新北市立高級中等學校106學年度教師聯合甄選
一、填充題: 72%,每題 6 分。
解:
54x+21y=906⇒18x+7y=302經過(2,38)⇒該直線可表示成(7t+2,−18t+38)由於{7t+2∈N−18t+38∈N⇒{7t+2≥1−18t+38≥1⇒{t≥−1/7t≤37/18⇒t=2,1,0⇒共3組正整數解
解:
方式組員方式組員a女(3,1,1)b女(1,3,1)男(1,2,2)男(3,0,2)c女(1,1,3)d女(2,2,1)男(3,2,0)男(2,1,2)e女(2,1,2)f女(1,2,2)男(2,2,1)男(3,1,1)由於不分組別,所以方式b與方式c是相同的、方式d與方式e也是相同的;因此只要考慮其它4組情況;方式a:C53×C51C42=300方式b:C51C43×C53=200方式d:C52C32×C52C31=900方式f:C51C42×C53=300共有300+200+900+300=1700種
解:
x6+x5+x4−28x3+x2+x+1=0⇒x3+x2+x−28+1x+1x2+1x3=0⋯(1)令a=x+1x⇒{x2+1x2=a2−2x3+1x3=(x+1x)(x2−1+1x2)=a(a2−2−1)=a3−3a式(1)⇒a3−3a+a2−2+a−28=0⇒a3+a2−2a−30=0⇒(a−3)(a2+4a+10)=0⇒a=3⇒x+1x=3⇒x2−3x+1=0⇒x=3±√52
解:
假設{△ABC邊長為1A(0,0)¯BD與¯FG交點為P⇒{B(1,0)C(12,√32)⇒D=(A+2C)/2=(13,√33)⇒P=(B+D)/2=(23,√36)⇒↔BD斜率=−√32⇒↔FG斜率=2√3⇒↔FG方程式:y=2√3(x−23)+√36⇒↔FG與x軸交於F(512,0)⇒¯AF¯AB=512
解:
令ω=cos2π7+isin2π7⇒{ω2=cos4π7+isin4π7ω3=cos6π7+isin6π7ω4=cos8π7+isin8π7=cos6π7−isin6π7ω5=cos10π7+isin10π7=cos4π7−isin4π7ω6=cos12π7+isin12π7=cos2π7−isin2π7ω7=1⇒{α=ω+ω6=2cos2π7β=ω2+ω5=2cos4π7γ=ω3+ω4=2cos6π7ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+1=0⇒{a=α/2b=β/2c=γ/2⇒{α+β+γ=ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω=−1αβ+βγ+γα=2(ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω)=−2αβγ=ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+2=1⇒α,β,γ為x3+x2−2x−1=0之三根因此a+1a+b+1b+c+1c=a+b+c+ab+bc+caabc=12(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)/4αβγ/8=−12+−1/21/8=−92另解abc=cos2π7cos4π7cos6π7=−cosπ7cos2π7cos4π7=−2sinπ7cosπ7cos2π7cos4π7/(2sinπ7)=−sin2π7cos2π7cos4π7/(2sinπ7)=−2sin2π7cos2π7cos4π7/(4sinπ7)=−sin4π7cos4π7/(4sinπ7)=−2sin4π7cos4π7/(8sinπ7)=−sin8π7/(8sinπ7)=sinπ7/(8sinπ7)=18a+b+c=cos2π7+cos4π7+cos6π7=(2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7+2sinπ7cos6π7)/(2sinπ7)=(sin3π7−sinπ7+sin5π7−sin3π7+sin7π7−sin5π7)/(2sinπ7)=−sinπ7/(2sinπ7)=−12ab+bc+ca=cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7=12(2cos2π7cos4π7+2cos4π7cos6π7+2cos6π7cos2π7)=12(cos2π7+cos6π7+cos2π7+cos10π7+cos4π7+cos8π7)=12(cos2π7−cosπ7+cos2π7+cos4π7+cos4π7−cosπ7)=−cosπ7+cos2π7+cos4π7=(−2sinπ7cosπ7+2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7)/(2sinπ7)=(−sin2π7+sin3π7−sinπ7+sin5π7−sin3π7)/(2sinπ7)=(−sin2π7+sin3π7−sinπ7+sin2π7−sin3π7)/(2sinπ7)=−sinπ7/(2sinπ7)=−12因此a+1a+b+1b+c+1c=a+b+c+ab+bc+caabc=−12+−1/21/8=−92
