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2016年6月24日 星期五

105年師大附中特招數學詳解


試題來源:師大附中

解:
$$\begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ a_{ 10 }+a_{ 11 }+\cdots +a_{ 22 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ \frac { \left( a_{ 10 }+a_{ 22 } \right) \times 13 }{ 2 } =0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ a_{ 10 }+a_{ 22 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ 2a_{ 1 }+30d=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }=30 \\ d=-2 \end{cases}\\ a_{ 1 }+(n-1)d=4\Rightarrow 30-2(n-1)=4\Rightarrow n=14,故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$


解:
$$甲=(-3)乙+(-9x+6)\Rightarrow 乙=\frac { 甲+(9x-6) }{ -3 } =\frac { -1 }{ 3 } 甲+(-3x+2)\\ \Rightarrow 商式為\frac{-1}{3},餘式為-3x+2,故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$



解:
$$\angle ACB=\angle DFE且\angle B=\angle E=90^\circ\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle DEF\\\Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{FE}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} \Rightarrow \frac{6}{9-a}=\frac{3}{a+3}\Rightarrow a=1\Rightarrow \overline{CE}-\overline{BF}=6-2a=4\\,故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

解:
假設大雄閱讀速度為每分鐘x個字,即\(400\le x\le 450\)
(1) 休息1次2分鐘\(\Rightarrow\) 共休息4分鐘,閱讀26分鐘,\(400\times 26=10400\le 26x\le 450\times 26=11700\)
(2) 休息1次3分鐘\(\Rightarrow\) 共休息6分鐘,閱讀24分鐘,\(400\times 24=9600\le 24x\le 450\times 24=1080\)
(3) 休息1次4分鐘\(\Rightarrow\) 共休息8分鐘,閱讀22分鐘,\(400\times 22=8800\le 22x\le 450\times 22=9900\)
(4) 休息1次5分鐘\(\Rightarrow\) 共休息10分鐘,閱讀20分鐘,\(400\times 20=8000\le 20x\le 450\times 20=9000\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。

解:
假設評審有a人,則參賽人數為3a-6⇒a(3a−6)=144⇒a=8⇒ (3a-6)-a=2a-6=16-6=10,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。



解:
$$\angle C=180-60-75=45\Rightarrow \angle B=45\Rightarrow \overline{AB}=\overline{AC}\\又\angle ADC>\angle DAC\Rightarrow \overline{AC}>\overline{CD},故選\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

解:
$${ 96 }^{ 2 }+{ 98 }^{ 2 }+{ 101 }^{ 2 }+{ 103 }^{ 2 }={ \left( 100-4 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100-2 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100+1 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 100+3 \right)  }^{ 2 }\\ ={ 100 }^{ 2 }-800+16+{ 100 }^{ 2 }-400+4+{ 100 }^{ 2 }+200+1+{ 100 }^{ 2 }+600+9\\ =4\times { 100 }^{ 2 }-400+30=49630,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$



解:
由各清況的第一步可推知各杯的濃度,
情況一的第一步可知:丙>乙、情況二的第一步可知:甲<乙、情況三的第一步可知:丁<乙、情況四的第一步可知:乙>甲乙。由以上可知四杯濃度為甲<丁<乙<丙。,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。

解:
假設一之買兩個甜甜圈的有a人,這種人共買了2a個甜甜圈,剩下(760-2a)個甜甜圈是一個一個賣出去的,即50a+35(760-2a)=21000,可求得a=280,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。

解:
$$\begin{cases} 4\le 10a<9 \\ 36\le 100a<49 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 0.4\le a<0.9 \\ 0.36\le a<0.49 \end{cases}\Rightarrow 0.4\le a<0.49\Rightarrow 0.16\le { a }^{ 2 }<0.2401\\,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$


解:

$$\overline{DC}//\overline{FE}\Rightarrow \angle 2=\angle FEB=180^\circ-\angle AFE\\ \triangle AFM中,\angle FAH+\angle AMF+\angle AFM=180^\circ \Rightarrow 8^\circ+\angle 1+(180^\circ-\angle 2)=180^\circ\\ \Rightarrow \angle 2-\angle 1=8^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$



解:
男生擲出點數非常平均,所以b=3.5;女生擲出1、2、3點的次數多於4、5、6點,因此a<3.5;總平均介於兩者之間,即a<c<b,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。

