102年國中基測數學詳解

試題來源當然是心測中心：http://www.bctest.ntnu.edu.tw
關鍵詞：國中、數學、基測

1. 計算12÷(-3)-2×(-3)之值為何？

(A)-18 (B)-10 (C)2 (D)18

解：(C)

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2. 小華班上比賽投籃，每人投6球，圖(一)是班上所有學生投進球的圓形圖。根據圖(一)，下列關於班上所有學生投進球數的統計量，何者正確？

(A)中位數為3 (B)中位數為2.5 (C)眾數為5 (D)眾數為2

解：(D)

由圓形圖可知，投進2球的人數最多，所以眾數為2。

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3. k、m、n為三整數，若$\sqrt{135}=k\sqrt{15}, \sqrt{450}= 15\sqrt{m}, \sqrt{180}=6\sqrt{n}$，則下列有關k、m、n的大小關係，何者正確？

(A)k<m=n (B)m=n<k (C)m<n<k (D)m<k<n

解：(D)
$$\sqrt{135}=\sqrt{9\times 15}=3\sqrt{15}\Rightarrow k=3\\ \sqrt{450}=\sqrt{225\times 2}=15\sqrt{2}\Rightarrow m=2\\ \sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}\Rightarrow n=5$$

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4.若一多項式除以2x²-3，得到的商式為7x-4，餘式為-5x+2，則此多項式為何？ $$(A)14x^3-8x^2-26x+14\\(B)14x^3-8x^2-26x-10\\(C)-10x^3+4x^2-8x-10\\(D)-10x^3+4x^2+22x-10$$

解：(A)

$$多項式=(2x^2-3)(7x-4)+(-5x+2)=14x^3-8x^2-21x+12-5x+2\\=14x^3-8x^2-26x+14$$

快解：只要算常數項→(-3)(-4)+2=12+2=14，故選(A)

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5.表(一)為服飾店販賣的服飾與原價對照表。某日服飾店舉辦大拍賣，外套依原價打六折出售，襯衫和褲子依原價打八折出售，服飾共賣出200件，共得24000元。若外套賣出x件，則依題意可列出下列哪一個一元一次方程式？

表(一)

服飾	原價(元)
外套	250
襯衫	125
褲子	125

(A) 0.6×250x+0.8×125(200+x)=24000

(B) 0.6×250x+0.8×125(200-x)=24000

(C) 0.8×250x+0.6×125(200+x)=24000

(D) 0.8×250x+0.6×125(200-x)=24000

解：(B)
依題意知：外套賣x件，所以襯衫及褲子共賣(200-x)件；又外套一件原價250元打六折，所以外套共賣0.6×250x；襯衫及褲子原價皆為125元打八折，所以襯衫及褲子共賣0.8×125(200-x)，共賣出0.6×250x+0.8×125(200-x)=2400。故選(B)

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6.若有一正整數N為65、104、260三個數的公倍數，則N可能為下列何者？

(A)1300  (B)1560  (C)1690  (D)1800

解：(B)

最小公倍數為 13×5×4×2=520

520×3=1560 故選(B)

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7.某社團有60人，表(二)為此社團成員年齡的次數分配表。求此社團成員年齡的四分位距為何？

表(二)

年齡(歲)	36	38	39	43	46	48	50	55	58	60	62	65
次數(人)	4	5	7	5	5	2	1	10	7	8	3	3

(A)1 (B)4 (C)19 (D)21

解：(C)

年齡(歲)	36	38	39	43	46	48	50	55	58	60	62	65
次數(人)	4	5	7	5	5	2	1	10	7	8	3	3
累積次數	4	9	16	21	26	28	29	39	46	54	57	60

由於社團共60人，第1四分位數Q1=60×0.25=15→年齡為39歲，第3四分位數Q3=60×0.75=45→年齡為58歲；所以四分位距=Q3-Q1=58-39=19，故選(C)。

