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2020年12月18日 星期五

106年新北市高中教甄聯招-數學詳解

 新北市立高級中等學校106學年度教師聯合甄選

一、填充題: 72%,每題 6 分。

54x+21y=90618x+7y=302(2,38)(7t+2,18t+38){7t+2N18t+38N{7t+2118t+381{t1/7t37/18t=2,1,03



a(3,1,1)b(1,3,1)(1,2,2)(3,0,2)c(1,1,3)d(2,2,1)(3,2,0)(2,1,2)e(2,1,2)f(1,2,2)(2,2,1)(3,1,1)bcde4a:C53×C51C42=300b:C51C43×C53=200d:C52C32×C52C31=900f:C51C42×C53=300300+200+900+300=1700



x6+x5+x428x3+x2+x+1=0x3+x2+x28+1x+1x2+1x3=0(1)a=x+1x{x2+1x2=a22x3+1x3=(x+1x)(x21+1x2)=a(a221)=a33a(1)a33a+a22+a28=0a3+a22a30=0(a3)(a2+4a+10)=0a=3x+1x=3x23x+1=0x=3±52






{ABC1A(0,0)¯BD¯FGP{B(1,0)C(12,32)D=(A+2C)/2=(13,33)P=(B+D)/2=(23,36)BD=32FG=23FG:y=23(x23)+36FGxF(512,0)¯AF¯AB=512

ω=cos2π7+isin2π7{ω2=cos4π7+isin4π7ω3=cos6π7+isin6π7ω4=cos8π7+isin8π7=cos6π7isin6π7ω5=cos10π7+isin10π7=cos4π7isin4π7ω6=cos12π7+isin12π7=cos2π7isin2π7ω7=1{α=ω+ω6=2cos2π7β=ω2+ω5=2cos4π7γ=ω3+ω4=2cos6π7ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+1=0{a=α/2b=β/2c=γ/2{α+β+γ=ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω=1αβ+βγ+γα=2(ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω)=2αβγ=ω6+ω5+ω4+ω3+ω2+ω+2=1α,β,γx3+x22x1=0a+1a+b+1b+c+1c=a+b+c+ab+bc+caabc=12(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)/4αβγ/8=12+1/21/8=92另解abc=cos2π7cos4π7cos6π7=cosπ7cos2π7cos4π7=2sinπ7cosπ7cos2π7cos4π7/(2sinπ7)=sin2π7cos2π7cos4π7/(2sinπ7)=2sin2π7cos2π7cos4π7/(4sinπ7)=sin4π7cos4π7/(4sinπ7)=2sin4π7cos4π7/(8sinπ7)=sin8π7/(8sinπ7)=sinπ7/(8sinπ7)=18a+b+c=cos2π7+cos4π7+cos6π7=(2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7+2sinπ7cos6π7)/(2sinπ7)=(sin3π7sinπ7+sin5π7sin3π7+sin7π7sin5π7)/(2sinπ7)=sinπ7/(2sinπ7)=12ab+bc+ca=cos2π7cos4π7+cos4π7cos6π7+cos6π7cos2π7=12(2cos2π7cos4π7+2cos4π7cos6π7+2cos6π7cos2π7)=12(cos2π7+cos6π7+cos2π7+cos10π7+cos4π7+cos8π7)=12(cos2π7cosπ7+cos2π7+cos4π7+cos4π7cosπ7)=cosπ7+cos2π7+cos4π7=(2sinπ7cosπ7+2sinπ7cos2π7+2sinπ7cos4π7)/(2sinπ7)=(sin2π7+sin3π7sinπ7+sin5π7sin3π7)/(2sinπ7)=(sin2π7+sin3π7sinπ7+sin2π7sin3π7)/(2sinπ7)=sinπ7/(2sinπ7)=12a+1a+b+1b+c+1c=a+b+c+ab+bc+caabc=12+1/21/8=92


g(x)=xf(x)11,2,,2018g(x)=0g(x)=xf(x)1=k(x1)(x2)(x2018)g(0)=1=k2018!k=12018!g(2020)=2020f(2020)1=k201920182=k2019!=2019f(2020)=2019+12020=20182020=10091010

fn(x)=xn+n(n=1,2,3,4){f1(x)=x+1f2(x)=x2+2f3(x)=x3+3f4(x)=x4+4{f1(1)=2f2(1)=3f3(1)=4f4(1)=5{=2(3+4+5)+3(4+5)+45=71=23(4+5)+245+345=154=2345=120=71+154+120=345


¯BP¯ACD{PAD=θ¯PD=aPDA=180ABDA=60DPC=30¯DC=¯DP=acosPDC=cos120=12=a2+a2¯CP22a2¯CP=3a{ADP:asinθ=¯APsin60¯AP=3a2sinθ(1)ABP:¯APsin80=¯BPsin(40θ)¯AP=sin80sin(40θ)¯BP(2)BCP:3asin20=¯BPsin10¯BP=sin10sin203a(3)(3)(2)¯AP=sin80sin(40θ)×sin10sin203a=3a2sinθsinθ=sin202sin10sin80sin(40θ)=sin20cos70cos90sin(40θ)=sin20cos70sin(40θ)=sin20sin20sin(40θ)=sin(40θ)sinθ=sin(40θ)θ=20APC=(18060θ)+30=130




x236+y232=1{a=6b=42c=2{F1(2,0)=AF2(2,0)¯PA+¯PF2=2a=12¯PA+¯PB=12¯PF2+¯PBPF2B¯PB¯PF2=¯BF212+¯BF2=12+62+82=12+10=22



此題相當於用3種顏色著色問題,在一長條形分隔成左右相鄰的12格子,相鄰格子需不同顏色,著色數為3×2121=3211;但三種顏色都必須用到,因此要扣除只用二種顏色的著色數,即C32×2)
因此本題答案為3211C32×2=61446=6138



PL:x1=y=z2P(t+1,t,2t),tR{¯PA=t2+(t1)2+(2t)2¯PB=t2+(t2)2+(2t)2{¯PA=4t22t+1=2(t14)2+316¯PB=4t24t+4=2(t12)2+34¯PA+¯PB=2((t14)2+316+(t12)2+34)=2(¯PA+¯PB),{P(t,0)A(14,34)B(12,32)PxA,B1AxA(14,34)¯PA+¯PB¯AB=(14)2+(334)2=72¯PA+¯PB=2×72=7




依題意,上圖A、B、C、D為交點,其它是端點;紅色線才是「相鄰交點所連成的線段」,其它線段並不符合要求;
兩條直線相交於一點,會產生4條線段;
三條直線相交於一點,會產生6條線段;
因此k個兩線交點及m-k個三線交點,會產生4k+6(mk)條線段,但並非均符合「相鄰交點所連成的線段」;
有相交的n條直線一定至少產生2n條線段,因此[(4k+6(mk)2n]÷2=3mkn才是符合要求的線段數量。

二、計算證明題
略(未公布答案)

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解題僅供參考




2 則留言:

  1. 你好:請問第2題,方式a是不是少乘C(2,1),方式f也是不是少乘C(2,1)呢?謝謝

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