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2014年5月21日 星期三

103年國中會考數學詳解


試題來源:師大心測中心
第一部分:選擇題(1~27)
解:

$$\left( \sqrt { 6 } +\sqrt { 10 } \times \sqrt { 15 }  \right) \times \sqrt { 3 } =\sqrt { 6\times 3 } +\sqrt { 10\times 15\times 3 } =\sqrt { 18 } +\sqrt { 450 } \\ =3\sqrt { 2 } +15\sqrt { 2 } =18\sqrt { 2 }$$ 
故選(D)


解:$$A=2^{ 5 }\times 7^{ 6 }\times 11^{ 4 }=\left( 2^{ 4 }\times 7^{ 4 }\times 11^{ 4 } \right) \times \left( 2\times 7^{ 2 } \right) $$
故選(C)


解:
$$在直角\triangle ABE\Rightarrow { \overline { AE }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }-{ \overline { BE }  }^{ 2 }=10^{ 2 }-8^{ 2 }=6^{ 2 }\Rightarrow \overline { AE } =6\\ 在直角\triangle ADE\Rightarrow { \overline { AD }  }^{ 2 }={ \overline { DE }  }^{ 2 }-{ \overline { AE }  }^{ 2 }=\left( 6\sqrt { 3 }  \right) ^{ 2 }-6^{ 2 }=72\Rightarrow \overline { AD } =6\sqrt { 2 } $$
故選(C)


解:
取出不放回,共有3×2=6種情形,只有54是6的倍數,因此機率為1/6,故選(A)


解:
原式=(741+2)(370-1)-741×370=741×370-741+2×370-2-741×370
=-741+2×370-2=740-741-2=-3
故選(A)
也就是令\(y=370,x=741=2y+1\), 則原式為\((x+2)(y-1)-xy=-x+2y-2=-(2y+1)+2y-2=\bbox[red,2pt]{-3}\)

解:$$\begin{cases}5x-y=5\cdots(1)\\y=\frac{1}{5}x\cdots(2)\end{cases}\Rightarrow \text{由(2)可知 }x=5y\text{ 代入(1)可得 }25y-y=5\Rightarrow y=\frac{5}{24}\\ \Rightarrow a+b=x+y=5y+y=6y=6\times\frac{5}{24}=\frac{5}{4},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解:
0.5公斤的番茄要10元1公斤的番茄要20元⇒250元的番茄重250/20=12.5公斤⇒空竹籃=15-12.5=2.5公斤
故選(C)


解:
選(A)可拼湊成下圖
上圖與紅線對稱,故選(A)


解:
F到y軸的直線為紅線(如下圖),由於兩三角形全等,所以兩條紅線長度相等。又三角形BAC為等腰,所以紅線與藍線長度相等。藍線長度=A點y座標-C點y座標=1-(-3)=4。


故選(C)


解:
$$\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-74^\circ-46^\circ=60^\circ\Rightarrow \overset{\large{\frown}}{BC}=120^\circ\Rightarrow \overset{\large{\frown}}{FC}=60^\circ\\ \triangle GEC\Rightarrow \angle GEC=180^\circ-90^\circ-46^\circ=44^\circ =\frac{\overset{\large{\frown}}{FC}+\overset{\large{\frown}}{AD}}{2}= \frac{60^\circ+\overset{\large{\frown}}{AD}}{2}\Rightarrow \overset{\large{\frown}}{AD}=28^\circ ,\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解:
由以上計算可知\(\sqrt{39}=6.24\Rightarrow 11-2\sqrt{39}=11-12.48=-1.48\)
如果你不會手算開根號,只好這樣算:
\(6.5^2=42.25>39\Rightarrow 6<\sqrt{39}<6.5\Rightarrow 12<2\sqrt{39}<13\Rightarrow -2<11-2\sqrt{39}<-1,故選\bbox[red,2pt]{(B)}\)


解:$$\frac{\triangle ADC}{\triangle AGC}=\frac{\overline{CD}}{\overline{CG}}=\frac{\overline{CF}}{\overline{FB}}=\frac{6}{6+9}= \frac{2}{5} \Rightarrow \triangle ADC=\frac{2}{5}\triangle AGC\Rightarrow \triangle AGD=\frac{3}{5}\triangle AGC\\ \Rightarrow \frac{\triangle ADC}{\triangle AGD}=\frac{2/5\times\triangle AGC}{3/5\times\triangle AGC}=\frac{2}{3};\\又\triangle AGD=\frac{1}{2}\overline{AG}\times\overline{BF}=\frac{1}{2}\times 8\times 9=36\Rightarrow \triangle ADC=\frac{2}{3}\times 36=24,故選\bbox[red,2pt]{(B)}.$$

解:
將公車位置視為原點,上方為北方,可得以下平面座標圖
因此,從郵局到小杰家=(400,-300)→(300,400),需向北走400公尺再向西走100公尺,故選(A)


