網頁

2013年8月30日 星期五

國中數學:圓心角為圓周角的二倍

題目:O為圓心,A, B, C為圓周上三點(如下圖),則


解答
由圓周上三點的位置,可區分成以下三種狀況
(1)狀況一:圓周角之一邊經過圓心 (如下圖)


由於OA=OC=半徑,所以三角形OAC為等腰三角形,ÐOAC=ÐOCA。
圓心角ÐBOC為ÐAOC的外角,所以ÐBOC=ÐOAC+ÐOCA=2ÐOAC。

(2)狀況二:圓心在圓周角內(如下圖)

作輔助線AO,並與圓周交於E點,如下圖。
狀況二可以拆成兩個狀況一,圓心角ÐEOB是圓周角ÐEAB的兩倍;圓心角ÐCOE是圓周角ÐCAE的兩倍。因此ÐCOB=ÐCOE +  ÐEOB = 2ÐCAE + 2ÐEAB =2(ÐCAE+ÐEAB) = 2ÐCAB。

狀況三:圓心在圓周角外(如下圖)

狀況三也是拆成兩個狀況一,不同於狀況二的是將兩個狀況一結果的相減。
作輔助線AO交圓周於D點,如下圖。

圓心角ÐBOD是圓周角ÐBAD的兩倍,另外圓心角ÐCOD是圓周角ÐCAD的兩倍。
因此圓心角ÐCOB = ÐCOD-ÐBOD = 2ÐCAD-2ÐBAD = 2(ÐCAD-ÐBAD) = 2ÐCAB。

無論是狀況一、狀況二,還是狀況三,圓心角皆等於圓周角的兩倍。

--- end ---

沒有留言:

張貼留言