國立臺北科技大學113學年度碩士班招生考試
系所組別: 機械工程系機電整合碩士班乙組
第一節 工程數學
解答:1.xy′+y=0⇒(xy)′=0⇒xy=c1⇒y=c1x2.{P(x,y)=x2+y2Q(x,y)=2xy⇒Px=2x=Qy⇒exact⇒Φ(x,y)=∫(x2+y2)dx=∫2xydy⇒Φ=13x3+xy2+ϕ(y)=xy2+ρ(x)⇒13x3+xy2+c1=0
解答:1.y=xm⇒y′=mxm−1⇒y″=m(m−1)xm−2⇒x2y″−xy+y=m(m−1)xm−mxm+xm=(m2−2m+1)xm=0⇒m2−2m+1=0⇒(m−1)2=0⇒m=1⇒y=c1x+c2xlnx2.y″−2y′+y=0⇒λ2−2λ+1=0⇒(λ−1)2=0⇒λ=1⇒yh=c1ex+c2xexyp=Ax2ex⇒y′p=2Axex+Ax2ex⇒y″p=2Aex+4Axex+Ax2ex⇒y″p−2y′p+yp=2Aex=ex⇒A=12⇒yp=12x2ex⇒y=yh+yp⇒y=c1ex+c2xex+12x2ex
解答:1.L−1{F(s)}=−1tL−1{F′(s)}=−1tL−1{1s+2−1s+1}=−1t(e−2t−e−t)⇒f(t)=1t(e−t−e−2t)2.L{y″}−16L{y}=L{u(t−2π)}=s2Y(s)−16Y(s)=e−2πss⇒Y(s)=e−2πss(s2−4)⇒y(t)=L−1{Y(s)}=L−1{e−2πss(s2−4)}=L−1{e−2πs(−14⋅1s+18⋅1s−2+18⋅1s+2)}⇒y(t)=u(t−2π)(−14+18e−2(t−2π)+18e2(t−2π))
解答:\textbf{1.}\; A=\begin{bmatrix}3 & 4 \\-1 & 7 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A-\lambda I)=(\lambda-5)^2=0 \Rightarrow \lambda=5\\ \quad \Rightarrow (A-\lambda I)v=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-2 & 4 \\-1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix} =0 \Rightarrow x_1=2x_2 \Rightarrow v=x_2\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix} \\\Rightarrow \bbox[red, 2pt]{特徵值:5,特徵向量:\begin{pmatrix}2 \\1\end{pmatrix}} \\\textbf{2.}\; rank(A)=2但只有一個特徵向量,因此\bbox[red, 2pt]{A無法對角化} \\\textbf{3.}\; A=D+N= \begin{bmatrix}5 & 0\\0 & 5 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-2 & 4 \\-1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow N^2=0 \Rightarrow e^N=I +N =\begin{bmatrix}-1 & 4 \\-1 & 3 \end{bmatrix} \\\quad e^A=e^{D+N} =e^D\cdot e^N= \begin{bmatrix} e^5 & 0 \\0 & e^5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1 & 4 \\-1 & 3 \end{bmatrix}= \bbox[red, 2pt]{ \begin{bmatrix}-e^5 & 4e^5 \\-e^5 & 3e^5 \end{bmatrix}}
==================== END ======================
解題僅供參考,其他歷年試題及詳解
勘誤一下,第三題的2,F(s)=exp(-2*pi*s)/(s*(s^2-16)),應是沒注意到.麻煩了!
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