109專技高考電機工程技師-工程數學詳解

109年專門職業及技術人員高等考試

等 別：高等考試

類 科：電機工程技師

科 目：工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）

解：$$先求齊次解，即y''-10y'+25y=0 \Rightarrow \lambda^2-10\lambda+15=0 \Rightarrow (\lambda-5)^2=0 \\ \Rightarrow \lambda=5(二重根) \Rightarrow y_h= C_1e^{5x}+C_2xe^{5x};\\ 再求特定解，令y_p=ax+b \Rightarrow y_p'=a \Rightarrow y_p''=0 \Rightarrow -10a+25(ax+b)=75x + 20 \\ \Rightarrow \cases{a=3\\ b=2} \Rightarrow y_p=3x+2 \Rightarrow y=y_h+y_p \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y= C_1e^{5x}+C_2xe^{5x}+3x+2},其中C_1,C_2為常數。$$

解：$$\iint_Rxe^{y^2}\;dA = \int_0^4 \int_0^\sqrt y xe^{y^2}\;dxdy = \int_0^4 {1\over 2}ye^{y^2}\;dy = \left.{1\over 4}e^{y^2} \right|_0^4 = \bbox[red,2pt]{{1\over 4}(e^{16}-1)}$$

解：

此題相當於求著色區域占矩形面積的比率，即$$P[X\gt Y]=\cfrac{梯形OACD}{矩形OACB}=\cfrac{(5+2)3\div 2}{5\times 3} =\cfrac{21/2}{15}=\bbox[red,2pt]{21\over 30}$$

解：$$f(x)={x\over \pi} \Rightarrow f(-x)= -{x\over \pi} =-f(x) \Rightarrow f(x)為奇函數\Rightarrow a_n=0, \text{for } n\ge 0;\\ b_n= {1\over \pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\;dx = {1\over \pi}\int_{-\pi}^\pi {x\over \pi}\sin(nx)\;dx = {1\over \pi^2}\left. \left[ {1\over n^2}\sin (nx)-{1\over n}x\cos (nx)\right] \right|_{-\pi}^\pi \\ ={1\over \pi^2}(-{1\over n}\pi(-1)^n-{1\over n}\pi (-1)^n) ={2\over n\pi}(-1)^{n+1}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f(x) = \sum_{n=1}^\infty {2\over n\pi}(-1)^{n+1}\sin(nx)}$$

解：$$A=\begin{bmatrix} -7 & 2 & 3\\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2\end{bmatrix} \Rightarrow \det(A)=-28-78+112+48-52+98 =100\\ \Rightarrow A^{-1}=\cfrac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} -2& 7 \\ 2 & -2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2& 3 \\ 2 & -2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2& 3 \\ -2 & 7\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} -13& 7 \\ 8 & -2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -7& 3 \\ 8 & -2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -7& 3 \\ -13 & 7\end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} -13& -2 \\ 8 & 2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} -7& 2 \\ 8 & 2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -7& 2 \\ -13 & -2\end{vmatrix}\end{bmatrix} \\={1\over 100}\begin{bmatrix} -10 & 10 & 20\\ 30 & -10 & 10 \\ -10 & 30 & 40\end{bmatrix} = \bbox[red,2pt]{\begin{bmatrix} -1/10 & 1/10 & 1/5\\ 3/10 & -1/10 & 1/10 \\ -1/10 & 3/10 & 2/5\end{bmatrix} }$$