101學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

101 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解：由輾轉相除法可知$(a,b)=(165,b)=(165,66)=33$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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2.已知兩直線$L_1:2x-y=1, L_2:x-3y=3$，則下列何者與直線$L_1$垂直？
(A)x=0 ; (B)y=4 ; (C)2x+y=7 ; (D) x+2y=10。
解： $$L_1的法向量\vec{u}=(2,-1), x+2y=10的法向量\vec{v}=(1,2) \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=2-2=0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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3.承上題2，下列那一個直線能與兩直線$L_1, L_2$圍出一個三角形？

(A)2x-y=4   (B)3x-4y=5  (C)x-3y=10  (D)2x-3y=3
解：
2x-y=4與$L_1$平行、x-3y=10與$L_2$平行，因此(A)與(C)不能圍成一個三角形;
$L_1與L_2$的交點為(0,-1)也在 2x-3y=3上，因此只有(B)可圍成三角形，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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4.設兩複數分別為$z_1=5+2i, z_2=1-i$，在高斯平面上，$z_1, z_2$的距離為何？
(A)15 ; (B)25 ; (C) 5 ; (D)10 。

解： $$\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{25}=5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$|r|<1，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\begin{cases} a_{ 1 }+a_{ 3 }+\cdots +a_{ 9 }=25 \\ a_{ 2 }+a_{ 4 }+\cdots +a_{ 10 }=45 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+(a_{ 1 }+2d)+\cdots +(a_{ 1 }+8d)=25 \\ (a_{ 1 }+d)+(a_{ 1 }+3d)+\cdots +(a_{ 1 }+9d)=45 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 5a_{ 1 }+20d=25 \\ 5a_{ 1 }+25d=45 \end{cases}\Rightarrow 5d=20\Rightarrow d=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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7.已知拋物線的方程式為$f(x)=-(x+3)^2+3$，在$-1\le x\le 6$的限制下，求f(x)的最小值為何?
(A)3 ; (B)-1 ; (C)-10 ; (D) -78 。

解： $$f(x)=-(x+3)^2+3\Rightarrow x=-3時，f(x)有最大值3；\\因此最小值在邊界點，f(-1)=-1>-78=f(-6)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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8.設f(x)為三次實係數多項式，其函數圖形如右，且知複數$1+i$為方程式 f(x)=0 的一根，試問下列何者為f(x)的二次因式?

(A)$x^2-2x+2$ (B)$x^2+2x+2$ (C) $x^2-2x-2$  (D) $x^2+2x$
解： $$x=1+i\Rightarrow (x-1)^2=i^2\Rightarrow x^2-2x+1=-1 \Rightarrow x^2-2x+2=0，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

f(x)往下平移超過3單位且少於5個單位，圖形與X軸將會有3個交點；也就是說如果$5>k>3\Rightarrow f(x)-k=0$有3個解，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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10.已知分式不等式$\frac{x-4}{x+1}\ge 0$，求實數x 的範圍?
(A)$-1\le x\le4$  (B)$-1<x\le 4$  (C) $x<-1或4\le x$  (D)$x\le -1或4\le x$

解： $$\frac{x-4}{x+1}\ge 0\Rightarrow (x-4)(x+1)\ge 0 \Rightarrow \begin{cases}x-4\ge 0且x+1\ge 0\\ x-4\le 0 且x+1\le 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x\ge 4\\ x< -1(分母不為0)\end{cases}\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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11. 本題 $\bbox[red,2pt]{送分}$

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12. 下圖為$y=2^x, y=2^{-x}, y=\log_{2}{x}, y=\log_{3}{x}, y=x$的函數圖形，何者可能$y=2^{-x}$的圖形？

(A)A ; (B)B ; (C)C ; (D)D 。
解： $$(-1,2)在y=2^{-x}上，只有A經過(-1,2)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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13. 承上題12，何者可能為$y=\log_{3}{x}$的圖形？
(A)E ; (B)D ; (C)C ; (D)B。

解：

只有E經過(3,1)，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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14. 已知$3^{100}=a\times 10^m$，其中$0<a<10$，$m$是一個整數，求a 的整數部分=?
(A)3 ; (B)4 ; (C) 5 ; (D)6 。
解： $$3^{100}=a\times 10^m\Rightarrow \log{3^{100}}=\log{a\times 10^m} \Rightarrow 100\log{3}=m+\log{a}\\\Rightarrow 100\times 0.4771=47.71=m+\log{a} \Rightarrow \begin{cases}m=47\\\log{a}=0.71\end{cases}\\又\log{5}=1-\log{2}=0.699<\log{a}=0.71<0.7781=\log{6}=\log{2}+\log{3}\\\Rightarrow \log{5}<\log{a}<\log{6}\Rightarrow a的整數部份為5，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$同上題，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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$$(A)\frac{12000\left[(1.04)^{10}-1\right]}{0.04}\;(B)\frac{12000\left[(1.04)^{11}-1.04\right]}{0.04}\\(C)12000\left[(1.04)^{10}-1\right]\;(D)12000\left[(1.04)^{11}-1.04\right]$$
解：

