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2023年12月5日 星期二

112年台北科大自動化科技-工程數學詳解

 國立 臺北科技 大學 l12學 年度碩 士班 招 生考試

系所組別 :1501、 1502自 動化科技研究所
第一節 工程數學 試題

解答:
(1){v1,v2,v3},av1+bv2+cv3=0,,a,b,c0T(av1+bv2+cv3)=aT(v1)+bT(v2)+cT(v3)=T(0)=0,0a,b,c使aT(v1)+bT(v2)+cT(v3)=0,{T(v1),T(v2),T(v3)}True(2)A=[1221][1001][1/32/32/31/3]=[1001]A,1False(3)A1+B1=B1+A1=B1AA1+B1BA1=B1(A+B)A1(A1+B1)1=(B1(A+B)A1)1=A(A+B)1BTrue(4)acos(x)+bsin(x)=0,xR{x=0a=0x=π/2b=0cos(x),sin(x)False(5) Ax=b[100010001110][x1x2x3]=[1234]{x1=1x2=2x3=3x1+x2=4 A4×3,rank(A)3,,False



解答:
(1)A=[41+i1i4]det(2)B=e^A \Rightarrow B的特徵值為e^{\lambda_i},其中\lambda_i為A的特徵值\Rightarrow B的特徵值為\bbox[red,2pt]{e^{4-\sqrt 2},e^{4+\sqrt 2}}\\ B的特徵向量與A相同,即\bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix} -(1+i)\sqrt 2 /2\\ 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix} (1+i)\sqrt 2 /2\\ 1 \end{bmatrix}}\\ \det(B)=\det(e^A) =e^{tr(A)}=\bbox[red, 2pt]{e^8}


解答:\lambda^4+11\lambda^3 +36\lambda^2+16\lambda -64=0 \Rightarrow (\lambda-1)(\lambda+4)^3=0 \\ \Rightarrow \lambda=1,-4 \Rightarrow y_h=c_1e^x +e^{-4x}(c_2+c_3x+ c_4x^2)\\ y_p=Ax^3e^{-4x}+ B\cos(2x)+C\sin(2x) \Rightarrow y_p'= 3Ax^2e^{-4x} -4Ax^3e^{-4x} -2B\sin(2x)+2C\cos(2x) \\ \Rightarrow y_p'' =6Axe^{-4x}- 24Ax^2e^{-4x}+16Ax^3 e^{-4x} -4B\cos(2x)-4C\sin(2x)\\ \Rightarrow y_p''' =6A e^{-4x}-72Axe^{-4x}+144 Ax^2e^{-4x} -64Ax^3e^{-4x} +8B \sin(2x)-8C\cos(2x)\\ \Rightarrow y_p''''=-96Ae^{-4x}+ 576Axe^{-4x} -768Ax^2e^{-4x}+256Ax^3e^{-4x}+16 B\cos(2x) +16C\sin(2x)\\ 只考慮e^{-4x}的係數, 只需計算y''''+11y''',即66A-96A=-3 \Rightarrow A={1\over 10}\\ 又\cases{-192B-56C=2\\ 56B-192C=0} \Rightarrow \cases{B= -6/625\\ C=-7/2500} \Rightarrow y_p={1\over 10}x^3e^{-4x}-{6\over 625} \cos(2x)- {7\over 2500}\sin(2x) \\ y=y_h+y_p \Rightarrow \bbox[red,2pt]{ y=c_1e^x +e^{-4x}(c_2+c_3x+ c_4x^2) +{1\over 10}x^3e^{-4x}-{6\over 625} \cos(2x)- {7\over 2500}\sin(2x)}

解答:\cases{x'=x-5y\\ y'=-3x-7y} \Rightarrow \cases{L\{x'\} =L\{x\}-5L\{y\} \\ L\{y'\} =-3L\{x\}-7L\{y\}} \Rightarrow \cases{sX(s)-2=X(s)-5Y(s)\\ sY(s)-2=-3X(s)-7Y(s)} \\ \Rightarrow \cases{(s-1)X(s)=2-5Y(s) \\ (s+7)Y(s)=2-3X(s)} \Rightarrow \cases{(s-1)X(s)=2-5{2-3X(s)\over s+7} =2-{10-15X(s)\over s+7}\\ (s+7)Y(s)=2-3{2-5Y(s)\over s-1} =2-{6-15Y(s)\over s-1}} \\ \Rightarrow \cases{X(s)={2(s+7)\over s^2+6s-22}-{10\over s^2+6s-22}=2\cdot {s+3\over (s+3)^2-31}-2 \cdot {1\over (s+3)^2-31}\\ Y(s)= {2(s-1)\over s^2+6s-22}-{6\over s^2+6s-22}=2\cdot {s+3 \over (s+3)^2-31}-14\cdot {1\over (s+3)^2-31}} \\ \Rightarrow \cases{x(t)=L^{-1}\{X(s)\} \\ y(t)= L^{-1}\{Y(s)\}} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{x(t) =2e^{-3t} \cosh(\sqrt{31} t)-2 e^{-3t} \sinh(\sqrt{31}t) \\ y(t)=2e^{-3t} \cosh( \sqrt{31} t)-14 e^{-3t} \sinh(\sqrt{31} t)} }

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解題僅供參考

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