109年專門職業及技術人員高等考試
等 別:高等考試類 科:電子工程技師
科 目:工程數學(包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率)解:令y=vx,其中v為x的函式⇒y′=v+v′x⇒y″=2v′+v″x代入原式⇒(2v′+v″x)−2x1+x2(v+v′x)+21+x2(vx)=0⇒xv″+(2−2x21+x2)v′+(−2x1+x2+2x1+x2)v=0⇒xv″+21+x2v′=0再令v′=u⇒v″=u′代回上式⇒xu′+21+x2u=0⇒u′=−2x(1+x2)u⇒1udu=−2x(1+x2)dx=(−2x+2x1+x2)dx⇒ln|u|=−2ln|x|+ln(1+x2)+C1=ln1+x2x2+C1⇒u=eC1⋅1+x2x2=C2(1+1x2)⇒v=∫C2(1+1x2)dx=C2(x−1x)+C3⇒y=vx=C2(x2−1)+C3x;由題意知y=x為其一解,因此C3=1⇒y=C(x2−1)+x,C為常數
解:y=∫∞0e−(t2+x2t2)dt⇒y(2)=I=∫∞0e−(t2+4t2)dt=e−4∫∞0e−(t−2t)2dt⇒e4I=∫∞0e−(t−2t)2dt⋯(1)令u=2t⇒{du=−2t2dt=−12u2dtt−2t=2u−u⇒e4I=−∫0∞e−(u−2u)22u2du=∫∞0e−(u−2u)22u2du⋯(2)(1)+(2)⇒2e4I=∫∞0e−(u−2u)2(1+2u2)du再令w=u−2u⇒dw=(1+2u2)du⇒2e4I=∫∞−∞e−w2dw=2∫∞0e−w2dw=√π⇒y(2)=I=√π2e4
解:L−1{s(s+2)s2+4s+13}=L−1{1−2s+13s2+4s+13}=L−1{1−2(s+2)(s+2)2+9−9(s+2)2+9}=L−1{1}−2L−1{s+2(s+2)2+32}−3L−1{3(s+2)2+32}=δ(t)−2e−2tcos(3t)−3e−2tsin(3t)
解:z=2+2i⇒ln(z)=ln|z|+i(arg(z)+2kπ)=2√2+i(π4+2kπ),k∈Z⇒{a=2√2b=π4+2kπ,k∈Z
解:C=C1∪C2⇒{C1:A(0,1,0)→B(2,0,1)⇒(2t,1−t,t),t:0→1C2:B(2,0,1)→C(3,2,1)⇒(2+t,2t,1),t:0→1⇒{∮C1VdR=∫10(2t(1−t),−4,−t2)⋅(2dt,−dt,dt)=∫10−5t2+4t+4dt=133∮C2VdR=∫10((2+t)2t,−4,2t)⋅(dt,2dt,0)=∫102t2+4t−8dt=−163⇒∮CVdR=∮C1VdR+∮C2VdR=133−163=−1
解:{P1=(0,0,3)=(t21,t21/2,t21+3)P2=(1,1/2,4)=(t22,t22/2,t22+3)⇒{t1=0t2=1{x(t)=t2y(t)=12t2z(t)=t2+3⇒{x′(t)=2ty′(t)=tz′(t)=2t⇒弧長=∫t2t1√x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt=∫10√9t2dt=∫103tdt=[32t2]|10=32
解:
(1)F(x)={0,x<0x4,0≤x<13x4−12,1≤x<21,x≥2⇒P(1/2≤X≤3/2)=F(3/2)−F(1/2)=(34⋅32−12)−14⋅12=58−18=12(2)F(x)={0,x<0x4,0≤x<13x4−12,1≤x<21,x≥2⇒f(x)={0,x<014,0≤x<134,1≤x<20,x≥2⇒E(X)=∫xf(x)dx=∫1014xdx+∫2134xdx=18+98=54
解:
解:
(1)線性轉換矩陣T,滿足T(x1,x2)=[x2x1+x2x1−x2]⇒T=[01111−1]即T(x1,x2)=[x1x2][01111−1]=[x2x1+x2x1−x2](2)輸入的基底為{[12],[31]}⇒x1[12]+x2[31]=[x1+3x22x1+x2]輸出的基底為{[100],[110],[111]}⇒x2[100]+(x1+x2)[110]+(x1−x2)[111]=[2x1+x22x1x1−x2]因此T(x1+3x2,2x1+x2)=[2x1+x22x1x1−x2]⇒T=[0−2/5−3/516/54/5]⇒[x1+3x22x1+x2][0−2/5−3/516/54/5]=[2x1+x22x1x1−x2]
解:[100110111]=[u1u2u3]⇒u1=[111],u2=[011],u3=[001]⇒v1=u1=[111]⇒v1||v1||=1√3[111]⇒v2=u2−⟨u2,v1||v1||⟩v1||v1||=[011]−23[111]=13[−211]⇒v2||v2||=1√6[−211]⇒v3=u3−⟨u3,v1||v1||⟩v1||v1||−⟨u3,v2||v2||⟩v2||v2||=[001]−13[111]−16[−211]=12[0−11]⇒正交基底為{v1,v2,v3}={[111],[−2/31/31/3],[0−1/21/2]}
解:[100110111]=[u1u2u3]⇒u1=[111],u2=[011],u3=[001]⇒v1=u1=[111]⇒v1||v1||=1√3[111]⇒v2=u2−⟨u2,v1||v1||⟩v1||v1||=[011]−23[111]=13[−211]⇒v2||v2||=1√6[−211]⇒v3=u3−⟨u3,v1||v1||⟩v1||v1||−⟨u3,v2||v2||⟩v2||v2||=[001]−13[111]−16[−211]=12[0−11]⇒正交基底為{v1,v2,v3}={[111],[−2/31/31/3],[0−1/21/2]}
考選部未公布答案,答題僅供參考!!
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