109年特種考試地方政府公務人員考試試題
等 別:三等考試類 科:電力工程、電子工程
科 目:工程數學
甲、申論題部分:(50%)
解:
(一)eiz=cosz+isinz⇒cosz=12(eiz+e−iz)令ω=eiz,則cosz=√2⇒12(ω+1ω)=√2⇒ω2−2√2ω+1=0⇒ω=√2±1⇒eiz=√2±1⇒iz=ln(√2±1)⇒z=−iln(√2±1)⇒z=−iln(√2±1)+2nπ,n∈Z(二)f(z)=z3+z2+4z4+4z2=z3+z2+4z2(z+2i)(z−2i)⇒{z=0,±2i皆在圓內z=0為二階極點z=±2i皆為一階極點⇒{Res(f,0)=ddz(z2f(z))|z=0=ddz(z3+z2+4z2+4)|z=0=3z2+2zz2+4−2z(z3+z2+4)(z2+4)2|z=0=14Res(f,2i)=(z−2i)f(z)|z=2i=z3+z2+4z2(z+2i)|z=2i=12Res(f,−2i)=(z+2i)f(z)|z=−2i=z3+z2+4z2(z−2i)|z=−2i=12⇒∮Cf(z)dz=2πi(Res(f,0)+Res(f,2i)+Res(f,−2i))=2πi×54=52πi
解:
解:(一)y′(t)+5y(t)=5x(t)=3e−2tu(t)⇒L{y′}+5L{y}=3L{e−2tu(t)}⇒sY(s)−y(0)+5Y(s)=3s+2⇒Y(s)=1s+2−3s+3⇒L−1{Y(s)}=L−1{1s+2}−3L−1{1s+3}⇒y(t)=e−2t−3e−3t(二)initial value x(0)=lims→∞sX(s)=lims→∞e−2s2s2+1(s+2)2=0final value x(∞)=lims→0sX(s)=lims→0e−2s2s2+1(s+2)2=14⇒{x(t)的初值為0x(t)的終值為1/4
解:
(一)(a)Ax=b,定義A′=(A|b)=(12313321462610361111k)−r4+r1,−3r4+r2,−2r4+r3→(01203−k0−1−216−3k04816−2k1111k)r1+r2,−4r1+r3→(01203−k00019−4k0001−6+2k1111k)⇒9−4k=−6+2k⇒k=52(一)(b)
由(a)可知 rank(A)≠4⇒det(A)=0
(二){dx1dt=2x1−2x2+3x3dx2dt=x1+x2+x3dx3dt=x1+3x2−x3⇒[x′1x′2x′3]=[2−2311113−1][x1x2x3]令A=[2−2311113−1],det(A−λI)=0⇒|2−λ−2311−λ113−1−λ|=0⇒−(λ−1)(λ+2)(λ−3)=0⇒λ=1,−2,3λ=1⇒特徵向量u1=[−111],λ=−2⇒特徵向量u2=[111−14],λ=3⇒特徵向量u3=[111]⇒[x1x2x3]=C1[−111]ex+C2[111−14]e−2x+C3[111]e3x將初始值{x1(0)=1x2(0)=0x3(0)=1/2帶入上式⇒{1=−C1+11C2+C30=C1+C2+C31/2=C1−14C2+C3⇒{C1=−2/3C2=−1/30C3=7/10⇒{x1=23ex−1130e−2x+710e3xx2=−23ex−130e−2x+710e3xx3=−23ex+1430e−2x+710e3x
乙、測驗題部分:(50%)
解:det(A−λI)=0⇒|1−λ020−λ0204−λ|=0⇒−λ(λ−4)(λ−1)+4λ=0⇒−λ(λ2−5λ+4−4)=0⇒−λ2(λ−5)=0⇒λ=0,0,5⇒D=(λ1000λ2000λ3)=(000000005)⇒故選(A)
解:{det(A)=6det(B)=2⇒det(AB−1)=det(A)⋅det(B−1)=det(A)det(B)=62=3,故選(C)