$$12000\times 1.04^{10}+12000\times 1.04^{9}+\cdots+12000\times 1.04\\ =\frac{12000\times 1.04(1-1.04^{10})}{1-1.04}=\frac{12000\times 1.04(1.04^{10}-1)}{0.04}=\frac{12000(1.04^{11}-1.04)}{0.04}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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17.三角形ABC 三邊長分別為$\overline{AB}=3, \overline{BC}=8, \overline{AC}=7$，則$\triangle ABC$的面積為何？
(A) 6   (B) 8   (C)  $8\sqrt{3}$   (D) $6\sqrt{3}$
解： $$令s=(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC})\div 2=(3+8+7)\div 2=9，\\則\triangle ABC面積= \sqrt{s(s-\overline{AB})(s-\overline{BC})(s-\overline{AC})}=\sqrt{9(9-3)(9-8)(9-7)}\\=\sqrt{108}=6\sqrt{3}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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$$(A)\frac{7\sqrt{3}}{3}\; (B)\frac{6\sqrt{3}}{3}\;(C)\frac{8\sqrt{3}}{3}\;(D)\frac{10\sqrt{3}}{3}$$
解：
D到三頂點的距離等於外接圓半徑，即 $$\frac{\overline{AB}\times\overline{BC} \times\overline{AC}} {4\times \triangle ABC面積}= \frac{3\times 8\times 7}{4\times 6\sqrt{3}}=\frac{168}{24\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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(A) 32/15 (B) -15/32 (C) -32/15 (D) 15/32
解： $$\begin{cases}\sin{\theta}=\frac{3}{5}\\\tan{\theta}<0\end{cases} \Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{4}{5} \Rightarrow \cos{\theta}+\tan{(-630^\circ-\theta)}=\cos{\theta}+\tan{(-630^\circ-\theta+720^\circ)}\\= \cos{\theta}+\tan{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=-\frac{4}{5}-\frac{4}{3}=-\frac{32}{15}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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20.已知複數$z=1-\sqrt{3}i$，求$|z|^6$的值=？
(A)16 ; (B)32 ; (C) 64 ; (D)128 。
解： $$z=1-\sqrt{3}i\Rightarrow |z|=\sqrt{1+3}=2\Rightarrow |z|^6=2^6=64，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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21. 本題$\bbox[red,2pt]{送分}$

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22.若△ ABC 為平面上的三角形，P 為平面上一點且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$，其中t 為一實數，可使得P落在$\overline{BC}$邊上，則t的值=？
(A)1/3  (B) 2/3  (C) -2/3  (D) -1/3
解：

P落在$\overline{BC}$邊上$\Rightarrow \frac{1}{3}+t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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23. 已知$A(-2,6), B(-5,2), C(-1,-1), D(2,3)$為坐標平面上四點，下列與$\overrightarrow{AB}$互相垂直?
(A)$\overrightarrow{AB}$ (B)$\overrightarrow{BC}$ (C) $\overrightarrow{CD}$ (D)$\overrightarrow{AC}$
解： $$\begin{cases}\overrightarrow{AB}=(-5+2,2-6)=(-3,-4)\\\overrightarrow{BC}=(-1+5,-1-2)=(4,-3) \\\overrightarrow{CD}=(2+1,3+1)=(3,4)\\\overrightarrow{AC}=(-1+2,-1-6)=(1,-7)\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-12+12=0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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24.求兩直線$L_1:3x+4y-2=0, L_2:5x+12y-6=0$的鈍角平分線方程式為何?
$(A)8x+13y-7=0  (B)7x-4y-7=0  (C)7x-4y+2=0  (D)8x+13y+7=0$
解： $$角平分方程式為\frac{3x+4y-2}{\sqrt{3^2+4^2}}=\pm\frac{5x+12y-6}{\sqrt{5^2+12^2}}\Rightarrow \frac{3x+4y-2}{5}=\pm\frac{5x+12y-6}{13} \\ \Rightarrow \begin{cases}13(3x+4y-2)=5(5x+12y-6)\\13(3x+4y-2)=-5(5x+12y-6)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}7x-4y+2=0\cdots L_3\\8x+14y-7=0\cdots L_4\end{cases}\\ 現在要判斷哪一個是純角平分線，在L_1上找一點P(2,-1)\Rightarrow \begin{cases}d(P,L_3)=\frac{14+4+2}{\sqrt{7^2+(-4)^2}}=\frac{20}{\sqrt{65}}\\d(P,L_4)=\left|\frac{16-14-7}{\sqrt{8^2+14^2}}\right|=\frac{5}{\sqrt{260}}\end{cases}\\ \Rightarrow d(P,L_3)>d(P,L_4) \Rightarrow L_3是鈍角平分線，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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25.空間坐標軸中，下列哪一點到平面$E:2x-y+2z=4$的距離最短?
(A)(0,0,0) ; (B)(0,1,0) ; (C)(1,-1,-1) ; (D)(1,1,1) 。

