臺中市立文華高級中等學校 109 學年度
第2次教師甄選-數學專業知能試題
解:
{f(2x)<0共有11個整數解f(2x+5)<0共有16個整數解⇒{f(x)<0共有11個偶數解f(x)<0共有16個奇數解⇒f(x)<0有16+11=27個整數解
解:
{3α/2=√3−αlog3β=2√3−2β⇒{√3α=√3−αlog√3β=√3−β令A(a,√3−a)為兩圖形{y=√3xy=√3−x的交點,及B(b,√3−b)為兩圖形{y=log√3xy=√3−x的交點;由於此二圖形{y=√3xy=log√3x對稱於y=x⇒{a=√3−b√3−a=b⇒a+b=√3;因此(α+β)2−2(√3)α−log3β=(√3)2−2(√3−α)−2(√3−β)=3−4√3+2(α+β)=3−4√3+2√3=3−2√3
解:
{S={a,b,c,d,e,f}A={a,b}⇒P(A)=#(A)#(S)=26=13A、B獨立⇒P(A∩B)=P(A)P(B)=13P(B)⇒P(A∩B)P(B)B#(B)00∅11/61/2{a,◯,△}C42{b,◯,△}C42△,◯∈{c,d,e,f}2/61S13/63/2≮1不存在04/6,5/6,6/6≮1不存在0⇒#(B)=1+C42+C42+1=14
解:
直線¯BE交¯AC於F,見上圖;又{∠CAD=∠ADB−∠ACB=75∘−45∘=30∘∠BED=180∘−∠AEB=180∘−120∘=60∘∠EBD=∠AEB−∠EDB=120∘−75∘=45∘△BDE⇒¯EDsin∠EBD=¯BDsin∠BED=¯BEsin∠BDE⇒4√2sin45∘=¯BDsin60∘=¯BEsin75∘⇒{¯BD=4√3¯BE=8sin75∘=8sin(45∘+30∘)=2(√2+√6)∠FCB=∠FBC=45∘⇒¯FB=¯BC÷√2=6+4√3√2=3√2+2√6⇒¯EF=¯FB−¯BE=3√2+2√6−2√2−2√6=√2⇒¯AE=2¯EF=2√2⇒cos∠AEB=¯AE2+¯BE2−¯AB22¯AEׯBE⇒cos120∘=8+4(√2+√6)2−¯AB28√2(√2+√6)⇒−12=40+16√3−¯AB216+16√3⇒¯AB2=48+24√3⇒¯AB=6+2√3
2→a×→b+3→c×→b+7→c×→a=(12,−4,11)⇒→a⋅(2→a×→b+3→c×→b+7→c×→a)=→a⋅(12,−4,11)⇒→0−3→a⋅(→b×→c)+→0=(3,1,5)⋅(12,−4,11)=87⇒→a⋅(→b×→c)=−29⇒|315b1b2b3c1c2c3|=→a⋅(→b×→c)=−29
{x+ay+a2z=2a3x+by+b2z=2b3x+cy+c2z=2c3經過(−4,−2,4)⇒{−4−2a+4a2=2a3−4−2b+4b2=2b3−3−2c+4c2=2c3⇒{a3−2a2+a+2=0b3−2b2+b+2=0c3−2c2+c+2=0⇒a,b,c為x3−2x2+x+2=0之三根⇒abc=三根之積=−2
令{P(a24,a)A(2,1)B(1,0)⇒M=¯PA+¯PB;P點軌跡為4x=y2,為一拋物線,其焦點為F(1,0)=B,準線L:x=−1⇒¯PB=d(P,L)⇒M的最小值=d(A,L)=3
N:取3次號碼最大的數N(a,b,c)個數1(1,1,1)12(2,2,2)1(2,1,2)3(2,1,1)33(3,3,3)1(3,1−2,3)6(3,1−2,1−2)124(4,4,4)1(4,1−3,4)9(4,1−3,1−3)275(5,5,5)1(5,1−4,5)12(5,1−4,1−4)48⇒期望值=(1×1+2(1+3+3)+3(1+6+12)+4(1+9+27)+5(1+12+48))÷53=525125=215
z=(2√2+√2i)x2−√2ixy−2√2iy2+3√2y+(3+4i)a−(2+i)b−(11√2+i)=0⇒{Re(z)=0Im(R)=0⇒{2√2x2+3√2y+3a−2b−11√2=0√2x2−√2xy−2√2y2+4a−b−1=0由於a,b為有理數,a與b皆不含√2⇒{{2x2+3y=113a=2b{x2−xy−2y2=(x+y)(x−2y)=04a−b=1⇒{x=2y=1a=2/5b=3/5⇒x+y+a+b=4
n⌊√n⌋數量累積和1,31225,72269,11,15331517,19,21,23443125,27,29,31566133,3537,39,41,43669745,4749,51,53,557815357,59,61,6365,67,..,798821781,..,99910307101,..,1191010407121,..,1431112539145,..,1671212683169,..,1951314865197,..,22314141061225,..,25515161301257,..,28716161557289,..,32317181863325,..,33918820073411812025⇒n的最大值為339
解:
解:
f(1−x)=1−f(x)⇒f(1)=f(1−0)=1−f(0)=1⇒f(1/3)=f(1)/2=1/2又f(1/2)=f(1−1/2)=1−f(1/2)⇒2f(1/2)=1⇒f(1/2)=1/2綜合以上及題意:{0≤x1<x2≤1⇒f(x1)≤f(x2)f(1/2)=f(1/3)=1/2⇒f(x)=12∀x∈[1/3,1/2];f(1092020)=f(3272020÷3)=12f(3272020)=12f(9812020÷3)=14f(9812020);由於13<9812020<12⇒f(9812020)=12⇒1092020=14×12=18
解:
an=7(110n+110n+1+⋯+1102n−1)=710n(1+110+⋯+110n−1)=79×10n−1(1−110n)⇒Sn=n∑k=1ak=n∑k=179×10k−1(1−110k)=79n∑k=1(110k−1−1102k−1)=79(1−110n1−10−1−110−1102n+11−10−2)=79(10099−19×10n−1+199×102n−1)⇒lim
假設連續n個邊,及剩下的109-n邊,可以分別組合成一個n+1多邊形及一個110-n個多邊形,\\這兩個多邊形的面積和等於原正109邊形面積,也就是10;\\當n=2時,產生1組面積和為10的三角形及108邊形,共有109組,面積總和為1090;\\當n=3時,也有109組,面積總和也是1090;\\ n=54時為最大值,也就是n=2-54,共53種;因此總面積和=1090\times 53= \bbox[red,2pt]{57770}