解:(A)◯:∇⋅r=(∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk)⋅(xi+yj+zk)=∂∂xx+∂∂yy+∂∂zz=1+1+1=3(B)◯:{r=(xi+yj+zk)a=(c1i+c2j+c3k)⇒a×r=((c2z−c3y)i+(c3x−c1z)j+(c1y−c2x)k)⇒∇⋅(a×r)=∂∂x(c2z−c3y)+∂∂y(c3x−c1z)+∂∂z(c1y−c2x)=0+0+0=0(C)◯:∇×r=((∂∂yz−∂∂zy)i,(∂∂zx−∂∂xz)j,(∂∂xy−∂∂yx)k)=0(D)×:∇×(a×r)=∇×((c2z−c3y)i+(c3x−c1z)j+(c1y−c2x)k)=(c1−c1)i+(c2−c2)j+(c3−c3)k=0≠a故選(D)
解:∫(2,4)(1,1)2xydx+x2dy=[x2y]|(2,4)(1,1)=16−1=15,故選(B)
解:A=(100−1)⇒At=(t00−t)⇒eAt=(et00e−t),故選(C)
解:
解:令{M(x,y)=x+yN(x,y)=xln(x)(A)×:{∂∂yxM=∂∂y(x2+xy)=x∂∂xxN=∂∂x(x2ln(x))=2xln(x)+x⇒∂∂yxM≠∂∂xxN(B)×:{∂∂y3M=∂∂y(3x+3y)=3∂∂x3N=∂∂x(3xln(x))=3ln(x)+3⇒∂∂y3M≠∂∂x3N(C)◯:{∂∂y1xM=∂∂y(1+yx)=1x∂∂x1xN=∂∂xln(x)=1x⇒∂∂y1xM=∂∂x1xN(D)×:{∂∂y1x2M=∂∂y(1x+yx2)=1x2∂∂x1x2N=∂∂xln(x)x=−ln(x)x2+1x2⇒∂∂y1x2M≠∂∂x1x2N,故選(C)
解:y″−6y′+9y=t2e3t⇒L{y″}−6L{y′}+9L{y}=L{t2e3t}⇒s2Y(s)−sy(0)−y′(0)−6(sY(s)−y(0))+9Y(s)=2!(s−3)3⇒s2Y(s)−2s−6−6sY(s)+12+9Y(s)=2(s−3)3⇒Y(s)=2(s−3)5+2s−3=2(s−3)4+2(s−3)5=2(s−c)d+2(s−a)b⇒{a=3b=5c=3d=4⇒{a+b+c+d=15a+b+c−d=7a−b−c+d=−1−a+b−c+d=3≠−3,故選(D)
解:f(x)=x3⇒f(x)為奇函數⇒a0=0,an=0,故選(A)
解:y=c1ex+c2e−2x+c3xe−2x⇒1,−2,−2為λ2+aλ2+bλ+c=0之三根為⇒{a=−(1−2−2)=3b=1⋅(−2)+(−2)⋅(−2)+(−2)⋅1=0c=−1⋅(−2)⋅(−2)=−4⇒a+b+c=−1,故選(D)
解:f(t)=cost+∫t0e−τf(t−τ)dτ⇒L{f(t)}=L{cost}+L{∫t0e−τf(t−τ)dτ}⇒F(s)=ss2+1+F(s)s+1⇒F(s)=s+1s2+1=ss2+1+1s2+1⇒L−1{F(s)}=L−1{ss2+1}+L−1{1s2+1}⇒f(t)=cost+sint,故選(D)
解:f為機率密度函數⇒∫∞−∞f(x)dx=1⇒∫10kx2dx=1⇒[13kx3]|10=1⇒13k=1⇒k=3⇒{EX=∫10xf(x)dx=∫103x3dx=34EX2=∫10x2f(x)dx=∫103x4dx=35⇒σ2=EX2−(EX)2=35−916=380,故選(D)
解:∬fdxdy=1⇒∫10∫10kxydxdy=1⇒∫1012kydy=1⇒14k=1⇒k=4;因此P(X>0.25,Y>0.5)=∫10.25∫10.54xydydx=∫10.2532xdx=4564,故選(C)
解:z0=π不在圓周|z|=3內,而z0=π/2則在圓周|z|=3內,因此∮C(coshz(z−π)3−sin2z(2z−π)3)dz=∮C(−sin2z(2z−π)3)dz=∮C(−sin2z8(z−π/2)3)dz=∮Cf(z)(z−π/2)3dz,其中f(z)=−18sin2z⇒f′(z)=−14sinzcosz=−18sin(2z)⇒f″(z)=−14cos(2z)⇒f″(π/2)=−14cosπ=14⇒∮Cf(z)(z−π/2)3dz=(2πi)×12!×f″(π/2)=πi4,故選(A)
