102學年度國中運動績優生甄試--數學科詳解

102 學年度國民中學運動成績優良學生 

升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解： $$\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 3 }{ 8 } +\left( -2\frac { 7 }{ 8 }  \right) =\frac { 5 }{ 6 } -\frac { 3 }{ 8 } -\frac { 23 }{ 8 } =\frac { 20-9-69 }{ 24 } =\frac { -58 }{ 24 } =\frac { -29 }{ 12 } =-2\frac { 5 }{ 12 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$(A)\begin{cases} 19-11\neq 30 \\ \cdots \end{cases}\\ (B)\begin{cases} 37+17\neq 20 \\ \cdots  \end{cases}\\ (C)\begin{cases} \cdots \\ 16-11\neq 27 \end{cases}\\,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：5 不是21的因數，不應該有最後一步，也就是說5不是252的因數，當然也不是三者的公因數，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$(A)8.43\times 10^{ 9 }-2.17\times 10^{ 8 }=84.3\times 10^{ 8 }-2.17\times 10^{ 8 }=82.13\times 10^{ 8 }\\ (B)8.43\times 10^{ 10 }-2.17\times 10^{ 9 }=84.3\times 10^{ 9 }-2.17\times 10^{ 9 }=82.13\times 10^{ 9 }\\ (C)9.43\times 10^{ 9 }-2.17\times 10^{ 8 }=94.3\times 10^{ 8 }-2.17\times 10^{ 8 }=92.13\times 10^{ 8 }\\ (D)9.43\times 10^{ 10 }-2.17\times 10^{ 9 }=94.3\times 10^{ 9 }-2.17\times 10^{ 9 }=92.13\times 10^{ 9 }\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
當兩圓外切時，$\overline{O_1O_2}=12+5=17$；當兩圓內切時，$\overline{O_1O_2}=12-5=7$；
因此兩圓相交兩點時，$7<\overline{O_1O_2}<17\Rightarrow \overline{O_1O_2}=8,9,\cdots, 16$，共有$16-8+1=9$個，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$B(9,-2)\Rightarrow C=(9,-2+8)=(9,6) \Rightarrow D=(9-6,6)=(3,6)\\ \Rightarrow E=(3,6-4) = (3,2) \Rightarrow F=(3+2,2)=(5,2)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\overline{AC}=\sqrt{9^2+12^2}=15\Rightarrow \overline{AD}<r<\overline{AC}\Rightarrow 12<r<15，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$a_{25}=a_1+24d\Rightarrow 80=a_1+24\times 2 \Rightarrow a_1=80-48=32 \Rightarrow a_1+a_2+\cdots+a_8\\=(a_1+a_8)\times 25 \div 2 = (32+80)\times 25\div 2= 1400，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\angle 1:\angle 2=3:2 \Rightarrow \angle 1+\angle 2=3K+2K=180^\circ \Rightarrow K=36\\ \angle 3=\angle 2 = 2K=2\times 36=72^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\begin{cases} \overline { AP } =\overline { DP }  \\ \angle A=\angle D=90° \\ \overline { AP } =\overline { DQ }  \end{cases}\Rightarrow SAS，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$(A)\sqrt { 5 } ,\sqrt { 5 } ,\sqrt { 5 } ,\sqrt { 5 } ,\sqrt { 5 } \Rightarrow d=0\\ (B)\sqrt { 1 } ,\sqrt { 4 } ,\sqrt { 9 } ,\sqrt { 16 } ,\sqrt { 25 } =1,2,3,4,5\Rightarrow d=1\\ (C)\sqrt { 5 } ,2\sqrt { 5 } ,3\sqrt { 5 } ,4\sqrt { 5 } ,5\sqrt { 5 } \Rightarrow d=\sqrt { 5 }\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$4x^2+12x+9=(2x+3)^2 \Rightarrow 邊長=2x+3 \Rightarrow 周長=4(2x+3)=8x+12，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} 甲=6+\sqrt { 14 } =6+3.X=9.X \\ 乙=3+\sqrt { 17 } =3+4.X=7.X \\ 丙=1+\sqrt { 19 } =1+4.X=5.X \end{cases}\Rightarrow 甲>乙>丙，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

$a:b=3:5 \Rightarrow 3b=5a$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
長方形$ABCD$的長為8+2+15=25，寬為9+6=15，因此長寬比為25:15=5:3；
丙的長為8+2=10，寬為6，因此長寬比為10:6=5:3；
故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

