國中數學：圓心角為圓周角的二倍

題目：O為圓心，A, B, C為圓周上三點(如下圖)，則

解答：

由圓周上三點的位置，可區分成以下三種狀況

(1)狀況一：圓周角之一邊經過圓心 (如下圖)

由於OA=OC=半徑，所以三角形OAC為等腰三角形，ÐOAC=ÐOCA。

圓心角ÐBOC為ÐAOC的外角，所以ÐBOC=ÐOAC+ÐOCA=2ÐOAC。

(2)狀況二：圓心在圓周角內(如下圖)

作輔助線AO，並與圓周交於E點，如下圖。

狀況二可以拆成兩個狀況一，圓心角ÐEOB是圓周角ÐEAB的兩倍；圓心角ÐCOE是圓周角ÐCAE的兩倍。因此ÐCOB=ÐCOE +  ÐEOB = 2ÐCAE + 2ÐEAB =2(ÐCAE+ÐEAB) = 2ÐCAB。

狀況三：圓心在圓周角外(如下圖)

狀況三也是拆成兩個狀況一，不同於狀況二的是將兩個狀況一結果的相減。

作輔助線AO交圓周於D點，如下圖。

圓心角ÐBOD是圓周角ÐBAD的兩倍，另外圓心角ÐCOD是圓周角ÐCAD的兩倍。

因此圓心角ÐCOB = ÐCOD-ÐBOD = 2ÐCAD-2ÐBAD = 2(ÐCAD-ÐBAD) = 2ÐCAB。

無論是狀況一、狀況二，還是狀況三，圓心角皆等於圓周角的兩倍。

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