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2024年4月14日 星期日

台北科大機械碩士乙-工程數學詳解

國立臺北科技大學113學年度碩士班招生考試

系所組別: 機械工程系機電整合碩士班乙組
第一節 工程數學

解答:1.xyy0(xy)=0xy=c1y=c1x2.{P(x,y)=x2+y2Q(x,y)=2xyPx=2x=QyexactΦ(x,y)=(x2+y2)dx=2xydyΦ=13x3+xy2+ϕ(y)=xy2+ρ(x)13x3+xy2+c1=0

解答:1.y=xmy=mxm1y=m(m1)xm2x2yxy+y=m(m1)xmmxm+xm=(m22m+1)xm=0m22m+1=0(m1)2=0m=1y=c1x+c2xlnx2.y2y+y=0λ22λ+1=0(λ1)2=0λ=1yh=c1ex+c2xexyp=Ax2exyp=2Axex+Ax2exyp=2Aex+4Axex+Ax2exyp2yp+yp=2Aex=exA=12yp=12x2exy=yh+ypy=c1ex+c2xex+12x2ex


解答:1.L1{F(s)}=1tL1{F(s)}=1tL1{1s+21s+1}=1t(e2tet)f(t)=1t(ete2t)2.L{y}16L{y}=L{u(t2π)}=s2Y(s)16Y(s)=e2πssY(s)=e2πss(s24)y(t)=L1{Y(s)}=L1{e2πss(s24)}=L1{e2πs(141s+181s2+181s+2)}y(t)=u(t2π)(14+18e2(t2π)+18e2(t2π))

解答:\textbf{1.}\; A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 7 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=(\lambda-5)^2=0 \Rightarrow \lambda=5\\ \quad \Rightarrow (A-\lambda I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-2 & 4 \\-1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow x_1=2x_2 \Rightarrow v=x_2\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix} \\\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{特徵值:5,特徵向量:\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}} \\\textbf{2.}\; rank(A)=2但只有一個特徵向量,因此\bbox[red, 2pt]{A無法對角化} \\\textbf{3.}\; A=D+N= \begin{bmatrix}5 & 0\\0 & 5 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-2 & 4 \\-1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow N^2=0 \Rightarrow e^N=I +N =\begin{bmatrix}-1 & 4 \\-1 & 3 \end{bmatrix} \\\quad e^A=e^{D+N} =e^D\cdot e^N= \begin{bmatrix} e^5 & 0 \\0 & e^5 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}-1 & 4 \\-1 & 3 \end{bmatrix}= \bbox[red, 2pt]{ \begin{bmatrix}-e^5 & 4e^5 \\-e^5 & 3e^5 \end{bmatrix}}


解答:\cases{f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2\\ g(x,y,z)= x^2+y^2-2-z} \Rightarrow \cases{\nabla f=(2x,2y,2z)\\ \nabla g=(2x,2y,-1)} \Rightarrow \cases{\vec u=\nabla f(1,-1,0)= (2,-2,0)\\ \vec v= \nabla g(1,-1,0)= (2,-2,-1)} \\ \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v\over |\vec u|| \vec v|} ={8\over \sqrt 8\cdot \sqrt 9} ={2\over 3}\sqrt 2 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\theta=\cos^{-1} {2\over 3}\sqrt 2}

==================== END ======================
解題僅供參考,其他歷年試題及詳解

1 則留言:

  1. 勘誤一下,第三題的2,F(s)=exp(-2*pi*s)/(s*(s^2-16)),應是沒注意到.麻煩了!

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