102學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

102 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解： $$\begin{cases}a=2^{24}\\ b=4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32}\\c=16^6=(2^4)^{6}=2^{24}\end{cases}\Rightarrow b>a=c,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$18-6\div (-2)-(-8)\times 3=18-(-3)-(-24)=18+3+24=45,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\text{挑絕對值最小的，故選}\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases}x為奇數\Rightarrow |2+x|及|8-x|皆為奇數\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數\\x為偶數\Rightarrow |2+x|及|8-x|皆為偶數\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數\end{cases} \\\Rightarrow |2+x|+|8-x|為偶數，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases}(A)24=2^3\times 3\Rightarrow 正因數個數為(3+1)(1+1)=8\\(B)36=2^2\times 3^2\Rightarrow 正因數個數為(2+1)(2+1)=9\\(C)48=2^4\times 3\Rightarrow 正因數個數為(4+1)(1+1)=10\\(D)99=3^2\times 11\Rightarrow 正因數個數為(2+1)(1+1)=6\end{cases} \\\Rightarrow 48的正因數個數最多，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}(A)\frac{3\times 500}{4}=375\\(B)\frac{5\times 500}{7}\approx 357\\(C)\frac{6\times 500\times 0.7}{6}=350\\(D)\frac{500+500\times 0.5}{2}=375\end{cases} \Rightarrow (C)<(B)<(A)=(D)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}a=\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}\div\frac{2}{7}=\frac{2}{5}\times\frac{4}{3}\times\frac{7}{2}= \frac{28}{15}\\b=\frac{4}{3}\div\frac{2}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{3}\times\frac{7}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{28}{15}\end{cases} \Rightarrow a=b，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right|+\left|\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right| =\left|\frac{6-4-3}{12}\right|+\left|\frac{3-4-6}{12}\right|=\left|\frac{-1}{12}\right|+\left|\frac{-7}{12}\right|=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}，\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
大杯飲料賣出$x$杯$\Rightarrow$ 小杯飲料賣出$(500-x)$杯$\Rightarrow$ 共收入$30x+(500-x)20=13000$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\div\frac{5}{3}=6\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{x}{3}\times\frac{3}{5}=6 \Rightarrow \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}x=6\Rightarrow \frac{7}{10}x=6 \Rightarrow x=\frac{60}{7}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases}3x-2y=6\\2x+3y=17\end{cases}\equiv \begin{cases}6x-4y=12\\6x+9y=51\end{cases}\Rightarrow 13y=39 \Rightarrow y=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
假設一份燒餅$a$元，一顆饅頭賣$b$元；
4份燒餅比5顆饅頭多8元$\Rightarrow 4a=5b+8$;
5份燒餅比4顆饅頭多37元$\Rightarrow 5a=4b+37$;
求聯立方程式 $$\begin{cases} 4a-5b=8 \\ 5a-4b=37 \end{cases}\equiv \begin{cases} 16a-20b=32 \\ 25a-20b=185 \end{cases}\Rightarrow 9a=153\Rightarrow a=17，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

若$x<0且y>0\Rightarrow x-y<0\ne 2$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

由上圖可知: $L_2與L_3$的交點位於第三象限，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$令A=(a,b)\Rightarrow |b|=3 \Rightarrow b=-3(A在第4象限)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$\triangle ABC=\overline{AC}\times\overline{BC}\div 2=8\times 6\div 2=24，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

