113年身心障礙人員考試
等 別: 三等考試
類 科: 電力工程
科 目: 工程數學
甲、 申論題部分:( 50 分)
解答: (一)det(A)=14−20−12−4−15−56=−93≠0⇒A可逆,故得證(二)由(一)知:det(A)=−93(三)[A∣I]=[7−3−21005−2401012−1001]R1/7→R1→[1−37−2717005−2401012−1001]R2−5R1→R2,R3−R1→R3→[1−37−271700017387−57100177−57−1701]7R2→R2→[1−37−2717000138−5700177−57−1701]R1+(3/7)R2→R1,R3−(17/7)R2→R3→[1016−2300138−57000−9312−171]−R3/93→R3→[1016−2300138−570001−4311793−193]R1−16R3→R1,R2−38R3→R2→[1002317931693010−3315933893001−4311793−193]⇒A−1=[2317931693−3315933893−4311793−193](四)AB=I⇒det(B)=1det(A)=−193⇒det(B4)=1934
乙、 測驗題部分:( 50 分)
解答: rref(A)=[100−10100001000000000]⇒rank(A)=3,故選(C)
解答: y=xm⇒{y′=mxm−1y″=m(m−1)xm−2⇒x2y″−xy′−3y=m(m−1)xm−mxm−3xm=(m2−2m−3)xm=0⇒m2−2m−3=(m−3)(m+1)=0⇒m=−1,3⇒y=c1x−1+c2x3,故選(A)
解答: T(x,y)=(2x+y,3x+4y)⇒[2134][xy]=0≡Ax=0A=[2134]⇒A−1=[45−15−3525]⇒rank(T)=2⇒nullity(T)=0列空間維度=rank(T)=2≠0,故選(D)
解答: A為斜對稱⇒A=−AT⇒[0−2−3a03bc0]=[0−a−b20−c3−30]⇒{a=2b=3c=−3(D)×:bc=3×(−3)=−9≠9,故選(D)
解答: [1+x23412+x34123+x41234+x]R1−R2→R1,R3−R2→R3,R4−R2→R4→[x−x0012+x340−xx00−x0x]⇒det(A)=x|2+x34−xx0−x0x|−|−x00−xx0−x0x|=x(x3+9x2)−(−x3)=x4+10x3=x3(10+x),故選(A)
解答: det(A−λI)=0⇒−(λ+2)(λ−2)(λ−4)=0⇒λ=−2,2,4λ1=−2⇒(A−λ1I)v=0⇒v1=k(1−11)λ2=2⇒(A−λ2I)v=0⇒v2=s(−1−11)λ3=4⇒(A−λ3I)v=0⇒v3=t(−111)⇒{(A)I=v3(B)J=v2(C)×(D)L=v1,故選(C)
解答: D=[34−17]⇒det(D−λI)=0⇒(λ−5)2=0⇒λ=5,二重根(A−λI)v=0⇒v=k[21],僅有一獨立向量⇒D無法對角化,故選(D)
解答: {A(1,0,1)B(2,x,4)C(5,5,7)D(8,8,10)⇒{→AC=(4,5,6)→AD=(7,8,9)⇒→n=→AC×→AD=(−3,6,−3)平面E:−3(x−1)+6y−3(z−1)=0⇒x−2y+z=2B在E上⇒2−2x+4=2⇒x=2,故選(B)
解答: (y+x3)dx=xdy⇒y′=dydx=yx+x2y=ax3+bxc⇒{y(1)=a+b=2y′=3ax2+bcxc−1=yx+x2=ax2+bxc−1+x2=(a+1)x2bxc−1{3a=a+1bc=b⇒{a=1/2b=3/2c=1,故選(D)
解答: f(x)為奇函數⇒an=0bn=∫0−1−sin(nπx)dx+∫10sin(nπx)dx=[1nπcos(nπx)]|0−1+[−1nπcos(nπx)]|10=2nπ(1−(−1)n)⇒f(x)=∞∑n=12nπ(1−(−1)n)sin(nπx)=4πsin(πx)+0sin(2πx)+43πsin(3πx)+0sin(4πx)+⋯=4π(sin(πx)+0sin(2πx)+13sin(3πx)+0sin(4πx)+⋯)⇒{a=1b=0c=13d=0⇒a+b+c+d=43,故選(B)
解答: {P(x,y)=4x2y−3xy2Q(x,y)=x3−2x2y⇒{Py=4x2−6xyQx=3x2−4xy⇒Py−QxQ=1x⇒u′=1xu⇒積分因子u(x)=x=xmyn⇒{m=1n=0⇒m+n=1,故選(C)
解答: {lnx2=2lnxlnx3=3lnx⇒lnx,lnx2,lnx3不為線性獨立,故選(B)
解答: y′(t)=∫t0y(τ)cos(t−τ)dτ⇒L{y′(t)}=L{∫t0y(τ)cos(t−τ)dτ}⇒sY(s)−1=L{y(t)}L{cost}=Y(s)⋅ss2+1⇒(s−ss2+1)Y(s)=1⇒Y(s)=s2+1s3=1s+1s3⇒y(t)=L−1{1s}+L−1{1s3}=1+12t2,故選(D)
解答: Res(f,z=0)=z+1(z−2)2(z+4)|z=0=14⋅4=116Res(f,z=2)=ddzz+1z(z+4)|z=2=1z(z+4)−(z+1)(2z+4)(z2+4z)2|z=2=−112∮Cf(z)dz=2πi(116−112)=−124πi,故選(C)
解答: f(z)=1(z−1)(z−2)=1z−2−1z−1=−12⋅11−z2−1z⋅11−1z=−12(1+z2+z24+z38+⋯)−1z(1+1z+1z2++1z3+⋯)=⋯−1z2−1z−12−z4+⋯⇒{a=−1b=−1c=−1/2d=−1/4,故選(B)
解答: z=x+iy⇒z2=(x2−y2)+i(2xy)⇒f(z)=Re(z2)−iIm(z2)=(x2−y2)−i(2xy)⇒{u(x,y)=x2−y2v(x,y)=−2xy⇒{ux=2xvy=−2x⇒ux≠vy⇒f(z)不可解析,故選(B)
解答: z=2+2i⇒z2=8i⇒z4=−64⇒z4−6iz2+16=−64−6i×(8i)+16=−64+48+16=0⇒2+2i為其一根,故選(D)
解答: Var(Z)=Var(3X−2Y+3)=9Var(x)+4Var(Y)−12Cov(X,Y)=54⇒9⋅2+4Var(Y)−12⋅(−2)=54⇒4Var(Y)=12⇒Var(Y)=σ2Y=3,故選(C)
解答: fX(x)=∫1xxydy=12x−12x3⇒E[X]=∫10(12x−12x3)dx=115,故選(C)
解答: a,b,c均不通的機率=(1−0.4)(1−0.5)(1−0.4)=0.6⋅0.5⋅0.6=0.12⇒流通機率=1−0.12=0.88,故選(A)
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解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
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