109年專技高考電子工程師-工程數學詳解

 109年專門職業及技術人員高等考試

等 別：高等考試
類 科：電子工程技師
科 目：工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率）

解：$$令y=vx,其中v為x的函式 \Rightarrow y'=v+v'x \Rightarrow y''= 2v'+v''x 代入原式\\ \Rightarrow (2v'+v''x)-{2x\over 1+x^2}(v+v'x) +{2\over 1+x^2}(vx)=0 \\ \Rightarrow xv''+(2-{2x^2\over 1+x^2})v'+(-{2x\over 1+x^2}+{2x\over 1+x^2})v=0 \Rightarrow xv''+{2\over 1+x^2}v'=0\\ 再令v'=u \Rightarrow v''=u'代回上式 \Rightarrow xu'+{2\over 1+x^2}u=0 \Rightarrow u'= {-2\over x(1+x^2)}u \\ \Rightarrow {1\over u}du = {-2\over x(1+x^2)}dx = ({-2\over x}+{2x\over 1+x^2})dx \\ \Rightarrow \ln |u|= -2\ln |x|+\ln (1+x^2)+C_1 =\ln{1+x^2\over x^2} +C_1\\ \Rightarrow u= e^{C_1}\cdot {1+x^2\over x^2} =C_2(1+{1\over x^2}) \Rightarrow v= \int C_2(1+{1\over x^2})\;dx = C_2(x-{1\over x})+C_3 \\ \Rightarrow y=vx=C_2(x^2-1)+C_3x;\\ 由題意知y=x為其一解，因此C_3=1 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y= C(x^2-1)+x,C為常數}$$

解：$$y=\int_0^\infty e^{-(t^2+{x^2\over t^2})}\;dt \Rightarrow y(2) = I=\int_0^\infty e^{-(t^2+{4\over t^2})}\;dt = e^{-4}\int_0^\infty e^{-(t -{2\over t})^2}\;dt\\ \Rightarrow e^4I = \int_0^\infty e^{-(t -{2\over t})^2}\;dt \cdots(1)\\ 令u= {2\over t} \Rightarrow \cases{du=-{2\over t^2}dt = -{1\over 2}u^2dt \\ t-{2\over t}={2\over u}-u} \Rightarrow e^4I=-\int_\infty^0  e^{-(u-{2\over u})^2}{2\over u^2}\;du = \int_0^\infty e^{-(u-{2\over u})^2}{2\over u^2}\;du \cdots(2)\\ (1)+(2) \Rightarrow 2e^4I = \int_0^\infty e^{-(u-{2\over u})^2}(1+{2\over u^2})\;du\\ 再令w=u-{2\over u} \Rightarrow dw = (1+{2\over u^2})du \Rightarrow 2e^4I = \int_{-\infty}^\infty e^{-w^2}\;dw = 2\int_0^\infty e^{-w^2}\;dw = \sqrt \pi\\ \Rightarrow y(2)=I = \bbox[red,2pt]{\cfrac{\sqrt \pi}{2e^4}}$$

解：$$ L^{-1}\{{s(s+2) \over s^2+4s+13}\} = L^{-1}\{1-{2s+13 \over s^2+4s+13}\} =L^{-1}\{1-{2(s+2) \over (s+2)^2 +9} -{9 \over (s+2)^2 +9}\} \\ =L^{-1}\{1\} -2L^{-1}\{{s+2\over (s+2)^2+3^2}\} -3L^{-1}\{ {3\over (s+2)^2+3^2}\} \\ =\bbox[red,2pt]{\delta(t)-2e^{-2t}\cos(3t)-3e^{-2t}\sin (3t)}$$

解：$$z=2+2i \Rightarrow \ln(z) = \ln|z| +i(arg(z)+2k\pi) = 2\sqrt 2+i({\pi\over 4}+2k\pi),k\in Z \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{\cases{a=2\sqrt 2\\ b={\pi \over 4}+2k\pi,k\in Z}}$$

解：$$C=C_1 \cup C_2 \Rightarrow \cases{C_1:A(0,1,0)\to B(2,0,1) \Rightarrow (2t,1-t,t), t:0\to 1 \\ C_2:B(2,0,1)\to C(3,2,1) \Rightarrow (2+t,2t,1),t:0\to 1}\\ \Rightarrow \cases{\oint_{C_1} VdR = \int_0^1 (2t(1-t),-4,-t^2)\cdot (2dt,-dt,dt) = \int_0^1 -5t^2+4t+4\;dt={13\over 3}\\ \oint_{C_2}VdR = \int_0^1 ((2+t)2t,-4,2t)\cdot (dt,2dt,0) =\int_0^1 2t^2+4t-8\;dt = -{16\over 3}}\\ \Rightarrow \oint_{C} VdR = \oint_{C_1} VdR +\oint_{C_2} VdR ={13\over 3}-{16\over 3}= \bbox[red,2pt]{-1}$$

