100年第2次國中基測數學詳解

100年第二次國民中學學生基本能力測驗

試題來源：師大心測中心
關鍵字：100年、國中、基測

解：

選項(D)下方之三角形需移至上方，才能組合成原始立體圖，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $${5\over 6}-{3\over 8}+(-2{7\over 8}) ={20\over 24}-{9\over 24}-{23\over 8} ={11\over 24}-{69\over 24}=-{58\over 24}=-{29\over 12}=-2{5\over 12}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

人數為9，所以中位數為排序第5的體重，也就是48公斤
有兩人的體重為47公斤，其他每人體重不同，故眾數為47
故選(D)。

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解：

故選(A)。

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解： $$L_1過圓心\Rightarrow d(O,L_1)=0\\ L_2與圓相交兩點且不過圓心\Rightarrow 0\lt d(O,L_2)\lt 半徑=20\\ L_3與圓不相交\Rightarrow d(O,L_3) \gt 半徑=20\\ L_4與圓相切\Rightarrow d(O,L_4)=半徑=20\\因此只有L_2與圓心距離可能為14，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$s,t皆介於-1與0之間，且s\lt t，因此-1 \lt s-t\lt 0 \Rightarrow 0\lt s-t+1\lt 1 \\\Rightarrow |s-t+1|\lt 1 \in \overline{CD}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\overline{AB} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \cases{\angle BAO= \angle OCD\\ \angle ABO=\angle ODC} (內錯角相等) \Rightarrow \triangle OAB\sim \triangle OCD (AAA)\\ \Rightarrow {\overline{OA} \over \overline{OB}} ={\overline{OC} \over \overline{OD}} \Rightarrow {12/7 \over 18/7} ={10/3 \over \overline{OD}} \Rightarrow \overline{OD} ={10\over 3}\times {18\over 7} \times {7\over 12}=5 \Rightarrow C(0,5)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\cases{A(a,{29\over 4})\\ B(b,{29\over 4})} 皆在y=x^2+1上 \Rightarrow \cases{a^2+1= {29\over 4} \\b^2+1= {29\over 4} } \Rightarrow \cases{a=\sqrt{{29\over 4}-1}=\sqrt{25\over 4} ={5\over 2}\\b=-\sqrt{{29\over 4}-1}=-\sqrt{25\over 4} =-{5\over 2}} \\ \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{(a-b)^2+0^2} =\sqrt{({10\over 2})^2}=\sqrt{5^2} =5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$0.04 \lt 0.0.484 \lt 0.09 \Rightarrow \sqrt{0.04} \lt \sqrt{0.0484} \lt \sqrt{0.09} \Rightarrow 0.2\lt \sqrt{0.0484} \lt 0.3 ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$2-(3+3x) \lt 5-(2-x) \Rightarrow 2-3-3x \lt 5-2+x \Rightarrow -1-3x\lt 3+x \\\Rightarrow -1-3\lt x+3x \Rightarrow -4\lt 4x \Rightarrow -1\lt x，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

一個階梯垂直高度為a，共20個，所以總高度為20a，故選(A)。

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解：

$$令\cases{\angle BAJ'=\angle B'AJ= a\\ \angle BAB'=b}，由於正10邊形每一內角為(10-2)\times 180^\circ \div 10=144^\circ\\，因此\angle B'AJ'=144^\circ   \Rightarrow a+b=144^\circ\cdots(1)；\\又  \angle AJI=\angle AJ'I'=144^\circ  \Rightarrow   \angle JAJ'+\angle AJJ' = 144^\circ \Rightarrow \angle JAJ'+180^\circ-144^\circ =144^\circ \\ \Rightarrow \angle JAJ'=108^\circ \Rightarrow 108^\circ+2a+b=360^\circ \Rightarrow 2a+b=252^\circ\cdots(2)\\ (2)-(1) \Rightarrow a=252^\circ -144^\circ = 108^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f(x)=2x^3-10x^2+20x =(ax+b)(x^2+10)+100 \Rightarrow \cases{f(0)=0=10b+100\\ f(1)=12=11(a+b)+100} \\ \Rightarrow \cases{b=-10 \\ 11(a+b)=-88 \Rightarrow a+b=-8} \Rightarrow a-10=-8 \Rightarrow a=2 \Rightarrow \cases{a=2\\b=-10} \\ \Rightarrow {b\over a}={-10\over 2}=-5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

