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2020年12月8日 星期二
圓柱體被平面截出的體積
圓柱體底面圓半徑為R,平面E過底面圓直徑且與底面夾角為θ,求圓柱體被平面E截出的體積為何?
解
:
上圖綠色體積即為下圖的綠色體積。
底面圓方程式為
x
2
+
y
2
=
R
2
,所求體積由許多直角三角形所累積而成,如上圖的紅色三角形;該三角形與底面圓的交點坐標為
(
x
,
y
)
,則三角形的底長為
y
,高為
y
tan
θ
,因此三角形面積為
1
2
y
2
tan
θ
=
1
2
(
R
2
−
x
2
)
tan
θ
,所求體積為
∫
R
−
R
1
2
(
R
2
−
x
2
)
tan
θ
d
x
=
2
3
R
3
tan
θ
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