解： $$(A)\left|\frac{-4}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\right|=\frac{4}{3}\\(B)\left|\frac{-1-4}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\right|=\frac{5}{3}\\(C)\left|\frac{2+1-2-4}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\right|=\frac{3}{3}\\(D)\left|\frac{2-1+2-4}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\right|=\frac{1}{3}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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26. 空間坐標中兩點A(1,2,3)與B(5,4,5)，求$\overline{AB}$的垂直平分面方程式為何?
(A) 2x+y+z=7 ; (B) 2x+y+z=13 ; (C) 2x+y+z=19 ; (D) 4x+2y+2z=13 。

解：
A、B的中點$C=((1+5)/2,(2+4)/2,(3+5)/2)=(3,3,4)$；
垂直平分面的法向量$\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(5-1,4-2,5-3)=(4,2,2)$；
過C點，且法向量為$\vec{n}$的平面方程式為$4(x-3)+2(y-3)+2(z-4)=0 \Rightarrow 2x+y+z=13$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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27.如右圖，已知 ABCD 為正立方體的一個面，P，Q分別為$\overline{BC},\overline{CD}$的中點，O 為正立方體的中心，求$\cos{\angle POQ}$的值為何？

(A) $\frac{1}{2}$      (B)$\frac{-1}{2}$   (C)$\frac{1}{\sqrt{2}}$      (D)$\frac{-1}{\sqrt{2}}$
解：

假設立方體邊長為2，以A為原點(0,0,0)，各點坐標如上圖。因此 $$\begin{cases} \overrightarrow { OP } =(2,0,1)-(1,1,1)=(1,-1,0) \\ \overrightarrow { OQ } =(1,0,2)-(1,1,1)=(0,-1,1) \end{cases}\Rightarrow \cos { \angle POQ } =\frac { \overrightarrow { OP } \cdot \overrightarrow { OQ }  }{ \left| \overrightarrow { OP }  \right| \left| \overrightarrow { OQ }  \right|  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 }  } =\frac { 1 }{ 2 }\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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28.   圓的方程式$(x-2)^2+(y+1)^2=9$，下列直線被圓C 所截的弦何者最長?
  (A) x 軸    ; (B) y 軸    ; (C) 3x-4y=7    ; (D) x+y=1    。

解：圓心為(2,-1)，半徑為3；離圓心越近所截的弦越長
(A) X軸至(2,-1)的矩離為1
(B) Y軸至(2,-1)的距離為2
(C) (2,-1)至3x-4y=7的距離為$\left|\frac{6+4-7}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=\frac{3}{5}$
(D) (2,-1)至x+y=1的距離為$\left|\frac{2-1-1}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|=0$

直線x+y=1至圓心的距離最短，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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29.已知球面 S 通過 $B(2,-2,5)$ ，且球面 S 與平面$E: x=0$相切於$A(0,4,3)$，試求球面 S 的方程式的圓心為何?
 (A)(11,4,3)    ; (B)(2,4,5)    ; (C)(6,4,3)    ; (D)(0,4,3)。

解：
令圓心為$O(x,y,z)$，依題意可知圓心與切點A的向量與平面E的法向量平行，即$\overrightarrow{OA}//(1, 0, 0) \Rightarrow (-x, 4-y, 3-z)//(1,0,0)$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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30. 已知直線 y=mx 與拋物線$y^2=4x-4$相切，求實數$m$的值可為何？
(A)0    ; (B) 1    ; (C)2    ; (D)3    。
解：
將直線代入拋物線，可得$(mx)^2=4x-4 \Rightarrow m^2x^2-4x+4=0$；相切表示交點只有一個，也就是判別式等於0，即$16-16m^2=0 \Rightarrow m=\pm 1$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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31.橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的兩個焦點$F_1,F_2$，已知過$F_1$的直線與橢圓交於 A ， B 兩點，且$\overline{AB}=7$，求$\overline{AF_2}+\overline{BF_2}$的值為何？
(A)7    ; (B)14    ; (C) 13    ; (D)16。
解：

