Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

2020年12月23日 星期三

109年地方特考-工程數學詳解

109年特種考試地方政府公務人員考試試題

等 別:三等考試
類 科:電力工程、電子工程
科 目:工程數學

甲、申論題部分:(50%)
:R=x2+y2{Rx=xx2+y2Ry=yx2+y2;Θ=tan1yx{Θx=yx2+y2Θy=xx2+y2J=|RxRyΘxΘy|=|xx2+y2yx2+y2yx2+y2xx2+y2|=x2+y2(x2+y2)3/2=1x2+y2=1Rf(R,Θ)=12πσ2exp[R22σ2]×RfR(r)=2π0r2πσ2exp[r22σ2]dθ=rσ2exp[r22σ2]fR(r)=rσ2exp[r22σ2],0r<
:
(一)eiz=cosz+isinzcosz=12(eiz+eiz)ω=eiz,cosz=212(ω+1ω)=2ω222ω+1=0ω=2±1eiz=2±1iz=ln(2±1)z=iln(2±1)z=iln(2±1)+2nπ,nZ(二)f(z)=z3+z2+4z4+4z2=z3+z2+4z2(z+2i)(z2i){z=0,±2iz=0z=±2i{Res(f,0)=ddz(z2f(z))|z=0=ddz(z3+z2+4z2+4)|z=0=3z2+2zz2+42z(z3+z2+4)(z2+4)2|z=0=14Res(f,2i)=(z2i)f(z)|z=2i=z3+z2+4z2(z+2i)|z=2i=12Res(f,2i)=(z+2i)f(z)|z=2i=z3+z2+4z2(z2i)|z=2i=12Cf(z)dz=2πi(Res(f,0)+Res(f,2i)+Res(f,2i))=2πi×54=52πi
:(一)y(t)+5y(t)=5x(t)=3e2tu(t)L{y}+5L{y}=3L{e2tu(t)}sY(s)y(0)+5Y(s)=3s+2Y(s)=1s+23s+3L1{Y(s)}=L1{1s+2}3L1{1s+3}y(t)=e2t3e3t(二)initial value x(0)=limssX(s)=limse2s2s2+1(s+2)2=0final value x()=lims0sX(s)=lims0e2s2s2+1(s+2)2=14{x(t)0x(t)1/4

:
(一)(a)Ax=bA=(A|b)=(12313321462610361111k)r4+r1,3r4+r2,2r4+r3(01203k012163k048162k1111k)r1+r2,4r1+r3(01203k000194k00016+2k1111k)94k=6+2kk=52(一)(b)
    由(a)可知 rank(A)4det(A)=0
(二){dx1dt=2x12x2+3x3dx2dt=x1+x2+x3dx3dt=x1+3x2x3[x1x2x3]=[223111131][x1x2x3]A=[223111131],det(AλI)=0|2λ2311λ1131λ|=0(λ1)(λ+2)(λ3)=0λ=1,2,3λ=1u1=[111],λ=2u2=[11114],λ=3u3=[111][x1x2x3]=C1[111]ex+C2[11114]e2x+C3[111]e3x{x1(0)=1x2(0)=0x3(0)=1/2{1=C1+11C2+C30=C1+C2+C31/2=C114C2+C3{C1=2/3C2=1/30C3=7/10{x1=23ex1130e2x+710e3xx2=23ex130e2x+710e3xx3=23ex+1430e2x+710e3x
乙、測驗題部分:(50%)
:det(AλI)=0|1λ020λ0204λ|=0λ(λ4)(λ1)+4λ=0λ(λ25λ+44)=0λ2(λ5)=0λ=0,0,5D=(λ1000λ2000λ3)=(000000005)(A)
:{det(A)=6det(B)=2det(AB1)=det(A)det(B1)=det(A)det(B)=62=3(C)
:(A):r=(xi+yj+zk)(xi+yj+zk)=xx+yy+zz=1+1+1=3(B):{r=(xi+yj+zk)a=(c1i+c2j+c3k)a×r=((c2zc3y)i+(c3xc1z)j+(c1yc2x)k)(a×r)=x(c2zc3y)+y(c3xc1z)+z(c1yc2x)=0+0+0=0(C):×r=((yzzy)i,(zxxz)j,(xyyx)k)=0(D)×:×(a×r)=×((c2zc3y)i+(c3xc1z)j+(c1yc2x)k)=(c1c1)i+(c2c2)j+(c3c3)k=0a(D)
:(2,4)(1,1)2xydx+x2dy=[x2y]|(2,4)(1,1)=161=15(B)
:A=(1001)At=(t00t)eAt=(et00et)(C)
:
只有(B)的rank是2,其它都是1,故選(B)