解:
$${\overline{AB}}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{BD}}^2=28+36=64\Rightarrow \overline{AB}=8\Rightarrow \angle C>\angle B \Rightarrow \overline{AC}<8\\  {\overline{AE}}^2={\overline{AD}}^2+{\overline{ED}}^2=28+8=36 \Rightarrow \overline{AE}=6; \\ \angle CAD>\angle EAD\Rightarrow \overline{CD}>\overline{ED}\Rightarrow \overline{AC}>\overline{AE}=6,故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$



解:
假設第1首+第4首+第5首三首播放時間為a,第2首+第3首播放時間為b則
a=7:37+7:28+7:25=22:30,b介於12至14分鐘之間。
從09:10:0至09:58:46之間的48:46=a+2b\(\Rightarrow 2b=26:16\Rightarrow\)b=13:08
 \(\Rightarrow \)a+b=22:30+13:08=35:38,,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。

解:
1-59中,3的倍數有59/3=19個、9的倍數有59/9=6個、27的倍數有59/27=2個,因此k=19+6+2=27,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。

解:

$$\angle AOE=\angle EOD=\angle DOC = 360\div 5=72\\ 圓周角\angle PQF = (\angle AOE+\angle EOD+\angle DOC+\angle CQF)\div 2 \\= (72+72+72+36)\div 2 = 126,故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

解:
假設正方形邊長為a,甲走了一圈回到原點A,其距離為4a。由速度比1:2:3可知: 乙走了8a(2圈),丙走了12a(3圈)。因此甲遇到乙三次(第3次在原點A)、遇到丙四次。
甲走到B時: 乙走到了C,丙走到了D(先遇到了甲)。此時甲乙距離為a、甲丙距離為2a,甲遇到乙需要時間\(\frac{a}{1+2}=\frac{a}{3}\),甲遇到丙需要時間\(\frac{2a}{1+3}=\frac{a}{2}\),所以會先遇到乙再遇到丙,之後會先遇到兩次丙,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。

解:
有50位學生\(\Rightarrow\)A+B+C+D+E+F+G+H=50...(1)
第2次擲出正面有34人\(\Rightarrow\)A+B+E+F=34....(2)
34人中第1次與第3次擲出正面\(\Rightarrow\)A=10...(3)
34人中第1次或第3次擲出正面\(\Rightarrow\)B+E=18...(4)
由(2)(3)(4)可知F=34-10-18=6
有23位擲出2正面\(\Rightarrow\)B+C+E=23....(5)
有14位擲出1正面\(\Rightarrow\)D+F+G=14....(6)
擲出2反面且第2次也是反面,即求D+G=(6)-F=14-6=8
,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。



解:

$$假設\overline{AD}與x軸交於點E(m,0)\Rightarrow \triangle OAB=15, \triangle OBC=12, \triangle AOE=\frac{5m}{2}\\x軸上半部面積=15+\frac{5m}{2}=x軸下半部面積\Rightarrow 四邊形OEDC面積=3+\frac{5m}{2}\\y軸左半面積=27=右半面積=5m+3\Rightarrow m=\frac{24}{5}\\ \overline{AE}斜率=\overline{AD}斜率\Rightarrow \frac{5-q}{p}=\frac{5}{24/5}\Rightarrow 25p+24q=12\\ \triangle ABC=\triangle ADC\Rightarrow 27=\frac{9p}{2}\Rightarrow p=6\Rightarrow 25\times 6+24q=120\Rightarrow q=\frac{-5}{4}\\ \Rightarrow p+q=\frac{19}{4}
,故選\bbox[red,2pt]{(2)}。$$


(1)68  (2) 73   (3) 78   (4)87

解:
$$\overline{AC}為\angle C的角平分線\Rightarrow \angle BCA=\angle ACO=a\\O為外心\Rightarrow \angle OCA=\angle OAC=a且\angle OCB=\angle OBC=2a且\angle OBA=\angle OAB=124-2a\\ \triangle ABC中, \angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=180\Rightarrow 124+a+(124-3a)=180\Rightarrow a=34\\  \triangle OBC\cong \triangle AOD(SAS:\overline{OD}=\overline{BC} 且\overline{OB}=\overline{OA}且\angle AOD=\angle ACO+\angle CAO=2a=\angle CBO)\\ \Rightarrow \angle OAD=\angle BOC=180-4a\Rightarrow \angle CAD=(180-4a)+a=180-3a=78,故選\bbox[red,2pt]{(3)}。$$

圖(十二)

解:
A出發有3種選擇,無論走哪一條都回到B點,從B點再出發有2種選擇,最後都回到A點,因此共有\(3\times 2=\bbox[red,2pt]{(6)}\)種走法。

