overline{AB}^2 ={5\over 4}\sqrt 3-\sqrt 3\cos \theta} \\ \Rightarrow OACB面積= {5\over 4}\sqrt 3+(\sin \theta-\sqrt 3\cos \theta) \Rightarrow 最大值={5\over 4}\sqrt 3+\sqrt{1^2+(\sqrt 3)^2} =\bbox[red, 2pt]{{5\over 4}\sqrt 3+2}$$

解答： $$假設P在x=(y-2)^2-5，因此P(a^2-5,a+2) \Rightarrow P至球心距離\overline{OP}　＝\sqrt{(a^2-5)^2+(a+2)^2}\\ 令f(a)=(a^2-5)^2+(a+2)^2 =a^4-9a^2+4a+29 \Rightarrow f'(a)=4a^3-18a+4 \Rightarrow f''(a)=12a^2-18 \\ f'(a)=0 \Rightarrow  2a^3-9a+2=0 \Rightarrow (a-2)(2a^2+4a-1)=0 \Rightarrow a=2,-1\pm {\sqrt 6\over 2} \\ \Rightarrow \cases{f''(2)\gt 0\\ f''(-1+\sqrt 6/2)\lt 0 \\ f''(-1-\sqrt 6/2)\gt 0} \Rightarrow \cases{f(2)=17\\ f(-1-\sqrt 6/2)=}$$

解答： $$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+1 & x \ge 2+\sqrt 3\\2x & 1/3\le x \le 2+\sqrt 3 \\ -x+1 & 0\le x\le 1/3\\ x^2-2x+1 &x\le 0\end{cases} \Rightarrow \min f(x)=f(1/3)= \bbox[red, 2pt]{2\over 3}$$

解答： $$五人:A,B,C,D,E\\ A贏:A出剪刀，其他人出布，或A出石頭，其他人出剪刀，或A出布，其他人石頭；\\因此A贏的機率=3/3^5=1/3^4 \Rightarrow P(1)=1人贏的機率=C^5_1\cdot {1\over 3^4}；\\P(2)=2人贏的機率= C^5_2\cdot {1\over 3^4}；P(3)=3人贏的機率= C^5_3\cdot {1\over 3^4}；\\P(4)=4人贏的機率= C^5_4\cdot {1\over 3^4}；\\ \Rightarrow 有人贏的機率 (分出勝負)= {1\over 3^4}\sum_{k=1}^4C^5_k = {10\over 27}；\\ 因此期望值= 玩1次分出勝負的機率+ 不分勝負的機率(再玩一次)\\ EX= {10\over 27}+(1-{10\over 27})(EX+1) \Rightarrow {10\over 27}EX =1 \Rightarrow EX= \bbox[red, 2pt]{27 \over 10}$$

解答： $$A=\begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -3 \\0 & 1 \end{bmatrix} =PDP^{-1}\Rightarrow A^n= PD^nP^{-1}\\ \Rightarrow \cases{A^{20}= \begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 2^{20}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -3 \\0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 3\cdot 2^{20}-3 \\0 & 2^{20} \end{bmatrix} \\ A^{10}=  \begin{bmatrix}1 & 3 \\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 2^{10}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -3 \\0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 3\cdot 2^{10}-3 \\0 & 2^{10} \end{bmatrix}}\\ \Rightarrow {b_{20} \over b_{10}} ={3\cdot 2^{20}-3 \over 3\cdot 2^{10}-3} ={2^{20}-1\over 2^{10}-1} ={(2^{10}+1)(2^{10}-1) \over 2^{10}-1} =2^{10}+1= \bbox[red, 2pt]{1025}$$

解答： $$2022^{111}=(2000+22)^{111} =\sum_{n=0}^{111} C^{111}_n 2000^n\cdot 22^{111-n} =22^{111}+ \sum_{n=1}^{111} C^{111}_n 2000^n\cdot 22^{111-n} \\ 由於\sum_{n=1}^{111} C^{111}_n 2000^n\cdot 22^{111-n}是100的倍數，末兩位數是00，因此2022^{111} \equiv 22^{111} \mod 100\\ 我們只要考慮22^{111}的末兩數位，而\cases{22^1 \equiv 22 \mod 100\\ 22^2 \equiv 84 \mod 100\\ 22^3 \equiv 48 \mod 100\\ 22^4 \equiv 56 \mod 100 \\22^5 \equiv 32 \mod 100\\ 22^6 \equiv 04 \mod 100 }，\\因此我們利用22^6 \equiv 04 \mod 100 來求22^{111}的末兩位數\\ 22^{111}= (22^{6})^{18}\cdot 22^3 \equiv 4^{18}\cdot 48 \equiv (-4)^3\cdot (-52) \equiv 4^3\cdot 52=3328 \equiv \bbox[red,2pt]{28} \mod 100\\註：4^6=2^{12}= 4096 \equiv -4 \mod 100$$

