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2013年8月29日 星期四

國中數學:已知三角形三邊長,求過內心平行底邊之線段長

題目:三角形ABC (如下圖),AB=5、AC=6、BC=7,D為內心,求過D平行BC之線段EF之長度。

解答:
(1)先證明

由於AM為角平分線,所以角NAM=角MAO,角N=角O=90度,所以三角形ANM與三角形全等,因此線段MN=MO。




上式之h為BC上的高。

由上二式可知

因此


(2)接著證明 DF=FC, DE=EB (如下圖)

由於DF//MC, 所以角FDC = 角DCM; 又DC是角C的平分線, 所以角DCM=角FCD,因此角FDC=角FCD,三角形FDC為等腰,即FD=FC。
同理,三角形EBD也是等腰,EB=ED。

最後假設 BE=a=ED, DF=b=FC, 
由三角形AED與三角形ABM相似,可知

同理,三角形ADF與三角形AMC相似,所以





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