114年基隆市立高中教甄聯招-數學詳解

 基隆市 114 學年度市立中山、安樂、八斗高級中學教師甄選

一、 填充題(每格 7 分，共 70 分)

解答:$$答對機率={1\over 2} \Rightarrow 期望值=5\times {1\over 2}=\bbox[red, 2pt]{2.5}$$

解答:$$R\to R+1 \Rightarrow 周長:2\pi R \to 2\pi(R+1)  \Rightarrow 周長增加2\pi \approx 6與半徑無關\\ \Rightarrow 地球半徑增加1公分,周長仍是增加\bbox[red, 2pt]6公分$$

解答:$$2\ln(n+1)\le 3 \Rightarrow n+1\le e^{3/2} \Rightarrow n\le e^{3/2}-1 \Rightarrow n=\bbox[red, 2pt]3$$

解答:$$\cases{P(晴\to 晴)=0.7 \\P(晴\to 雨)=0.3 \\P(雨\to 晴)=0.4 \\P(雨\to 雨)=0.6 } \Rightarrow A=\begin{bmatrix} 0.7& 0.4\\ 0.3& 0.6\end{bmatrix} \Rightarrow 穩定後Ax=x \Rightarrow  \begin{bmatrix} 0.7& 0.4\\ 0.3& 0.6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix} \\ \Rightarrow 0.3x=0.4y \Rightarrow {x\over y}= \bbox[red, 2pt]{4\over 3}$$

解答:$$z=-1+\sqrt 3 i=2\left(-{1\over 2}+{\sqrt 3\over 2}i \right) =2\left( \cos {2\pi\over 3}+i \sin{2\pi\over 3} \right) \\ \Rightarrow k= \bbox[red, 2pt]{3\over 2}時,z^k =2^{3/2}(-1+0i) \in \mathbb R$$

解答:$$假設P(m,n)在橢圓的第一象限上，則內接最大矩形為2m\times 2n=4mn \\ {m^2\over 9}+{n^2\over 4}=1 \Rightarrow {m^2\over 9}+{n^2\over 4} \ge 2\sqrt{{m^2\over 9}\cdot {n^2\over 4}} \Rightarrow 1\ge 2\cdot {mn\over 6} \Rightarrow mn\le 3\Rightarrow 4mn\le \bbox[red, 2pt]{12}$$

解答:

$$假設\cases{球半徑R\\ 圓柱底面圓半徑r\\ 圓柱高為2h} \Rightarrow 圓柱體體積=r^22h\pi=(R^2-h^2)2h\pi=f(h) =(2R^2h-2h^3)\pi \\ \Rightarrow f'(h)=(2R^2-6h^2)\pi=0 \Rightarrow R=\sqrt 3h \Rightarrow r=\sqrt{3h^2-h^2} =\sqrt 2h \Rightarrow {R\over r}={\sqrt 3\over \sqrt 2}= \bbox[red, 2pt]{\sqrt 6\over 2}$$

解答:$$A=\begin{bmatrix}1 & -2 \\3 &-1 \end{bmatrix}\Rightarrow \det(A-\lambda I) =\lambda^2+5 \Rightarrow A^2+5I=0 \Rightarrow \cases{(A^2+5I)^2=A^4+10A^2+25I=0 \\A^3+5A=0}\\ \Rightarrow A^4-2A^3+3A^2-A= (-10A^2-25I)-2(-5A)+3A^2-A=-7A^2+9A-25I \\=-7(-5I)+9A-25I=9A+10I= \begin{bmatrix}9 & -18 \\27 &-9 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}10 & 0 \\0 & 10 \end{bmatrix} = \bbox[red, 2pt]{\begin{bmatrix}19 & -18 \\27 & 1 \end{bmatrix}}$$

解答:$$g(x)=\int_0^{2x} f(t)\,dt \Rightarrow g'(x) =2f(2x) \Rightarrow g'(2)=2f(4) =2\times 5= \bbox[red, 2pt]{10}$$

解答:$$假設作弊比率為p,編號1硬幣為正面的機率為{1\over 2} \Rightarrow \cases{50同學需回答問題1 \Rightarrow 有50p的同學回答是\\ 50同學需回答問題2 \Rightarrow \cases{25位同學回答是\\ 25位同學回答否}} \\ \Rightarrow 回答是的同學有50p+25=35 \Rightarrow p=0.2= \bbox[red, 2pt]{20}\%$$

解答:$$\bbox[cyan, 2pt]{學校提供}: \bbox[red, 2pt]{-(x-\cos \beta)\sin \alpha+(y-\sin \beta)\cos \alpha+{1\over 4} =[(x-\cos \beta)\cos \alpha+ (y-\sin \beta) \sin \alpha]^2}$$

解答:$$\bbox[cyan,2pt]{學校提供}$$

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