:{M(x,y)=x+yN(x,y)=xln(x)(A)×:{yxM=y(x2+xy)=xxxN=x(x2ln(x))=2xln(x)+xyxMxxN(B)×:{y3M=y(3x+3y)=3x3N=x(3xln(x))=3ln(x)+3y3Mx3N(C):{y1xM=y(1+yx)=1xx1xN=xln(x)=1xy1xM=x1xN(D)×:{y1x2M=y(1x+yx2)=1x2x1x2N=xln(x)x=ln(x)x2+1x2y1x2Mx1x2N(C)
:y6y+9y=t2e3tL{y}6L{y}+9L{y}=L{t2e3t}s2Y(s)sy(0)y(0)6(sY(s)y(0))+9Y(s)=2!(s3)3s2Y(s)2s66sY(s)+12+9Y(s)=2(s3)3Y(s)=2(s3)5+2s3=2(s3)4+2(s3)5=2(sc)d+2(sa)b{a=3b=5c=3d=4{a+b+c+d=15a+b+cd=7abc+d=1a+bc+d=33(D)
:f(x)=x3f(x)a0=0,an=0(A)
:y=c1ex+c2e2x+c3xe2x1,2,2λ2+aλ2+bλ+c=0{a=(122)=3b=1(2)+(2)(2)+(2)1=0c=1(2)(2)=4a+b+c=1(D)
:f(t)=cost+t0eτf(tτ)dτL{f(t)}=L{cost}+L{t0eτf(tτ)dτ}F(s)=ss2+1+F(s)s+1F(s)=s+1s2+1=ss2+1+1s2+1L1{F(s)}=L1{ss2+1}+L1{1s2+1}f(t)=cost+sint(D)
:ff(x)dx=110kx2dx=1[13kx3]|10=113k=1k=3{EX=10xf(x)dx=103x3dx=34EX2=10x2f(x)dx=103x4dx=35σ2=EX2(EX)2=35916=380(D)
:fdxdy=11010kxydxdy=11012kydy=114k=1k=4;P(X>0.25,Y>0.5)=10.2510.54xydydx=10.2532xdx=4564(C)
:z0=π|z|=3z0=π/2|z|=3C(coshz(zπ)3sin2z(2zπ)3)dz=C(sin2z(2zπ)3)dz=C(sin2z8(zπ/2)3)dz=Cf(z)(zπ/2)3dzf(z)=18sin2zf(z)=14sinzcosz=18sin(2z)f(z)=14cos(2z)f(π/2)=14cosπ=14Cf(z)(zπ/2)3dz=(2πi)×12!×f(π/2)=πi4(A)
:z(z+1)(z2+1)=z(z+1)(z+i)(zi)=f(z)zi=g(z)z+i,{f(z)=z(z+1)(z+i)g(z)=z(z+1)(zi)1±iCz(z+1)(z2+1)dz=2πi(f(i)+g(i))=2πi(i(1+i)(2i)+i(1i)(2i))=2πi(1i4+1+i4)=πi(C)
:z0=1+i2=cosπ4+isinπ4=eiπ4{z20=iz40=1z80=1f(z0)=z2403z200+4z1205z60=(z80)33(z40)5+4(z40)35z40z20=1+34+5i=5i(A)
:Γcos(z)zdz=Γf(z)zdz=2πi×f(0)=2πi×1=2πi(D)
:封閉路徑之線積分為0,故選(C)

:{x=t2y=tz=t2{dx=2tdtdy=dtdz=2tdtCx2dxyzdy+ezdz=10t4(2tdt)(t3)(dt)+et2(2tdt)=102t5t3+2tet2dt=[13t614t4+et2]|10=(112+e)1=e1112(C)

:{pX(1)=0+1/4=1/4pX(0)=1/4+1/4=1/2pX(1)=1/4+0=1/4E(X)=114+012+(1)14=0{pY(1)=0+1/4+1/4=1/2PY(1)=1/4+1/4+0=1/2E(Y)=112112=0E(XY)=xyp(x,y)=11p(1,1)+1(1)p(1,1)+(1)1p(1,1)+(1)(1)p(1,1)=01/41/4+0=1/2COV(X,Y)=E(XY)EXEY=1/20=1/2(B)

=====================================================

申請論未公布答案,解題僅供參考

3 則留言:

  1. 作者已經移除這則留言。

    回覆刪除
  2. 不好意思,請問第二題的第二小題是否寫錯了?

    回覆刪除