解:
$$\left| x+1 \right| +\left| x-2 \right| =5\Rightarrow \begin{cases} x\ge 2\Rightarrow 2x-1=5\Rightarrow x=3 \\ x\le -1\Rightarrow -x-1+2-x=5\Rightarrow x=-2 \end{cases}\\\Rightarrow a+b=3-2=\bbox[red,2pt]{(1)}。$$

$$C. 若在數線上有A、B、C、D四點,且\overline{AC}=20,\overline{AD} =12、\overline{BC}=3,\overline{CD}=8,\\則\overline{AB}=(23)(24)$$
解:

由題意可知各點位置如上圖,因此\(\overline{AB}=12+5=\bbox[red,2pt]{(17)}\)。



解:
$$\frac{\triangle CEF}{\triangle BCF}=\frac{4}{6}=\frac{\overline{EF}}{\overline{FB}}= \frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}=\frac{\triangle CFB}{\triangle FBA}=\frac{6}{\triangle FBA}\\ \Rightarrow \triangle FBA=9\Rightarrow \triangle ADC=\triangle ABC=9+6=15=\triangle CEF+AFED\\ \Rightarrow AFED=15-4=\bbox[red,2pt]{(11)}。$$



解:
$${ a }_{ k }=k+5\times \left( 2k+1 \right) =2018\Rightarrow 11k=2013\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{(183)}。$$


解:

$$g(x)=h(x)\Rightarrow  x^2-x-12=0\Rightarrow (x-4)(x+3)=0\Rightarrow  x=4,3, 見上圖\\ 由題意可知f\left( x \right) =\begin{cases} g\left( x \right)  & x\le -4,\quad x\ge 4 \\ h\left( x \right)  & -3\le x\le 4 \end{cases}\\當a=4時,m=f(4)=g(4)=\bbox[red,2pt]{(9)}$$

解:
f(x)=\({(x-3)}^2+4\Rightarrow \) 開口向上,頂點在A(3,4)的拋物線, 見上圖。
f(x)=10\(\Rightarrow  x^2-6x+13=10\Rightarrow  x=3\pm\sqrt{6}\Rightarrow B=(3-\sqrt{6},10),C=(3+\sqrt{6},10)\)
\(0<3-\sqrt{6}<1, 5<3+\sqrt{6}<6 \Rightarrow \)  a=1,2,3,4,5,共有\(\bbox[red,2pt]{(5)}\)個。



解:
$$在直角\triangle OSM中,  {\overline{OS}}^2={\overline{OM}}^2+{\overline{SM}}^2\Rightarrow  r^2 ={15}^2+5^2=250\\在直角\triangle OAN中, {\overline{OA}}^2={\overline{ON}}^2+{\overline{AN}}^2  \Rightarrow  r^2={(\frac{a}{2})}^2+{(a-5)}^2\\ \Rightarrow a^2-8a-180=0\Rightarrow  (a-18)(a+10)=0\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{(18)}。$$




解:
首先《設定C為A與B的相差》應改為《設定C為A減B的絕對值》,這樣比較明確!
假設A的百位數字是a、十位數字是b、個位數字是c,即A=100a+10b+c;
a與c對調後,B=100c+10b+a,C=|A-B|=99|a-c|。
要能輸出C的條件必須a與c相差1(a不會與c相等),否則會再進入百位數與個位數對調的計算中,所以C=\(\bbox[red,2pt]{(99)}\)。



解:
共有28+25+27=80個時段=40天
(上,下)=(運算,數學)有a天
(上,下)=(數學,運算)有b天
(上,下)=(數學,數學)有c天
a+b+c=40, 又28個時段訓練「運算」,即a+b=28,因此c=40-28=12,故整天都訓練「數學」的有\(\bbox[red,2pt]{(12)}\)天。

9 則留言:

  1. 您好:
    我想要請教您"105年師大附中特招數學"試題如何找到
    我想給學生試著練習
    或者可以跟您索取嗎?
    我的信箱chi357@gmail.com
    謝謝

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  2. 不好意思,機器執行運算那題,如果|a-c|=1那一開始的條件a至少比c多2不是就不符合了嗎。不符合的話,這題是否應該為無解。

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  3. 機器執行運算那題,我也覺得無解,因為判斷式一開始的條件就是a比c至少多2,所以不可能只多1,所以C一定是三位數,不會輸出C。

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    1. 依照流程,第一次"判斷是否為三位數"無法到C,所以跑到"設定此數為A",就不用再跑一次"a-c至少2"

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  4. 第九題的詳解寫的是[即50a+35(760-2a)=2100],應更正為[即50a+35(760-2a)=21000]哦

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