100年專科學力鑑定考試--工程數學詳解

100年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：工程數學 詳解

解： $$\begin{cases} \frac { \partial  }{ \partial y } \left( y^{ 2 }+3x^{ 2 }y+1 \right) =2y+3x^{ 2 } \\ \frac { \partial  }{ \partial x } \left( x^{ 3 }+2xy-1 \right) =3x^{ 2 }+2y \end{cases}\Rightarrow \frac { \partial  }{ \partial y } \left( y^{ 2 }+3x^{ 2 }y+1 \right) =\frac { \partial  }{ \partial x } \left( x^{ 3 }+2xy-1 \right) \\ \Rightarrow \left( y^{ 2 }+3x^{ 2 }y+1 \right) dx+\left( x^{ 3 }+2xy-1 \right) dy=0為恰當，故選：\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\vec { A } =4\vec { i } -12\vec { j } -3\vec { k } \Rightarrow \frac { \vec { A } }{ \left| \vec { A } \right| } =\frac { 1 }{ \sqrt { 4^{ 2 }+12^{ 2 }+3^{ 2 } } } \left( 4\vec { i } -12\vec { j } -3\vec { k } \right) \\ =\frac { 1 }{ \sqrt { 169 } } \left( 4\vec { i } -12\vec { j } -3\vec { k } \right) =\frac { 4 }{ 13 } \vec { i } -\frac { 12 }{ 13 } \vec { j } -\frac { 3 }{ 13 } \vec { k } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：Hermitian 矩陣的對角線元表需為實數， 故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\left( 1-x^{ 2 } \right) dx+ydx-xdy=0\Rightarrow \left( 1-x^{ 2 } \right) dx=xdy-ydx\Rightarrow \frac { 1-x^{ 2 } }{ x^{ 2 } } dx=\frac { xdy-ydx }{ x^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left( \frac { 1 }{ x^{ 2 } } -1 \right) dx=d\left( \frac { y }{ x }  \right) \Rightarrow -\frac { 1 }{ x } -x=\frac { y }{ x } +C\Rightarrow x+\frac { 1 }{ x } +\frac { y }{ x } =C， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$L\left\{ t^{ 3 } \right\} =\frac { 6 }{ s^{ 4 } } \Rightarrow L\left\{ e^{ 2t }t^{ 3 } \right\} =\frac { 6 }{ \left( s-2 \right) ^{ 4 } } ， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} \vec { A } =(2,1,1) \\ \vec { B } =(1,0,-1) \\ \vec { C } =(-1,1,0) \end{cases}\Rightarrow \alpha \vec { A } +\vec { B } =(2\alpha +1,\alpha ,\alpha -1)\Rightarrow \left( \alpha \vec { A } +\vec { B }  \right) \cdot \vec { C } =0\\ \Rightarrow (2\alpha +1,\alpha ,\alpha -1)\cdot (-1,1,0)=-2\alpha -1+\alpha =0\Rightarrow \alpha =-1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$L\left\{ f\left( t \right)  \right\} =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ e^{ -st }f\left( t \right) dt } =2\int _{ 0 }^{ 1 }{ te^{ -st }dt } +\int _{ 1 }^{ \infty  }{ te^{ -st }dt } \\ =2\left. \left[ -\frac { t }{ s } e^{ -st }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -st } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }+\left. \left[ -\frac { t }{ s } e^{ -st }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -st } \right]  \right| _{ 1 }^{ \infty  }\\ =2\left( \left( -\frac { 1 }{ s } e^{ -s }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -s } \right) -\left( -\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right)  \right) +\left( 0-\left( -\frac { 1 }{ s } e^{ -s }-\frac { 1 }{ s^{ 2 } } e^{ -s } \right)  \right) \\ =e^{ -s }\left( -\frac { 2 }{ s } -\frac { 2 }{ s^{ 2 } }  \right) +\frac { 2 }{ s^{ 2 } } +e^{ -s }\left( \frac { 1 }{ s } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) =e^{ -s }\left( -\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) +\frac { 2 }{ s^{ 2 } }  ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\int _{ 0 }^{ t }{ e^{ t }\sin  (t-\tau )\left( x \right) d\tau  } =L\left\{ e^{ t } \right\} \cdot L\left\{ \sin  (t) \right\} =\frac { 1 }{ s-1 } \cdot \frac { 1 }{ s^{ 2 }+1 }  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y=x^m\Rightarrow xy'+y=0\Rightarrow  mx^m+x^m=0\Rightarrow (m+1)x^m=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow y_h=Cx^{-1}\\xy'+y=-4\Rightarrow y_p=-4\Rightarrow y=y_h+y_p=Cx^{-1}-4\Rightarrow y=\frac{C}{x}-4\Rightarrow xy+4x=C，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$y''+2y'+10y=0\Rightarrow \lambda ^{ 2 }+2\lambda +10=0\Rightarrow \lambda =-1\pm 3i\\ \Rightarrow y=e^{ x }\left( A\cos { 3x } +B\sin { 3x }  \right)  ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 2 }\Rightarrow f\left( x \right) 為偶函數\Rightarrow b_{ n }=0\\ a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ x^{ 2 }dx } =\frac { 1 }{ 2\pi  } \left. \left[ \frac { 1 }{ 3 } x^{ 3 } \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \times \frac { 2 }{ 3 } \pi ^{ 3 }=\frac { 1 }{ 3 } \pi ^{ 2 }\\ a_{ n }=\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ x^{ 2 }\cos { \frac { n\pi x }{ \pi  }  } dx } =\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ x^{ 2 }\cos { \left( nx \right)  } dx } \\ =\frac { 1 }{ \pi  } \left. \left[ \frac { x^{ 2 } }{ n } \sin { \left( nx \right)  } +\frac { 2x }{ n^{ 2 } } \cos { \left( nx \right)  } -\frac { 2 }{ n^{ 3 } } \sin { \left( nx \right)  }  \right]  \right| _{ -\pi  }^{ \pi  }\\ =\frac { 1 }{ \pi  } \cdot \frac { 4\pi  }{ n^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  } =\frac { 4 }{ n^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  } =\frac { 4 }{ n^{ 2 } } { \left( -1 \right)  }^{ n }\\ \Rightarrow f\left( x \right) =a_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ a_{ n }\cos { \left( nx \right)  }  } =\frac { 1 }{ 3 } \pi ^{ 2 }+4\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \frac { 1 }{ n^{ 2 } } \left( -1 \right)  }^{ n }\cos { \left( nx \right)  }  }  ，故選\bbox[red,2pt]{(??)}$$ 級數不會是一個數字!!