解答： $$f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} {2x^{2n+1}+ ax^2+bx-1\over 2x^{2n}+3} =\lim_{n \rightarrow \infty} {x^{2n+1}+ ax^2/2+bx/2-1/2 \over x^{2n}+3/2}\\ =\lim_{n \rightarrow \infty} {x+ (ax^2/2+bx/2-1/2)/x^{2n}\over 1+(3/2)/x^{2n}} =\begin{cases}x & |x| \gt  1\\ ax^2/3+bx/3-1/3 & |x| \lt 1\end{cases} \\ \Rightarrow \cases{\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)= \lim_{x \rightarrow 1^+} x=1\\ \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow 1^-}(ax^2+bx-1)/3 =(a+b-1)/3}\\ 原式f(1)=\lim_{n \rightarrow \infty} {2+ a+b-1\over 2+3}={a+b+1\over 5} \Rightarrow {a+b+1\over 5}=1={a+b-1\over 3} \Rightarrow a+b=4\\ 同理，\cases{\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)= \lim_{x \rightarrow -1^+} (ax^2+bx-1)/3=(a-b-1)/3\\ \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x)= \lim_{x \rightarrow -1^-} x=-1}\\ 原式f(-1)={-2+a-b-1\over 2+3} ={a-b-3\over 5}=-1 ={a-b-1\over 3} \Rightarrow a-b=-2\\ 因此\cases{a+b=4\\ a-b=-2} \Rightarrow \cases{a=1\\b=3} \Rightarrow (a,b)=\bbox[red,2pt]{(1,3)}$$

解答： $$令\cases{A(0,0,0)\\ B(2,0,0)\\ P(0,0,2)\\ \angle BAC=\theta} \Rightarrow \cases{F(1,0,1)\\ C(2\cos^2\theta,2\cos\theta \sin\theta) =(\cos 2\theta+1,\sin 2\theta,0)}\\ \Rightarrow \overrightarrow{PC}=(\cos 2\theta+1,\sin 2\theta,-2) \\ \Rightarrow L=\overleftrightarrow{PC}:{x\over \cos 2\theta+1} ={y\over \sin 2\theta}={z-2\over -2} \Rightarrow E((\cos 2\theta+1)t, \sin 2\theta \cdot t,-2t+2),t\in \mathbb R\\ \overline{AE}\bot \overline{PC} \Rightarrow ((\cos 2\theta+1)t, \sin 2\theta \cdot t,-2t+2) \cdot (\cos 2\theta+1,\sin 2\theta,-2)=0 \\ \Rightarrow t(\cos2\theta +1)^2+t\sin^2 2\theta +4t-4=0 \Rightarrow t={2\over \cos 2\theta+3} \Rightarrow E({2\cos 2\theta+2\over \cos 2\theta+3}, {2\sin 2\theta\over \cos 2\theta+3},{2\cos 2\theta+2\over \cos 2\theta+3})\\ 令\cases{\vec u=\overrightarrow{AF} \\ \vec v= \overrightarrow{AE}} \Rightarrow \triangle AEF={1\over 2}\sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot \vec v)^2} =\sqrt 2\cdot {\sin2\theta\over \cos 2\theta+3}\\ 令f(\theta)={\sin2\theta\over \cos 2\theta+3} \Rightarrow f'(\theta)= {6\cos 2\theta +2 \over (\cos 2\theta+3)^2} =0 \Rightarrow \cases{\cos 2\theta =-1/3\\ \sin 2\theta=2\sqrt 2/3} \\ \Rightarrow  \triangle AEF=\sqrt 2\cdot {2\sqrt 2/3\over -1/3+3}={4\over 3}\times {3\over 8}= \bbox[red, 2pt]{1\over 2}$$

2. 設$x$ 為有理數，將$(x+1)(x-2)$ 的小數第一位予以「四捨五入」後所得的整數為 $1+5x$ ，則$x$的值為多少？

解答： $$假設整數1+5x=n \in \mathbb N \Rightarrow x={n-1\over 5}\\ (x+1)(x-2)四捨五入後為1+5x \Rightarrow 1+5x-0.5 \le (x+1)(x-2) \lt 1+5x+0.5\\ \Rightarrow 5x+0.5 \le x^2-x-2\lt 5x+1.5 \Rightarrow 11.5 \le (x-3)^2 \lt 12.5 \\ \Rightarrow 11.5 \le ({n-1\over 5}-3)^2 \lt 12.5 \Rightarrow 11.5\le {1\over 25}(n-16)^2\lt 12.5 \Rightarrow 287.5\le (n-16)^2\lt 312.5\\ \Rightarrow n-16= \pm 17 \Rightarrow \cases{n=33\\ n=-1 } \Rightarrow \cases{x=(33-1)/5= 32/5\\ x=(-1-1)/5=-2/5} \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{{32\over 5}或-{2\over 5}}$$

解答： $$\mathbf{(1)}假設\cases{甲班只有兩位同學，一人16分，另一人0分，標準差=8\\乙班只有兩位同學，一人100分,另一人76分,其標準差=12}\\ 兩班合併後,四人分數為100,76,8,0 \Rightarrow 平均值=46 \\\Rightarrow 標準差=\sqrt{(54^2+30^2+38^2+46^2)^2/4} \gt 12 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{可能}\\ \mathbf{(2)}\;\mathbf{(2)}假設兩班合併後的平均值\mu，標準差為\sigma，則\sigma \ge \sqrt{m\sigma_x^2+ n\sigma_y^2 \over m+n} \ge \min\{\sigma_x,\sigma_y\} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{不可能}$$

解答：

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