解:
\cases{k=3\\ n=10}代公式:(k-1)(-1)^n+(k-1)^n = 2+2^{10}= \bbox[red,2pt]{1026}
解:\alpha,\beta,\gamma為x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96=0之三根\Rightarrow \alpha+\beta +\gamma=2k \Rightarrow k={1\over 2}(\alpha+\beta +\gamma) \\ \Rightarrow \triangle面積=\sqrt{k(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)} =\sqrt{k(k^3-2k^3+(k^2+11)k-96)} =3\sqrt 3 \\ \Rightarrow k(11k-96)=27 \Rightarrow 11k^2-96k-27=0 \Rightarrow (11k+3)(k-9)=0 \\\Rightarrow k=\bbox[red, 2pt]{9}(k為三邊長之和的一半,必為正值)

解:

解:
解:球S:x^2+y^2+z^2-2x-4y+8z+18=0 \Rightarrow (x-1)^2+(y-2)^2 +(z+4)^2 =3 \\ \Rightarrow \cases{球心A(1,2,-4)\\ 球半徑R=\sqrt 3} \Rightarrow d(A,E)= {|1+4+8-16|\over \sqrt{1+4+4}} =1 = \overline{AB} (B為圓C之圓心)\\又P為切點\Rightarrow \angle APR=90^\circ = \angle BPR + \angle APB = \angle BPR+\angle BRP \\ \Rightarrow \angle APB= \angle BPR,再加上\angle ABP=\angle PBR = 90^\circ \Rightarrow \triangle ABP \sim \triangle PBR (AAA) \\ \Rightarrow {\overline {AB} \over \overline{PB}} ={\overline {PB} \over \overline{BR}} \Rightarrow {1\over \sqrt 2} = {\sqrt 2\over \overline{BR}} \Rightarrow \overline{BR} =2 \Rightarrow \overline{AR}=1+2=3;\\ 平面E的法向量(1,2,-2)即為直線\overline{AR}的方向向量\Rightarrow \overline{AR}的方程式: {x-1\over 1} = {y-2\over 2} ={x+4\over -2} \\ \Rightarrow B(t+1,2t+2,-2t-4),B在E上 \Rightarrow t+1+4t+4+4t+8-16=0 \Rightarrow t=1/3 \\ \Rightarrow B(4/3,8/3,-14/3) \Rightarrow \overrightarrow{AB} =(1/3,2/3,-2/3),再由3\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AR} \Rightarrow \bbox[red,2pt]{R(2,4,-6)}
-- END (解題僅供參考) --
沒有留言:
張貼留言