網頁

2019年3月24日 星期日

102學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解


102 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 
升學輔導甄試學科考試 數學科 試題


  :$$ \begin{cases}a=2^{24}\\ b=4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32}\\c=16^6=(2^4)^{6}=2^{24}\end{cases}\Rightarrow b>a=c,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



:$$18-6\div (-2)-(-8)\times 3=18-(-3)-(-24)=18+3+24=45,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$


:$$ \text{挑絕對值最小的,故選}\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:$$\begin{cases}x為奇數\Rightarrow |2+x|及|8-x|皆為奇數\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數\\x為偶數\Rightarrow |2+x|及|8-x|皆為偶數\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數\end{cases} \\\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$\begin{cases}(A)24=2^3\times 3\Rightarrow 正因數個數為(3+1)(1+1)=8\\(B)36=2^2\times 3^2\Rightarrow 正因數個數為(2+1)(2+1)=9\\(C)48=2^4\times 3\Rightarrow 正因數個數為(4+1)(1+1)=10\\(D)99=3^2\times 11\Rightarrow 正因數個數為(2+1)(1+1)=6\end{cases} \\\Rightarrow 48的正因數個數最多,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



:$$\begin{cases}(A)\frac{3\times 500}{4}=375\\(B)\frac{5\times 500}{7}\approx 357\\(C)\frac{6\times 500\times 0.7}{6}=350\\(D)\frac{500+500\times 0.5}{2}=375\end{cases} \Rightarrow (C)<(B)<(A)=(D),故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$


:$$\begin{cases}a=\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}\div\frac{2}{7}=\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}\times\frac{7}{2}= \frac{28}{15}\\b=\frac{4}{3}\div\frac{2}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{3}\times\frac{7}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{28}{15}\end{cases} \Rightarrow a=b,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



:$$\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right| =\left|\frac{6-4-3}{12}\right|+\left|\frac{3-4-6}{12}\right|=\left|\frac{-1}{12}\right|+\left|\frac{-7}{12}\right|=\frac{8}{12}=\frac{2}{3},\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$



大杯飲料賣出\(x\)杯\(\Rightarrow\) 小杯飲料賣出\((500-x)\)杯\(\Rightarrow\) 共收入\(30x+(500-x)20=13000\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



:$$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\div\frac{5}{3}=6\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{x}{3}\times\frac{3}{5}=6 \Rightarrow \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}x=6\Rightarrow \frac{7}{10}x=6 \Rightarrow x=\frac{60}{7},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



:$$\begin{cases}3x-2y=6\\2x+3y=17\end{cases}\equiv \begin{cases}6x-4y=12\\6x+9y=51\end{cases}\Rightarrow 13y=39 \Rightarrow y=3,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$


假設一份燒餅\(a\)元,一顆饅頭賣\(b\)元;
4份燒餅比5顆饅頭多8元\(\Rightarrow 4a=5b+8\);
5份燒餅比4顆饅頭多37元\(\Rightarrow 5a=4b+37\);
求聯立方程式$$\begin{cases} 4a-5b=8 \\ 5a-4b=37 \end{cases}\equiv \begin{cases} 16a-20b=32 \\ 25a-20b=185 \end{cases}\Rightarrow 9a=153\Rightarrow a=17,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



若\(x<0且y>0\Rightarrow x-y<0\ne 2\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)




由上圖可知: \(L_2與L_3\)的交點位於第三象限,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

:$$令A=(a,b)\Rightarrow |b|=3 \Rightarrow b=-3(A在第4象限),故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


$$\triangle ABC=\overline{AC}\times\overline{BC}\div 2=8\times 6\div 2=24,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



兩三角形邊長比為\(\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\Rightarrow \)面積比為\(\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)




假設小明現年\(x\)歲,小華現年\(y\)歲;依題意$$\begin{cases} \frac { x-5 }{ y-5 } =\frac { 4 }{ 5 }  \\ \frac { x+5 }{ y+5 } =\frac { 6 }{ 7 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 5x-4y=5 \\ 7x-6y=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 35x-28y=35 \\ 35x-30y=-25 \end{cases}\Rightarrow 2y=60\Rightarrow y=30,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$2a=3b=4c=k\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { k }{ 2 }  \\ b=\frac { k }{ 3 }  \\ c=\frac { k }{ 4 }  \end{cases}\Rightarrow a:b:c=\frac { k }{ 2 } :\frac { k }{ 3 } :\frac { k }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } :\frac { 1 }{ 3 } :\frac { 1 }{ 4 },故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$f\left( x \right) =3x^{ 2 }-2x+1\Rightarrow \begin{cases} f\left( 0 \right) =0-0+1=1 \\ f\left( 1 \right) =3-2+1=2 \\ f\left( 2 \right) =12-4+1=9 \\ f\left( -1 \right) =3+2+1=6 \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



:\(\frac{f(343)-f(121)}{343-121}\)代表點\(f(121)\)至點\(f(343)\)的斜率;由於\(f(x)\)為一直線,斜率為168,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



乙比甲先出發3分鐘,即乙在甲前方\(360\times 3=1080\)公尺;
每分鐘甲可以追上乙\(420-360=60\)公尺,1080公尺需要\(1080\div 60=18\)分鐘才能追上,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)



:無論比賽前,還是比賽後,兩人身上金額的合計都是\(S\)元;
比賽前甲乙兩人金額為\(2m\)及\(3m\),因此\(2m+3m=S\Rightarrow m=S/5\),也就是比賽前兩人金額分別為\(2S/5\)及\(3S/5\)元,相當於\(26S/65\)及\(39S/65\)元;
比賽後兩人金額為\(4n\)及\(9n\),因此\(4n+9n=S\Rightarrow n=S/13\),也就是比賽後兩人金額分別為\(4S/13\)及\(9S/13\)元,相當於\(20S/65\)及\(45S/65\)元;
因此甲的錢變少了,乙的錢變多了,即乙贏了,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)