210<x<240，且x為6的倍數，x之值為216, 222, 228, 234共4種可能。又x-3為5的倍數，故x=228，x=32x7+4，故選(D)。

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解： $$直線3x-5y+15=0通過(-5,0)，只有L_1過此點，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y=-2x^2+4x+6 =-2(x^2-2x)+6 =-2(x^2-2x+1)+2+6 =-2(x-1)^2+8\\ \Rightarrow y=-2(x-1)^2+8=a(x+h)^2+k \Rightarrow \cases{a=-2\\ h=-1\\ k=8} \Rightarrow a+h+k = -2-1+8=5\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$(\sqrt 5-1)x=12 \Rightarrow x={12 \over \sqrt 5-1} ={12(\sqrt 5+1) \over (\sqrt 5-1)(\sqrt 5+1)} = {12(\sqrt 5+1) \over 4} =3(\sqrt 5+1)= 3\sqrt 5+3\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{a=-3^4\\ b=(-3)^4 =3^4\\ c=(2^3)^4 =2^{12}\\ d=(2^2)^6=2^{12}} \Rightarrow \cases{a\ne b\\ c=d}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$在第n頁寫出:\overbrace{n, n+1, n+2,..., 2n-1}^{n個數字}。\\由於要第1次出現1000，所以從最後一個數字，依次往前檢查：\\\cases{2n-1=1000 \Rightarrow n不是整數\\ 2n-2=1000 \Rightarrow n=501 \\ 2n-3=1000 \\\cdots} \Rightarrow 第1次出現1000在第501頁，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$\cases{(A)\angle B=37 \Rightarrow \angle C=180-27-37= 116 \gt 90\\ (B)\angle B=57 \Rightarrow \angle C=180-27-57= 96 \gt 90\\ (C)\angle B=77 \Rightarrow \angle C=180-27-77= 76 \lt 90\\ (D)\angle B=97 \gt 90}\\ \Rightarrow 當\angle B=77時，三內角分別為27,77,76，此為銳角三角形，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$假設P為\overline{AC}與\overline{BD}的交點，由於ABCD為菱形，因此P為\overline{BD}的中點且\overline{AC}\bot \overline{BD}，如上圖；\\ \overline{BP} =\overline{BD}\div 2=16\div 2=8 \Rightarrow \overline{AP}^2 = \overline{AB}^2-\overline{BP}^2 =17^2-8^2=225\\ 直角\triangle APE中，\overline{AE}^2 = \overline{AP}^2+(8+\overline{DE})^2 \Rightarrow 25^2=225+(8+\overline{DE})^2 \Rightarrow (8+\overline{DE})^2=400\\ \Rightarrow 8+\overline{DE}=20 \Rightarrow \overline{DE}=12，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：
上學期舞蹈社占全部的3/(3+4+5)=1/4，溜冰社占全部的1/3
下學期舞蹈社占全部的4/(4+3+2)=4/9，溜冰社占全部的1/3
1/4<4/9⇒舞蹈社增加，溜冰社不變，故選(D)。

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解答：

$$G為重心\Rightarrow \triangle AGB ={1\over 3}\triangle ABC \Rightarrow \overline{AB}\times \overline{GD} ={1\over 3}\times \overline{AC}\times \overline{BC} \Rightarrow 29\times \overline{GD} ={1\over 3}\times 20\times 21\\ \Rightarrow \overline{GD}={140\over 29}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$假設\cases{甲袋取出的牌號為a\\ 乙袋取出的牌號為b}，則(a,b)共有4\times 3=12種情形\\，其中(4,3),(4,4),(3,4)，3種情形符合a+b \gt 6；因此機率為{3\over 12} ={1\over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

