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2024年6月13日 星期四

113年中崙高中教甄-數學詳解

臺北市立中崙高級中學 113 學年度第 1 次數學科正式教師甄選

壹、填充題(每題 5 分)

解答:

¯BC=2¯AD=3¯AE=33cosDAB=cos30=32=¯AE2+¯AB2¯BE22¯AE¯AB=1/3+4¯BE243/3¯BE2=73cosDEB=43+731437=27sinDEB=37¯BF=¯BDcosDBE=¯BDsinEDB=137=217
解答:56×5×4×(24+24)+56×5×(24+48)=73920
解答:n=138+140+141+142+143+145=849
解答:x2+y2=1x2=1y2(1y2)+2xy+2y22x2y=0y22y+1+2xy2x=0(y1)2+2x(y1)=0(y1)(y1+2x)=0{y=1x=0y=12xx(5x4)=0(x,y)=(0,1),(45,35)
解答:z+w=233i{z=a+(33+b)iw=a+(33b)iz2+w2=2a2232b2+4abi=233i{a2b2=13ab=36a2(36a)2=1312a44a21=0(6a2+1)(2a21)=0a2=12a=22
解答:(3x)22(m+1)3x(m1)=03x=(m+1)±m2+3m{m2+3m>0m>0m<33x>0m+1>m2+3mm<10<m<1
解答:

C:(x2)2+(y2)2=8k{M(2,2)r=8kA(3,3)xA(3,3)L=AM:x=yLPAQLx=O(0,0){¯PO=a¯QO=7/4a,{P(a,0),Q(a+74,0)¯AP¯AQ=¯PO¯QO(3+a)2+9(a19/4)2+9=a7/4a4a231a+21=0a=3/4(a=7)P(34,0)L2=AP:3y=4x+3r=d(M,L2)=1=8kk=7

解答:{AL1:x+2y=0A(2a,a)BL2:x+y=0B(b,b)G(0,0)C(2ab,a+b){CA=(4a+b,2ab)CB=(2a+2b,a2b)CACB=010a215ab+4b2=0(1)¯AB=36(2ab)2+(a+b)2=3625a2+6ab+2b2=362(2)(1)(2)ab=236227ABC=122aa1bb12aba+b1=32ab=32236227=144
解答:cosθ=(1+cos2θ2)1/2a0=cosπ3=12a1=cosπ32=(1+(1/2)2)1/2=32a2=cosπ322an=cosπ32n=1(π32n)22!+(π32n)44! (Taylor series)lim
解答:3\sin 2x+4\cos 2x=1 \Rightarrow (4\cos 2x)^2= (1-3\sin 2x)^2 \Rightarrow 16\cos^2 2x=1-6\sin 2x+9\sin^2 2x \\ \Rightarrow 16(1-\sin^2 2x)=1-6\sin 2x+9\sin^2 2x \Rightarrow 25\sin^2 2x-6\sin 2x-15=0 \\\Rightarrow \sin 2\alpha \sin 2\beta=-{3\over 5} \cdots(1)\\ 同理,(3\sin 2x)^2=(1-4\cos 2x)^2 \Rightarrow 9\sin^2 2x= 9(1-\cos^2 2x)=1-8\cos 2x+ 16\cos^2 2x \\ \Rightarrow 25\cos^2 2x-8\cos 2x-8=0 \Rightarrow \cos 2\alpha \cos 2\beta=-{8\over 25} \cdots(2)\\ 由(1)及(2)可得 \cos 2(\alpha+\beta)= \cos 2\alpha \cos 2\beta-\sin 2\alpha \sin 2\beta={7\over 25}  \\ \Rightarrow \sin 2(\alpha+\beta)= \sqrt{1-\cos^2 2(\alpha+\beta)} =\sqrt{1-{49\over 625}} = \bbox[red, 2pt]{24\over 25}
解答:X=7 \Rightarrow 111111排列數=1\\ X=6 \Rightarrow 211111排列數={6!\over 5!}=6\\ X=5\Rightarrow \cases{11113排列數=5!/4!=5\\ 11122排列數= 5!/(3!2!)= 10} \Rightarrow 合計15\\ X=4 \Rightarrow \cases{1114排列數=4!/3!=4\\ 1123排列數=4!/2!=12\\ 1222排列數=4} \Rightarrow 合計20 \\ X=3 \Rightarrow \cases{115排列數=3!/2!=3\\ 124排列數=6\\ 133排列數=3\\ 223排列數=3} \Rightarrow 合計15 \\X=2 \Rightarrow \cases{16 排列數=2\\ 25排列數=2\\ 34排列數=2} \Rightarrow 合計6\\  X=1 \Rightarrow 7排列數=1\\ \Rightarrow E(X)={1\cdot 1+2\cdot 6+ 3 \cdot 15+ 4\cdot 20+ 5\cdot 15+6\cdot 6+ 7\cdot 1\over 1+6+15+20+15+6+1} ={256\over 64} =\bbox[red, 2pt]4
解答:f(x)-2f({1\over x})-{3\over x}=0 \Rightarrow f({1\over x})={1\over 2}\left( f(x)-{3\over x}\right) \cdots(1)\\又f({1\over x})-2f(x)-3x=0 \Rightarrow f({1\over x})=2f(x)+3x \cdots(2)\\ 由(1)及(2)可得f({1\over x})={1\over 2}\left( f(x)-{3\over x}\right) =2f(x)+3x \Rightarrow f(x)=-2x-{1\over x} \\ 令g(x)=(f(x))^2 =4x^2+{1\over x^2}+4 \Rightarrow g'(x)=0 \Rightarrow x^2={1\over 2} \Rightarrow g(x)=4\cdot {1\over 2}+2+4= \bbox[red, 2pt]8

貳、計算證明題(每小題 10 分)

解答:x^2+x+1=0的兩根為\omega,\omega^2 且\omega^3=1\\ 由於\cases{(\omega+2)^2=\omega^2+4\omega+4=3\omega+3=3(\omega+1)\\ (\omega+1)^2=\omega^2+2\omega +1=\omega}, 因此f(\omega)=(\omega+2)^{24}-(\omega+1)^{24} \\=(3(\omega+1))^{12} -(\omega+1)^{24} =3^{12}(\omega+1)^{12}-(\omega+1)^{24}=3^{12}\omega^6-\omega^{12}= \bbox[red, 2pt]{ 3^{12}-1}
解答:a_1=2^{20}-24(偶數) \Rightarrow a_4=2^{17}-3(奇數) \Rightarrow a_5=2^{17}-4 \Rightarrow a_7=2^{15}-1 \\ \Rightarrow a_8=2^{15}-2 \Rightarrow a_9=2^{14}-1 \Rightarrow a_{11}=2^{13}-1 \Rightarrow a_{13}= 2^{12}-1 \Rightarrow a_{33}=2^2-1\\ \Rightarrow a_{35}=2-1=1 \Rightarrow M=\bbox[red, 2pt]{35}
解答:
========================= END ============================
解題僅供參考,部份有待詳細解說, 其他教甄試題及詳解



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