正弦連乘積公式
證明:
cosθ+isinθ=eiθ⇒sinθ=eiθ−e−iθ2i⇒sinkπn=eikπn−e−ikπn2i=e−ikπn2i(ei2kπn−1)⇒sinπn⋅sin2πn⋯sin(n−1)πn=e−iπn(1+2+⋯+(n−1))(2i)n−1(ei2πn−1)(ei4πn−1)⋯(ei2(n−1)πn−1)=e−iπ(n−1)2(2i)n−1(ei2πn−1)(ei4πn−1)⋯(ei2(n−1)πn−1)=(2i)1−ne−iπ(n−1)2(ω−1)(ω2−1)⋯(ωn−1−1),其中ω=ei2πn=21−n⋅eiπ2(1−n)⋅e−iπ(n−1)2(ω−1)(ω2−1)⋯(ωn−1−1)(∵
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