$$\left( \sqrt { 18 } +\sqrt { 12 }  \right) \left( \sqrt { 3 } -\sqrt { 2 }  \right) =\left( 3\sqrt { 2 } +2\sqrt { 3 }  \right) \left( \sqrt { 3 } -\sqrt { 2 }  \right) =3\sqrt { 6 } -6+6-2\sqrt { 6 } \\ =\sqrt { 6 } ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$y=x^2+1$符合表內六組數值，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$4x^2+16x+15=(2x+5)(2x+3)=0\Rightarrow x=-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$x>-\frac{2}{3}\Rightarrow 3x>-2\Rightarrow 3x+2>0 \Rightarrow -3x-2<0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$每張全票為x元\Rightarrow 半票每張(x-30)元 \Rightarrow 10張全票+5張半票合計 10x + 5(x-30)\\ \Rightarrow 10x+5(30-x)=800，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$\overline{AB}//\overline{CD} \Rightarrow \angle ADC=\angle BAD=18^\circ \Rightarrow \overset{\frown}{AC}=2\times \angle ADC=36^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$\overline{AD}$為$\angle BAC$的角平分線$\Rightarrow \angle BAD=\angle DAC=\angle 1$；又$\overline{AE}=\overline{AD}\Rightarrow \angle AED=\angle ADE=\angle 2$；
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \Rightarrow 2\angle 1+30^\circ +50^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle 1=50^\circ$；在$\triangle AED$中，$\angle 1+2\angle 2=180^\circ \Rightarrow 50^\circ + 2\angle 2=180^\circ \Rightarrow \angle 2=65^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\frac { 75^{ 2 }-25^{ 2 } }{ 75^{ 2 }+75\times 50+25^{ 2 } } =\frac { \left( 75+25 \right) \left( 75-25 \right) }{ 75^{ 2 }+2\times 75\times 25 } =\frac { \left( 75+25 \right) \left( 75-25 \right) }{ \left( 75+25 \right) ^{ 2 } } =\frac { 75-25 }{ 75+25 } =\frac { 50 }{ 100 } =\frac { 1 }{ 2 }\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\begin{cases} \left[ 2,2^{ 2 } \right] =2^{ 2 } \\ \left[ 3^{ 2 },3^{ 2 } \right] =3^{ 2 } \\ \left[ 5^{ 3 },5 \right] =5^{ 3 } \end{cases}\Rightarrow \left[ 2\times 3^{ 2 }\times 5^{ 3 },2^{ 2 }\times 3^{ 2 }\times 5 \right] =2^2\times 3^2\times 5^3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left| 2x+y-11 \right| +\left| x-y+2 \right| =0\Rightarrow \begin{cases} 2x+y-11=0 \\ x-y+2=0 \end{cases}\Rightarrow 3x-9=0\Rightarrow x=3\\\Rightarrow 3-y+2=0\Rightarrow y=5\Rightarrow x+y=8，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\angle BOC=2\angle BAC \Rightarrow \angle BOC+\angle BAC=\frac{3}{2}\angle BOC=150^\circ \Rightarrow \angle BOC=100^\circ \Rightarrow \overset{\frown}{BC}=100^\circ \Rightarrow\\ \overset{\frown}{AB}=360^\circ-\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC} =360^\circ - 140^\circ-100^\circ =120^\circ \Rightarrow \angle BAD = 120^\circ \div 2 =60^\circ\\， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\overline{AB}不一定與\overline{AC}相等，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：各數絕對值代表與原點的距離，因此$|c|>|a|>|b|$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$3k+4k+5k=12k=48\Rightarrow k=4\Rightarrow (甲,乙,丙)=(12,16,20)\xrightarrow{乙2人轉入丙}(12,14,22) \\\Rightarrow 乙:丙=14:22=7:11，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

$\triangle ABC$為等腰且$\overline{AO}$為$\overline{BC}$的中垂線，因此$\angle OAC=60^\circ$；
$\overline{OD}$為$\overline{AC}$的中垂線，因此$\overline{OA}=\overline{OC} \Rightarrow \angle OCA=\angle OAC=60^\circ \Rightarrow \triangle OCA$為正三角形，因此$\overline{OC}=\overline{AC}=13$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：梯形面積$=(1+4)\times 8\div 2=20$，因此三角形BNC面積$=\overline{BC}\times\overline{NC}\div 2=10 \Rightarrow 2\overline{NC}=10 \Rightarrow \overline{NC}=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$(A)2^4-1=15=3\times 5\Rightarrow 不是質數\\(B)2^5-1=31\Rightarrow 質數\\ (C) 2^6-1=63=9\times 7\Rightarrow 不是質數 \\(D) 2^8-1=255=5\times 51\Rightarrow 不是質數\\故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

令該多項式為$f(x)$，由題意知$f(x)=(x-2)(2x+3)+3=2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$(a,b)\xrightarrow{向上平移7單位}(a,b+7) \xrightarrow{向左平移8單位}(a-8,b+7)\\ \xrightarrow {向下平移3單位}(a-8,b+7-3) =(a-8,b+4)\Rightarrow (a-8,b+4)=(-5,-2)\\ \Rightarrow (a,b)=(3,-6)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

延長直線$\overline{AF}$交$\overline{BC}$於點G，如上圖。
$\triangle ABC$為等腰$\Rightarrow \overline{GC}=\overline{BC}\div 2=16\div 2=8$
在直角$\triangle AGC$中，$\overline{AG}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$；又F為重心，所以$\overline{AF}=\frac{2}{3}\overline{AG}=\frac{2}{3}\times 15=10$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

假設該等差數列為$a_1,a_2,\cdots,a_{25}$且公差為$d$，其中$a_1=a, a_{25}=70, a_{12}=5$；因此 $$\begin{cases} a_{ 12 }=5 \\ a_{ 25 }=70 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 1 }+11d=5 \\ a_{ 1 }+24d=70 \end{cases}\Rightarrow 13d=65\Rightarrow d=5\Rightarrow a_{ 1 }+11\times 5=5\\\Rightarrow a_{ 1 }=-50\Rightarrow a=a_{ 1 }=-50，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
假設三邊長為$(a-2), a, (a+2)$，由於該三角形為直角三角形，滿足$(a-2)^2+a^2=(a+2)^2   \Rightarrow a^2-8a=0   \Rightarrow   a(a-8)=0   \Rightarrow   a=8$，因此三邊長為6, 8,   10，面積為$6\times 8\div   2=24$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

作$\overline{DG}//\overline{CF}$且交$\overline{AB}$於H，如上圖；
$\overline{AH}//\overline{EG}\Rightarrow   \frac{\overline{AH}}{\overline{EG}}=\frac{9}{12} \Rightarrow   \overline {AH}=9\Rightarrow   \overline{AB}=\overline{AH}+\overline{HB}=9+8=17$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

$$10^6\times(10^2)^3\div 10^4=10^6\times 10^6\div 10^4 =10^{6+6-4}=10^8,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
--END--