兩三角形邊長比為$\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\Rightarrow$面積比為$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
假設小明現年$x$歲，小華現年$y$歲；依題意 $$\begin{cases} \frac { x-5 }{ y-5 } =\frac { 4 }{ 5 }  \\ \frac { x+5 }{ y+5 } =\frac { 6 }{ 7 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 5x-4y=5 \\ 7x-6y=-5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 35x-28y=35 \\ 35x-30y=-25 \end{cases}\Rightarrow 2y=60\Rightarrow y=30，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$2a=3b=4c=k\Rightarrow \begin{cases} a=\frac { k }{ 2 }  \\ b=\frac { k }{ 3 }  \\ c=\frac { k }{ 4 }  \end{cases}\Rightarrow a:b:c=\frac { k }{ 2 } :\frac { k }{ 3 } :\frac { k }{ 4 } =\frac { 1 }{ 2 } :\frac { 1 }{ 3 } :\frac { 1 }{ 4 }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f\left( x \right) =3x^{ 2 }-2x+1\Rightarrow \begin{cases} f\left( 0 \right) =0-0+1=1 \\ f\left( 1 \right) =3-2+1=2 \\ f\left( 2 \right) =12-4+1=9 \\ f\left( -1 \right) =3+2+1=6 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：$\frac{f(343)-f(121)}{343-121}$代表點$f(121)$至點$f(343)$的斜率；由於$f(x)$為一直線，斜率為168，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
乙比甲先出發3分鐘，即乙在甲前方$360\times 3=1080$公尺；
每分鐘甲可以追上乙$420-360=60$公尺，1080公尺需要$1080\div 60=18$分鐘才能追上，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：無論比賽前，還是比賽後，兩人身上金額的合計都是$S$元；
比賽前甲乙兩人金額為$2m$及$3m$，因此$2m+3m=S\Rightarrow m=S/5$，也就是比賽前兩人金額分別為$2S/5$及$3S/5$元，相當於$26S/65$及$39S/65$元；
比賽後兩人金額為$4n$及$9n$，因此$4n+9n=S\Rightarrow n=S/13$，也就是比賽後兩人金額分別為$4S/13$及$9S/13$元，相當於$20S/65$及$45S/65$元；
因此甲的錢變少了，乙的錢變多了，即乙贏了，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$3\left( x+2 \right) >7\left( x-5 \right) \Rightarrow 3x+6>7x-35\Rightarrow 41>4x\Rightarrow \frac { 41 }{ 4 } >x\\ \Rightarrow \frac { 41 }{ 4 } -2>x-2\Rightarrow \frac { 33 }{ 4 } >x\Rightarrow 8.25>x, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} a=5 \\ b=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} { \left( a+b \right) }^{ 3 }={ \left( 5-2 \right) }^{ 3 }=27 \\ a^{ 3 }+b^{ 3 }-3ab(a+b)=125-8+30\times 3=207 \end{cases}\\ \Rightarrow { \left( a+b \right) }^{ 3 }\neq a^{ 3 }+b^{ 3 }-3ab(a+b)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) =2x^{ 2 }-ax+6\Rightarrow f\left( 2 \right) =0\Rightarrow 8-2a+6=0\Rightarrow a=7$$ 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\left( 100+\frac { 1 }{ 100 }  \right) \left( 300+\frac { 1 }{ 300 }  \right) =30000+\frac { 100 }{ 300 } +\frac { 300 }{ 100 } +\frac { 1 }{ 30000 } \\ =30003+\frac { 100 }{ 300 } +\frac { 1 }{ 30000 } \approx 30003$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\sqrt { 68\frac { 1 }{ 16 } } =\sqrt { \frac { 1089 }{ 16 } } =\sqrt { \frac { 33^{ 2 } }{ 4^{ 2 } } } =\frac { 33 }{ 4 } =8.25，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$7^2+24^2=49+576=625=25^2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 3 }+8x^{ 2 }+19x+12\Rightarrow \begin{cases} f\left( -1 \right) =-1+8-19+12=0 \\ f\left( -2 \right) =-8+32-38+12=-2 \\ f\left( -3 \right) =-27+72-57+12=0 \\ f\left( -4 \right) =-64+128-76+12=0 \end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：$(x,y)\rightarrow (x+1,y+2)\rightarrow (x+1-3,y+2-4)=(x-2,y-2)$，因此(0,0)→(-2,-2) →(-4,-4) →(-6,-6)→....，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$a_3+a_4=a_1+a_2+12\Rightarrow a_1+2d+a_1+3d=a_1+a_1+d+12\Rightarrow 2a_1+5d=2a_1+d+12\\\Rightarrow 4d=12\Rightarrow d=3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
正三角形的內角為60度，6個正三角形可以拼成一圈360度;
正方形的內角為90度，4個正方形可以拼成一圈360度;

正六邊形的內角為$(6-2)\times 180\div 6=120$度，3個正六邊形可以拼成一圈360度;

四五邊形的內角為$(5-2)\times 180\div 5=108$度，無法拼成360度；

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

正$n$邊形的內角度數為$180(n-2)\div n$，由內角是外角的五倍可知: $5\times(180-\frac{180(n-2)}{n})=\frac{180(n-2)}{n}\Rightarrow \frac{n-2}{n}=\frac{5}{6}\Rightarrow n=12$故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

只要兩鄰邊不等長，該平行四邊形的對角線就不會互相垂直，如上圖，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

作$\overline{AH}//\overline{BC}$且分別交$\overline{EF},\overline{DC}$於點$G$及點$H$；並假設梯形ABEF的高為$h_1$，梯形EFDC的高為$h_2$，如上圖。 $$\triangle AFG\sim \triangle ADH \Rightarrow \frac{h_1}{h_1+h_2}=\frac{\overline{FG}}{\overline{DH}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{1}\\ \frac{梯形ABEF}{梯形FECD}= \frac{(\overline{AB}+\overline{EF})\times h_1\div 2}{(\overline{EF}+\overline{CD})\times h_1\div 2}=\frac{5h_1}{7h_2}=\frac{5}{7},故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

假設上午11時太陽與水平面的角度為$\theta$，則$\tan{\theta}=\frac{5}{1.5}=\frac{樓高}{10\sqrt{3}} \Rightarrow$ 樓高$=50\sqrt{3}\div 1.5$
$=100\times 1.732 \div 3\approx 57.7$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
直角三角形外接圓直徑長等於斜邊長，即$2r=10\Rightarrow 半徑r=5$，因此圓面積為$r^2\pi=25\pi$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases}A=3^2\pi=9\pi\\ B=5^2\pi-A=25\pi-9\pi=16\pi\\C=6^2\pi-5^2\pi=11\pi\end{cases}\Rightarrow B>C>A,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$I為內心\Rightarrow \begin{cases}\angle ABI=\angle IBC=\angle 1\\ \angle ACI=\angle ICB=\angle 2\end{cases}\Rightarrow \angle A+2\angle 1+2\angle 2=180^\circ \\\Rightarrow 2(\angle 1+\angle 2)=180^\circ-80^\circ=100^\circ \Rightarrow \angle 1+\angle 2=100^\circ\div 2=50^\circ\\ \Rightarrow \angle BIC=180^\circ-(\angle 1+\angle 2)=180^\circ-50^\circ = 130^\circ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
--END--