依橢圓定義：橢圓上的點至兩焦點的距離和為兩倍長軸，即$\begin{cases} \overline{AF_1}+\overline{AF_2}=2\times 5=10\\ \overline{BF_1}+\overline{BF_2}=2\times 5=10\end{cases}$，依題意$\overline{AB}=7\Rightarrow   \overline{AF_1}+\overline{BF_1}=7$；綜合上述，可得 $$\begin{cases} \overline{AF_1}+\overline{AF_2}=2\times 5=10\cdots (1)\\ \overline{BF_1}+\overline{BF_2}=2\times 5=10\cdots (2)\\ \overline{AF_1}+\overline{BF_1}=7 \cdots (3)\end{cases}\Rightarrow (1)+(2)-(3)\Rightarrow \overline{AF_2}+\overline{BF_2}=10+10-7=13\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：7個字母排列共有7!排法，但其中有3個t、2個g及2個o，因此排列的方法有$\frac{7!}{3!2!2!}=7\times 6\times 5=210$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

10=4+6 = 6+4=5+5，共有3種情形，因此機率為3/36=1/12，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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34. 本題$\bbox[red,2pt]{送分}$

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解：

抽中任一球的機率皆為1/3，因此期望值為$(10-2-2)\div 3=2$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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36.已知三事件A， B ，C 為獨立事件，其發生的機率分別為$\frac{1}{2}、\frac{2}{3}、\frac{3}{4}$，求恰有一事件發生的機率
(A)1/2  (B)1/3  (C) 1/4  (D) 1/12
解：

恰有一事件發生=A發生且B及C都不發生+B發生且A及C都不發生+C發生且A及B都不發生；
因此機率為 $$\frac { 1 }{ 2 } \left( 1-\frac { 2 }{ 3 }  \right) \left( 1-\frac { 3 }{ 4 }  \right) +\frac { 2 }{ 3 } \left( 1-\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( 1-\frac { 3 }{ 4 }  \right) +\frac { 3 }{ 4 } \left( 1-\frac { 1 }{ 2 }  \right) \left( 1-\frac { 2 }{ 3 }  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 4 } \times \frac { 1 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 3 } =\frac { 1 }{ 24 } +\frac { 1 }{ 12 } +\frac { 1 }{ 8 } =\frac { 1+2+3 }{ 24 } =\frac { 1 }{ 4 }， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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37.有 100筆成對的資料$(x_i,y_i)，i=1,2,\cdots,100$，其平均$\bar{x}=3,\bar{y}=5$，x與 y的相關係數r=0.8，且y 對x 的迴歸直線過點(2,0)則迴歸直線的斜率為何?
(A)5 ; (B)-5 ; (C)3 ; (D) 0.8。
解： $$迴歸方程式y=r\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } x+\bar { y } -r\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } \bar { x } \\ (2,0)代入上式\Rightarrow 0=0.8\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } \times 2+5-0.8\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } \times 3\Rightarrow 0.8\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } =5\\ \Rightarrow \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } =\frac { 25 }{ 4 } \Rightarrow 斜率:r\times \frac { \sigma _{ y } }{ \sigma _{ x } } =0.8\times \frac { 25 }{ 4 } =5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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38. 設矩陣$A=\left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right], B=\left[\begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right]$，若$AX=B$求矩陣$X$為何？
(A) $\left[\begin{matrix} -1\\-1 \end{matrix}\right]$  (B) $\left[\begin{matrix} -1\\1 \end{matrix}\right]$ (C) $\left[\begin{matrix} 0\\-1 \end{matrix}\right]$ (D) $\left[\begin{matrix} 0\\-1 \end{matrix}\right]$

解： $$X=\left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right] \Rightarrow AX=B\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow \begin{cases} a+2b=1 \\ b=1 \end{cases}\Rightarrow a=-1\\\Rightarrow X=\left[ \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right]，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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39.右圖中A， B ，C ，D， E 為坐標平面上的五個點﹒將這五個點的坐標$(x,y)$分別代入$5x-5y$，問哪一個點代入所得的值最大？

(A) E  (B) D  (C) C  (D) B

解：

直線$5x-5y=k$的斜率為1，見上圖紅線。越往右下角的直線$k$值越大，因此在點E有最大的$k$值，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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40. 設x ， y 滿足聯立不等式$\begin{cases}x\ge 0,y\ge 0\\x+y\le 10\\x-y\ge 3\end{cases}$，求$3x+y$的最大值為何？
(A)23  (B) 9  (C) 30  (D) 15

解：

該聯立不等式為一三角形，見上圖。將各頂點代入$3x+y$可知C點有最大值:$3\times 10+0=30$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$
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