解:
1.36×1018×0.3×10-2=0.408×1016=4.08×1015
故選(B)


解:
除式為2次式,餘式為1次式,因此只有(C)及(D)符合要求;又除式沒有常數項,因此餘式的常數項就是被除式的常數項,即-5,故選(D)


解:

令\(\overline{EG}=\overline{AC}=a\), 則\(\overline{CE}= \overline{AG}-\overline{EG}-\overline{AC}=2-2a\)。
因此\(\overline{OC}= \overline{OG}+\overline{GE} +\overline{CE}=1+a+2-2a=3-a\)、\(\overline{OE}=a+1\)
\(\Rightarrow \overline{OC}+\overline{OE}=3-a+a+1=4\)
\(\overset{\large{\frown}}{CD}+\overset{\large{\frown}}{EF}=(\overline{OC}+ \overline{OE})\times \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3},故選\bbox[red,2pt]{(B)}\)


17. (3x+2)(-x6+3x5)+(3x+2)(-2x6+x5)+(x+1)(3x6-4x5)與下列哪一個式子相同?
(A)(3x6-4x5)(2x+1)
(B)(3x6-4x5)(2x+3)
(C)-(3x6-4x5)(2x+1)
(D)-(3x6-4x5)(2x+3)
解:
原式=(3x+2)(-x6+3x5-2x6+x5)+(x+1)(3x6-4x5
=(3x+2)(-3x6+4x5)+(x+1)(3x6-4x5)
=-(3x+2)(3x6-4x5)+(x+1)(3x6-4x5)
=(3x6-4x5)(-3x-2+x+1)=(3x6-4x5)(-2x-1)=-(3x6-4x5)(2x+1)
故選(C)


解:
M為角平分線⇒∠ABP=∠PBC
L為中垂線∠PBC=∠PCB
60+24+3a=180⇒a=32
故選(C)


解:
原有水量: 甲=60×10=600、乙=80×10=800、丙=100×10=1000
現將甲杯的a立方公分及乙杯的b立方公分加入丙杯
⇒甲=600-a、乙=800-b、丙=1000+a+b
⇒甲高度=(600-a)/60、乙高度=(800-b)/80、丙高度=(1000+a+b)/100
(600-a)/60:(800-b)/80:(1000+a+b)/100=3:4:5
⇒a=168, b=32⇒甲高度=(600-168)/60=7.2
故選(C)


解:
故選(D)


解:
故選(D)


解:
假設共有a人在KTV歡唱6小時
包廂方案: 900×6+99×a元
人數方案:540×a+3×80×a=780a元
 900×6+99a<780a⇒5400<681a⇒7.9<a,故選(C)


解:
令首項為a, 公差為d
前9項和=(a+a+8d)×9/2=54⇒a+4d=6----(1)
第1、4、7項的和=a+(a+3d)+(a+6d)=36⇒a+3d=12---(2)
(1)-(2)⇒d=-6,故選(A)


解:
(C) 與 (D) 皆可能如上圖,皆不是平行四邊形
(A)由於相鄰相邊不垂直,所以右邊的藍線長度也可以是5
故選(B)


解:
將乙箱內的球依號碼從小排到大,第25顆球的號碼為40。
乙箱中有24顆球的號碼小於40,也有24顆球的號碼大於40。
原來甲箱中有1~39顆球的號碼小於40,後來剩下39-24=15顆球的號碼小於40;原來甲箱中有41~98顆球的號碼大於40,後來剩下58-24=34顆球的號碼大於40。因此a=15, b=34,故選(D)


解:

由a<0可知抛物線有極大值;又A點較B點為高,所以頂點(h, k)較接近A點,即h離10比較近,離0比較遠。所以h會在0與10的中間(5)偏右,故選(D)


解:
甲乙皆錯誤,故選(B)




解:
甲校男生數=(60/100)×a、乙校男生數=(50/100)×b
合併後的男生數=(60/100)×a+(50/100)×b,故合併後的比率為[(60/100)×a+(50/100)×b]/(a+b)。
小清的答案不一定正確,若要正確必須
[(60/100)×a+(50/100)×b]/(a+b)=55/100
⇒(0.6a+0.5b)/(a+b)=0.55⇒a=b
只有在甲乙兩校有相同的人數,小清的答案才會正確。


證:
由題意知:∠1+∠2=∠3+∠4=∠4+∠5=90。
其中∠3+∠4=∠4+∠5∠3=∠5
∠1+∠2+∠3+∠4=180⇒180-(∠1+∠3)=∠2+∠4
∠B=∠2+∠4∠B=∠7
∠3=∠5、BC=CE、∠B=∠7可知兩三角形符合全等條件ASA,所以△ABC與△DEC全等。


--- END ---

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