解:令g(x)=xf(x)−1,則1,2,…,2018為g(x)=0的根⇒g(x)=xf(x)−1=k(x−1)(x−2)⋯(x−2018)⇒g(0)=−1=k⋅2018!⇒k=−12018!因此g(2020)=2020f(2020)−1=k⋅2019⋅2018⋯2=k⋅2019!=−2019⇒f(2020)=−2019+12020=−20182020=−10091010
解:fn(x)=xn+n(n=1,2,3,4)⇒{f1(x)=x+1f2(x)=x2+2f3(x)=x3+3f4(x)=x4+4⇒{f1(1)=2f2(1)=3f3(1)=4f4(1)=5⇒{兩兩相乘之和=2(3+4+5)+3(4+5)+4⋅5=71三三相乘之和=2⋅3(4+5)+2⋅4⋅5+3⋅4⋅5=154四數相乘=2⋅3⋅4⋅5=120⇒總和=71+154+120=345
解:
延長¯BP交¯AC於D,如上圖,並令{∠PAD=θ¯PD=a,則∠PDA=180∘−∠ABD−∠A=60∘⇒∠DPC=30∘⇒¯DC=¯DP=a⇒cos∠PDC=cos120∘=−12=a2+a2−¯CP22a2⇒¯CP=√3a{△ADP:asinθ=¯APsin60∘⇒¯AP=√3a2sinθ⋯(1)△ABP:¯APsin80∘=¯BPsin(40∘−θ)⇒¯AP=sin80∘sin(40∘−θ)¯BP⋯(2)△BCP:√3asin20∘=¯BPsin10∘⇒¯BP=sin10∘sin20∘√3a⋯(3)將(3)代入(2)⇒¯AP=sin80∘sin(40∘−θ)×sin10∘sin20∘√3a=√3a2sinθ⇒sinθ=sin20∘2sin10∘sin80∘sin(40∘−θ)=sin20∘cos70∘−cos90∘sin(40∘−θ)=sin20∘cos70∘sin(40∘−θ)=sin20∘sin20∘sin(40∘−θ)=sin(40∘−θ)⇒sinθ=sin(40∘−θ)⇒θ=20∘⇒∠APC=(180∘−60∘−θ)+30∘=130度
解:
x236+y232=1⇒{a=6b=4√2⇒c=2⇒{F1(−2,0)=AF2(2,0)⇒¯PA+¯PF2=2a=12因此¯PA+¯PB=12−¯PF2+¯PB此值要最大,即P−F2−B在一直線上;因此¯PB−¯PF2=¯BF2⇒最大值為12+¯BF2=12+√62+82=12+10=22
解:
此題相當於用3種顏色著色問題,在一長條形分隔成左右相鄰的12格子,相鄰格子需不同顏色,著色數為3×212−1=3⋅211;但三種顏色都必須用到,因此要扣除只用二種顏色的著色數,即C32×2);
因此本題答案為
3⋅211−C32×2=6144−6=6138
解:P在L:x−1=y=z√2上⇒P(t+1,t,√2t),t∈R⇒{¯PA=√t2+(t−1)2+(√2t)2¯PB=√t2+(t−2)2+(√2t)2⇒{¯PA=√4t2−2t+1=2√(t−14)2+316¯PB=√4t2−4t+4=2√(t−12)2+34⇒¯PA+¯PB=2(√(t−14)2+316+√(t−12)2+34)=2(¯P′A′+¯P′B′),其中{P′(t,0)A′(14,√34)B′(12,√32),P′在x軸上且A′,B′皆在第1象限;因此取A′與x軸的對稱點A″(14,−√34),則¯P′A′+¯P′B′的最小值等於¯A″B′=√(14)2+(3√34)2=√72⇒¯PA+¯PB的最小值=2×√72=√7
解:
依題意,上圖A、B、C、D為交點,其它是端點;紅色線才是「
相鄰交點所連成的線段」,其它線段並不符合要求;
兩條直線相交於一點,會產生4條線段;
三條直線相交於一點,會產生6條線段;
因此k個兩線交點及m-k個三線交點,會產生4k+6(m−k)條線段,但並非均符合「相鄰交點所連成的線段」;
有相交的n條直線一定至少產生2n條線段,因此
[(4k+6(m−k)−2n]÷2=3m−k−n才是符合要求的線段數量。
二、計算證明題
略(未公布答案)
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解題僅供參考
你好:請問第2題,方式a是不是少乘C(2,1),方式f也是不是少乘C(2,1)呢?謝謝
回覆刪除因為不分組別, 所以不用再乘2
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