解:z(z+1)(z2+1)=z(z+1)(z+i)(z−i)=f(z)z−i=g(z)z+i,其中{f(z)=z(z+1)(z+i)g(z)=z(z+1)(z−i)−1不再橢圓內,而±i在橢圓內,因此∮Cz(z+1)(z2+1)dz=2πi(f(i)+g(−i))=2πi(i(1+i)(2i)+−i(1−i)(−2i))=2πi(1−i4+1+i4)=πi,故選(C)
解:z0=1+i√2=cosπ4+isinπ4=eiπ4⇒{z20=iz40=−1z80=1⇒f(z0)=z240−3z200+4z120−5z60=(z80)3−3(z40)5+4(z40)3−5z40⋅z20=1+3−4+5i=5i,故選(A)
解:∮Γcos(z)zdz=∮Γf(z)zdz=2πi×f(0)=2πi×1=2πi,故選(D)
解:封閉路徑之線積分為0,故選(C)
解:{x=t2y=−tz=t2⇒{dx=2tdtdy=−dtdz=2tdt⇒∫Cx2dx−yzdy+ezdz=∫10t4(2tdt)−(−t3)(−dt)+et2(2tdt)=∫102t5−t3+2tet2dt=[13t6−14t4+et2]|10=(112+e)−1=e−1112,故選(C)
解:det(A−λI)=0⇒|1−λ020−λ0204−λ|=0⇒−λ(λ−4)(λ−1)+4λ=0⇒−λ(λ2−5λ+4−4)=0⇒−λ2(λ−5)=0⇒λ=0,0,5⇒D=(λ1000λ2000λ3)=(000000005)⇒故選(A)
解:{det(A)=6det(B)=2⇒det(AB−1)=det(A)⋅det(B−1)=det(A)det(B)=62=3,故選(C)
解:(A)◯:∇⋅r=(∂∂xi+∂∂yj+∂∂zk)⋅(xi+yj+zk)=∂∂xx+∂∂yy+∂∂zz=1+1+1=3(B)◯:{r=(xi+yj+zk)a=(c1i+c2j+c3k)⇒a×r=((c2z−c3y)i+(c3x−c1z)j+(c1y−c2x)k)⇒∇⋅(a×r)=∂∂x(c2z−c3y)+∂∂y(c3x−c1z)+∂∂z(c1y−c2x)=0+0+0=0(C)◯:∇×r=((∂∂yz−∂∂zy)i,(∂∂zx−∂∂xz)j,(∂∂xy−∂∂yx)k)=0(D)×:∇×(a×r)=∇×((c2z−c3y)i+(c3x−c1z)j+(c1y−c2x)k)=(c1−c1)i+(c2−c2)j+(c3−c3)k=0≠a故選(D)
解:∫(2,4)(1,1)2xydx+x2dy=[x2y]|(2,4)(1,1)=16−1=15,故選(B)
解:A=(100−1)⇒At=(t00−t)⇒eAt=(et00e−t),故選(C)
解:
只有(B)的rank是2,其它都是1,故選(B)
解:令{M(x,y)=x+yN(x,y)=xln(x)(A)×:{∂∂yxM=∂∂y(x2+xy)=x∂∂xxN=∂∂x(x2ln(x))=2xln(x)+x⇒∂∂yxM≠∂∂xxN(B)×:{∂∂y3M=∂∂y(3x+3y)=3∂∂x3N=∂∂x(3xln(x))=3ln(x)+3⇒∂∂y3M≠∂∂x3N(C)◯:{∂∂y1xM=∂∂y(1+yx)=1x∂∂x1xN=∂∂xln(x)=1x⇒∂∂y1xM=∂∂x1xN(D)×:{∂∂y1x2M=∂∂y(1x+yx2)=1x2∂∂x1x2N=∂∂xln(x)x=−ln(x)x2+1x2⇒∂∂y1x2M≠∂∂x1x2N,故選(C)
解:y″−6y′+9y=t2e3t⇒L{y″}−6L{y′}+9L{y}=L{t2e3t}⇒s2Y(s)−sy(0)−y′(0)−6(sY(s)−y(0))+9Y(s)=2!(s−3)3⇒s2Y(s)−2s−6−6sY(s)+12+9Y(s)=2(s−3)3⇒Y(s)=2(s−3)5+2s−3=2(s−3)4+2(s−3)5=2(s−c)d+2(s−a)b⇒{a=3b=5c=3d=4⇒{a+b+c+d=15a+b+c−d=7a−b−c+d=−1−a+b−c+d=3≠−3,故選(D)