33x²-17x-26=(11x-13)(3x+2)⇒|a+b+c+d|=|11-13+3+2|=3，故選(A)。

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解： $$(250+0.9+0.8+0.7)^2 -(250-0.9-0.8-0.7)^2 =(250+2.4)^2 -(250-2.4)^2\\ =(250+2.4+250-2.4)(250+2.4-250+2.4) =500\times 4.8 = 2400，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$圓心在任一弦的中垂線上，即\overset{\Large{\frown}}{AD} =\overset{\Large{\frown}}{DC} =\angle B = 180^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ-36^\circ- 60^\circ = 84^\circ\\ \angle BOD = \overset{\Large{\frown}}{DC} +\overset{\Large{\frown}}{CB} =84^\circ +2\times 36^\circ = 156^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$E在\overline{AD}的中垂線上\Rightarrow \overline{EA}=\overline{ED} \Rightarrow \angle EAD=\angle EDA\\，又\overline{AD}為\angle A的角平分線，即\angle BAD=\angle EAD，因此 \angle EDA=\angle BAD \Rightarrow \overline{AB}\parallel \overline{DE} (內錯角相等)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$(3x-c)^2-60=0 \Rightarrow 3x-c= \pm \sqrt{60} \Rightarrow x={c\pm \sqrt{60}\over 3} \gt 0\\ \Rightarrow c-\sqrt {60}\gt 0 \Rightarrow c\gt \sqrt{60} \Rightarrow c=8 ( 因為60\lt 8^2)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

全校的中位數(紅線位置)約在70分處，全校的Q3(藍線位置)約75分處

阿成的分數位在65百分位數，也就是介於50%~75%之間(紅藍線之間)。

以全班成績來看，阿成的分數超過全班的Q3。全班32人，Q3約占32/4=8人，所以選(A)。

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解：

當P=C時，∠QOP=30
當P向右移2X度後，∠AOP=60+2X⇒∠QOP=∠AOP/2=30+X
所以P越往右移，∠QOP越大，扇形POQ面積越大

故選(A)。

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解：

$$\overline{AD} \parallel\overline{HE} \Rightarrow \angle DEH = \angle C = \angle A=60^\circ;\\作\overline{DP} \bot \overline{HE} \Rightarrow \angle PDE = 90^\circ-\angle DEH=90^\circ-60^\circ=30^\circ  \Rightarrow \cases{\overline{PE}= {1\over 2}\overline{DE} =2 \\\overline{DP}={\sqrt 3\over 2}\overline{DE} =2\sqrt 3} \\ \Rightarrow \overline{HP}= \overline{HE}-\overline{PE}=5-2=3 \Rightarrow 梯形HEDI面積= 矩形DPHI+\triangle DPE \\= 3\times 2\sqrt 3+{1\over 2}\times 2\times 2\sqrt 3 =6\sqrt 3+2\sqrt 3=8\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$AEFD \sim EBCF \Rightarrow {\overline{AE}\over \overline{EB}}={4\over 6} ={\overline{AD}\over \overline{EF}} ={\overline{EF}\over \overline{BC}} \Rightarrow \cases{\overline{AD}={4\over 6}\overline{EF} \\\overline{BC}={6\over 4}\overline{EF}} \Rightarrow {\overline{AD}\over \overline{BC}}= {4/6\over 6/4} ={16\over 36} ={4\over 9}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

甲的作法：由於PE//AB且QR//FE，所以PQFE及PFER兩者皆為平行四邊形。因此PQ=FE，FE=PR，所以PQ=PR。

乙的作法：由於PE//AB，所以△RPE與△RAQ相似。因此RP:PQ=RE:EA=1:1，P為QR中點。

甲、乙兩人作法皆正確，故選(A)。

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