解：$$\cases{P_1=(0,0,3)=(t_1^2,t_1^2/2,t_1^2+3) \\ P_2=(1,1/2,4)=(t_2^2,t_2^2/2,t_2^2+3)} \Rightarrow \cases{t_1=0 \\ t_2=1}\\ \cases{x(t)=t^2\\ y(t)={1\over 2}t^2\\ z(t)=t^2+3} \Rightarrow \cases{x'(t)=2t\\ y'(t)=t\\ z'(t)=2t} \Rightarrow 弧長=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2 +z'(t)^2}\;dt =\int_0^1 \sqrt{9t^2}\;dt \\ =\int_0^13t\;dt =\left. \left[ {3\over 2}t^2 \right] \right|_0^1 =\bbox[red,2pt]{3\over 2}$$

解：

(1)$$F(x)=\begin{cases} 0,& x < 0\\ {x\over 4}, & 0\le x \lt 1\\ {3x\over 4}-{1\over 2}, & 1\le x \lt 2 \\ 1, & x\ge 2\end{cases} \Rightarrow P(1/2\le X\le 3/2) = F(3/2)-F(1/2)\\ =({3\over 4}\cdot {3\over 2}-{1\over 2})-{1\over 4} \cdot {1\over 2} ={5\over 8} -{1\over 8} = \bbox[red,2pt]{1\over 2}$$(2)$$F(x)=\begin{cases} 0,& x < 0\\ {x\over 4}, & 0\le x \lt 1\\ {3x\over 4}-{1\over 2}, & 1\le x \lt 2 \\ 1, & x\ge 2\end{cases} \Rightarrow f(x)=\begin{cases} 0,& x < 0\\ {1\over 4}, & 0\le x \lt 1\\ {3\over 4}, & 1\le x \lt 2 \\ 0, & x\ge 2\end{cases}\\ \Rightarrow E(X)=\int xf(x)\;dx = \int_0^1 {1\over 4}x\;dx +\int_1^2 {3\over 4}x\;dx = {1\over 8}+{9\over 8} =\bbox[red,2pt]{5\over 4}$$

解：

(1)$$線性轉換矩陣T，滿足T(x_1,x_2)=[x_2 \;x_1+x_2 \;x_1-x_2] \Rightarrow T=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{bmatrix} }\\ 即T(x_1,x_2)=[x_1 \;x_2]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{bmatrix}= [x_2\quad x_1+x_2\quad x_1-x_2]$$(2)$$輸入的基底為\{\begin{bmatrix}  1\\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}  3\\ 1\end{bmatrix}\}\Rightarrow x_1\begin{bmatrix}  1\\ 2\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}  3\\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}  x_1+3x_2\\ 2x_1+x_2\end{bmatrix}\\ 輸出的基底為\{\begin{bmatrix}  1\\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}  1\\ 1 \\ 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}  1\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}\Rightarrow x_2\begin{bmatrix}  1\\ 0 \\ 0\end{bmatrix}+ (x_1+x_2)\begin{bmatrix}  1\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + (x_1-x_2) \begin{bmatrix}  1\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x_1+x_2\\ 2x_1 \\ x_1-x_2 \end{bmatrix} \\ 因此T(x_1+3x_2,2x_1+x_2) = \begin{bmatrix} 2x_1+x_2\\ 2x_1 \\ x_1-x_2 \end{bmatrix} \Rightarrow T=\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix}  0 &-2/5 &-3/5\\ 1 & 6/5 & 4/5\end{bmatrix}} \\ \Rightarrow [x_1+3x_2\;2x_1+x_2]\begin{bmatrix}  0 &-2/5 &-3/5\\ 1 & 6/5 & 4/5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x_1+x_2\\ 2x_1 \\ x_1-x_2 \end{bmatrix}$$

解：$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1& 0\\ 1 & 1& 1\end{bmatrix} =[u_1\; u_2\; u_3] \Rightarrow  u_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix},u_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix},u_3=\begin{bmatrix} 0 \\ 0  \\ 1  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow v_1=u_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix}\Rightarrow {v_1\over ||v_1||} ={1\over \sqrt 3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix}\\ \Rightarrow v_2= u_2-\langle u_2,{v_1\over ||v_1||}\rangle {v_1\over ||v_1||} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix}- {2\over   3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix} ={1\over 3}\begin{bmatrix} -2 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix} \Rightarrow {v_2\over ||v_2||} ={1\over \sqrt 6}\begin{bmatrix} -2 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow v_3= u_3-\langle u_3,{v_1\over ||v_1||}\rangle {v_1\over ||v_1||} -\langle u_3,{v_2\over ||v_2||}\rangle {v_2\over ||v_2||} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0  \\ 1  \end{bmatrix}-{1\over 3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix}-{1\over 6}\begin{bmatrix} -2 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix} ={1\over 2}\begin{bmatrix} 0 \\ -1  \\ 1  \end{bmatrix} \\ \Rightarrow 正交基底為\{v_1, v_2 ,v_3\} =\{\bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} 1 \\ 1  \\ 1  \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -2/3 \\ 1/3  \\ 1/3  \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ -1/2  \\ 1/2  \end{bmatrix}}\}$$

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考選部未公布答案，答題僅供參考!!