解:f(x)=x3⇒f(x)為奇函數⇒a0=0,an=0,故選(A)
解:y=c1ex+c2e−2x+c3xe−2x⇒1,−2,−2為λ2+aλ2+bλ+c=0之三根為⇒{a=−(1−2−2)=3b=1⋅(−2)+(−2)⋅(−2)+(−2)⋅1=0c=−1⋅(−2)⋅(−2)=−4⇒a+b+c=−1,故選(D)
解:f(t)=cost+∫t0e−τf(t−τ)dτ⇒L{f(t)}=L{cost}+L{∫t0e−τf(t−τ)dτ}⇒F(s)=ss2+1+F(s)s+1⇒F(s)=s+1s2+1=ss2+1+1s2+1⇒L−1{F(s)}=L−1{ss2+1}+L−1{1s2+1}⇒f(t)=cost+sint,故選(D)
解:f為機率密度函數⇒∫∞−∞f(x)dx=1⇒∫10kx2dx=1⇒[13kx3]|10=1⇒13k=1⇒k=3⇒{EX=∫10xf(x)dx=∫103x3dx=34EX2=∫10x2f(x)dx=∫103x4dx=35⇒σ2=EX2−(EX)2=35−916=380,故選(D)
解:∬fdxdy=1⇒∫10∫10kxydxdy=1⇒∫1012kydy=1⇒14k=1⇒k=4;因此P(X>0.25,Y>0.5)=∫10.25∫10.54xydydx=∫10.2532xdx=4564,故選(C)
解:z0=π不在圓周|z|=3內,而z0=π/2則在圓周|z|=3內,因此∮C(coshz(z−π)3−sin2z(2z−π)3)dz=∮C(−sin2z(2z−π)3)dz=∮C(−sin2z8(z−π/2)3)dz=∮Cf(z)(z−π/2)3dz,其中f(z)=−18sin2z⇒f′(z)=−14sinzcosz=−18sin(2z)⇒f″(z)=−14cos(2z)⇒f″(π/2)=−14cosπ=14⇒∮Cf(z)(z−π/2)3dz=(2πi)×12!×f″(π/2)=πi4,故選(A)
解:z(z+1)(z2+1)=z(z+1)(z+i)(z−i)=f(z)z−i=g(z)z+i,其中{f(z)=z(z+1)(z+i)g(z)=z(z+1)(z−i)−1不再橢圓內,而±i在橢圓內,因此∮Cz(z+1)(z2+1)dz=2πi(f(i)+g(−i))=2πi(i(1+i)(2i)+−i(1−i)(−2i))=2πi(1−i4+1+i4)=πi,故選(C)
解:z0=1+i√2=cosπ4+isinπ4=eiπ4⇒{z20=iz40=−1z80=1⇒f(z0)=z240−3z200+4z120−5z60=(z80)3−3(z40)5+4(z40)3−5z40⋅z20=1+3−4+5i=5i,故選(A)
解:∮Γcos(z)zdz=∮Γf(z)zdz=2πi×f(0)=2πi×1=2πi,故選(D)
解:封閉路徑之線積分為0,故選(C)
解:{pX(1)=0+1/4=1/4pX(0)=1/4+1/4=1/2pX(−1)=1/4+0=1/4⇒E(X)=1⋅14+0⋅12+(−1)⋅14=0{pY(1)=0+1/4+1/4=1/2PY(−1)=1/4+1/4+0=1/2⇒E(Y)=1⋅12−1⋅12=0E(XY)=∑xyp(x,y)=1⋅1⋅p(1,1)+1⋅(−1)⋅p(1,−1)+(−1)⋅1⋅p(−1,1)+(−1)⋅(−1)⋅p(−1,−1)=0−1/4−1/4+0=−1/2因此COV(X,Y)=E(XY)−EXEY=−1/2−0=−1/2,故選(B)
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申請論未公布答案,解題僅供參考
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回覆刪除有過程可以分享嗎? 謝謝!
刪除不好意思,請問第二題的第二小題是否寫錯了?
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