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解： $$\begin{cases} \vec { v_{ 1 } } =a\vec { i } -2\vec { j } +\vec { k }  \\ \vec { v_{ 2 } } =\vec { i } +b\vec { j } -4\vec { k }  \end{cases}\Rightarrow \vec { v_{ 1 } } //\vec { v_{ 2 } } \Rightarrow \frac { a }{ 1 } =\frac { -2 }{ b } =\frac { 1 }{ -4 } \Rightarrow \begin{cases} -4a=1 \\ 8=b \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=-1/4 \\ b=8 \end{cases}\Rightarrow ab=\left( -\frac { 1 }{ 4 }  \right) 8=-2，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$A=B\Rightarrow A+B=2B=2\left[ \begin{matrix} -4 & 2 & 6 \\ r & 3 & s \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -8 & 4 & 12 \\ 2r & 6 & 2s \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f\left( x \right) 為奇函數\Rightarrow f(-x)=-f(x)\\ (-x)+\sin { (-x) } =-x-\sin { x } =-\left( x+\sin { x }  \right) \Rightarrow x+\sin { x } 為奇函數，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$x^{ 2 }y'=\frac { x^{ 2 }+1 }{ 3y^{ 2 }+1 } \Rightarrow \left( 3y^{ 2 }+1 \right) y'=\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 2 } } \Rightarrow \int { 3y^{ 2 }+1\; dy } =\int { \frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 2 } } dx } \\ \Rightarrow y^{ 3 }+y=x-\frac { 1 }{ x } +C，\\故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$A=\left[ \begin{matrix} 5 & 7 & -5 \\ 0 & 4 & -1 \\ 2 & 8 & -3 \end{matrix} \right] \Rightarrow \left| \begin{matrix} 5-\lambda  & 7 & -5 \\ 0 & 4-\lambda  & -1 \\ 2 & 8 & -3-\lambda  \end{matrix} \right| =0\\\Rightarrow \left( 5-\lambda  \right) \left( 4-\lambda  \right) \left( -3-\lambda  \right) -14+10\left( 4-\lambda  \right) +8\left( 5-\lambda  \right) =0\\ \Rightarrow \lambda ^{ 3 }-6\lambda ^{ 2 }+11\lambda -6=0\Rightarrow \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -2 \right) \left( \lambda -3 \right) =0\Rightarrow \lambda =1,2,3，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
二階線性常微分方程式的標準式為$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$，選項(B)可寫成$y''+\frac{3x}{4\cos{x}}y' + \frac{3}{4\cos{x}}y=\frac{2x}{4\cos{x}}$，符合二階線性常微分方程式的標準式，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$A=\begin{bmatrix} \cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  \\ -\sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{bmatrix}\Rightarrow \left| A \right| =\cos ^{ 2 }{ \theta  } +\sin ^{ 2 }{ \theta  } =1\Rightarrow A^{ -1 }=\frac { 1 }{ \left| A \right|  } \begin{bmatrix} \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  \\ \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  \\ \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  \end{bmatrix} ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{cases} 2a+5c=4\cdots (1) \\ 2b+5d=-6\cdots (2) \\ a+3c=2\cdots (3) \\ b+3d=1\cdots (4) \end{cases}\xrightarrow { 2\times (3)-(1),2\times (4)-(2) }\\ \begin{cases} c=0 \\ d=8 \end{cases} \xrightarrow { 代入(3)及(4) } \begin{cases} a=2 \\ b=-23 \end{cases}\Rightarrow A=\begin{bmatrix} 2 & -23 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y=Ae^{ 2x }+Be^{ x }+c\Rightarrow \lambda =0,1,2\Rightarrow \lambda(\lambda -1)(\lambda -2)=0\Rightarrow \lambda ^{ 3 }-3\lambda^2 +2\lambda=0\\ \Rightarrow y'''-3y''+2y'=0，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解題僅供參考