:$$3\left( x+2 \right) >7\left( x-5 \right) \Rightarrow 3x+6>7x-35\Rightarrow 41>4x\Rightarrow \frac { 41 }{ 4 } >x\\ \Rightarrow \frac { 41 }{ 4 } -2>x-2\Rightarrow \frac { 33 }{ 4 } >x\Rightarrow 8.25>x, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



:$$\begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right) }^{ 3 }={ \left( 5-2 \right) }^{ 3 }=27 \\ a^{ 3 }+b^{ 3 }-3ab(a+b)=125-8+30\times 3=207 \end{cases}\\ \Rightarrow { \left( a+b \right) }^{ 3 }\neq a^{ 3 }+b^{ 3 }-3ab(a+b),故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



:$$f\left( x \right) =2x^{ 2 }-ax+6\Rightarrow f\left( 2 \right) =0\Rightarrow 8-2a+6=0\Rightarrow a=7$$故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)



:$$\left( 100+\frac { 1 }{ 100 }  \right) \left( 300+\frac { 1 }{ 300 }  \right) =30000+\frac { 100 }{ 300 } +\frac { 300 }{ 100 } +\frac { 1 }{ 30000 } \\ =30003+\frac { 100 }{ 300 } +\frac { 1 }{ 30000 } \approx 30003$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)



:$$\sqrt { 68\frac { 1 }{ 16 } } =\sqrt { \frac { 1089 }{ 16 } } =\sqrt { \frac { 33^{ 2 } }{ 4^{ 2 } } } =\frac { 33 }{ 4 } =8.25,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$



:$$7^2+24^2=49+576=625=25^2,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$


:$$f\left( x \right) =x^{ 3 }+8x^{ 2 }+19x+12\Rightarrow \begin{cases} f\left( -1 \right) =-1+8-19+12=0 \\ f\left( -2 \right) =-8+32-38+12=-2 \\ f\left( -3 \right) =-27+72-57+12=0 \\ f\left( -4 \right) =-64+128-76+12=0 \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$



:\((x,y)\rightarrow (x+1,y+2)\rightarrow (x+1-3,y+2-4)=(x-2,y-2)\),因此(0,0)→(-2,-2) →(-4,-4) →(-6,-6)→....,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


:$$a_3+a_4=a_1+a_2+12\Rightarrow a_1+2d+a_1+3d=a_1+a_1+d+12\Rightarrow 2a_1+5d=2a_1+d+12\\\Rightarrow 4d=12\Rightarrow d=3,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$




正三角形的內角為60度,6個正三角形可以拼成一圈360度;
正方形的內角為90度,4個正方形可以拼成一圈360度;
正六邊形的內角為\((6-2)\times 180\div 6=120\)度,3個正六邊形可以拼成一圈360度;
四五邊形的內角為\((5-2)\times 180\div 5=108\)度,無法拼成360度;
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)




正\(n\)邊形的內角度數為\(180(n-2)\div n\),由內角是外角的五倍可知: \(5\times(180-\frac{180(n-2)}{n})=\frac{180(n-2)}{n}\Rightarrow \frac{n-2}{n}=\frac{5}{6}\Rightarrow n=12\)故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)





只要兩鄰邊不等長,該平行四邊形的對角線就不會互相垂直,如上圖,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)




作\(\overline{AH}//\overline{BC}\)且分別交\(\overline{EF},\overline{DC}\)於點\(G\)及點\(H\);並假設梯形ABEF的高為\(h_1\),梯形EFDC的高為\(h_2\),如上圖。$$\triangle AFG\sim \triangle ADH \Rightarrow \frac{h_1}{h_1+h_2}=\frac{\overline{FG}}{\overline{DH}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{1}\\ \frac{梯形ABEF}{梯形FECD}= \frac{(\overline{AB}+\overline{EF})\times h_1\div 2}{(\overline{EF}+\overline{CD})\times h_1\div 2}=\frac{5h_1}{7h_2}=\frac{5}{7},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$



假設上午11時太陽與水平面的角度為\(\theta\),則\(\tan{\theta}=\frac{5}{1.5}=\frac{樓高}{10\sqrt{3}} \Rightarrow\) 樓高\(=50\sqrt{3}\div 1.5\)
\(=100\times 1.732 \div 3\approx 57.7\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)



直角三角形外接圓直徑長等於斜邊長,即\(2r=10\Rightarrow 半徑r=5\),因此圓面積為\(r^2\pi=25\pi\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)


:$$ \begin{cases}A=3^2\pi=9\pi\\ B=5^2\pi-A=25\pi-9\pi=16\pi\\C=6^2\pi-5^2\pi=11\pi\end{cases}\Rightarrow B>C>A,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$




$$I為內心\Rightarrow \begin{cases}\angle ABI=\angle IBC=\angle 1\\ \angle ACI=\angle ICB=\angle 2\end{cases}\Rightarrow \angle A+2\angle 1+2\angle 2=180^\circ \\\Rightarrow 2(\angle 1+\angle 2)=180^\circ-80^\circ=100^\circ
\Rightarrow \angle 1+\angle 2=100^\circ\div 2=50^\circ\\ \Rightarrow \angle BIC=180^\circ-(\angle 1+\angle 2)=180^\circ-50^\circ = 130^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
--END--

2 則留言:

  1. 感覺這份考卷的題目是國中題,不知道您標題有沒有弄錯?

    回覆刪除
    回覆
    1. 由於時間較久,官方網站已沒有當年試題,無法判斷。若有進一步消息,再題供參考!!

      刪除