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8.座標平面上有一函數y=-3x²+12x-7的圖形，其頂點座標為何？

(A) (2,5)  (B) (2, -19)  (C) (-2,5)  (D)(-2,-43)

解：(A) $$-3x^2+12x-7=-3(x^2-4x+4)+12-7=-3(x-2)^2+5$$

所以頂點座標為(2, 5)，故選(A)

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9. 圖(二)中直線L、N分別截過ÐA的兩邊，且L//N。根據圖中標示的角，判斷下列各角的度數關係，何者正確？

圖(二)

(A)Ð2+Ð5>180°   (B)Ð2+Ð3<180°

(C)Ð1+Ð6>180°   (B)Ð3+Ð4<180° 

解：(A)

因為L//N，所以Ð3=Ð5；又Ð3=ÐA+Ð1。

因此Ð2+Ð5=Ð2+Ð3=Ð2+Ð1+ÐA=180°+ÐA>180°
故選(A)

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10.判斷$\sqrt{15}\times\sqrt{40}$之值會介於下列哪兩個整數之間？

(A) 22、23  (B) 23、24  (C) 24、25 (D) 25、26

解：(C)

22×22=484 23×23=529 24×24=576 25×25=625 26×26=676   
15×40=600 576<600<625，所以介於24與25之間，故選(C)。
實務上會先算25×25=625, 再算24×24，其它值不會算到。

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11. 座標平面上有一點A，且A點到x軸的距離為3，A點到y軸的距離恰為到x軸距離的3倍。若A點在第二象限，則A點座標為何？

(A) (-9,3)  (B) (-3,1)  (C)(-3,9)  (D) (-1,3)

解：(A)
假設A=(a,b)，因為A在第二象限，所以a<0，b>0，且|a|=3b。
因A點到x軸的距離為3，所以b=3，故a=-9。因此A座標為(-9,3)，選(A)。

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12. 解一元一次不等式12-(2x-5)³7x-3，得其解的範圍為何？

$(A)x\ge\frac{10}{9}\;(B)x\ge{20\over 9}\;(C)x\le\frac{10}{9} \;(D)x\le\frac{20}{9}$

解：(D) $$12-(2x-5)\ge 7x-3\Rightarrow 17-2x\ge 7x-3 \Rightarrow 20\ge 9x\Rightarrow \frac{20}{9}\ge x, 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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13. 圖(三)表示小勲到商店購買兩個單價相同的布丁和10個單價相同的棒棒糖的經過。

根據圖(三)，判斷布丁和棒棒糖的單價相差多少元？

(A) 20   (B)  30  (C) 40  (D) 50

解：

假設一個布丁x元，一根棒棒糖y元。

由「多算2根棒棒糖，退20元」可知1根棒棒糖10元(y=10)。

2x+12y=200→2x+120=200→2x=80→x=40。

所以x-y=40-10=30，選(B)。

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14. 如圖(四)，$\triangle ABC$中，$D$為$\overline{AB}$中點，$E$在$\overline{AC}$上，且$\overline{BE}\bot\overline{AC}$。若$\overline{DE}=10,\overline{AE}=16$，則$\overline{BE}$的長度為何？

(A) 10  (B) 11  (C) 12  (D) 13

解：

$$作\overline{DF}，使得\overline{DF}//\overline{BE}，且交\overline{AC}於F點，見上圖\\ \overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}= \frac{\overline{AF}}{\overline{FE}}\Rightarrow \overline{AF}=\overline{FE}=\overline{AE}\div 2= 16\div 2=8\\在直角\triangle DFE中, \overline{DE}^2=\overline{DF}^2+\overline{FE}^2 \Rightarrow 100=\overline{DF}^2+64\Rightarrow \overline{DF}=6\\ \overline{DF}//\overline{BE}\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}= \frac{\overline{DF}}{\overline{BE}} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{6}{\overline{BE}}\Rightarrow \overline{BE}=12, 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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15. 計算$\left(\frac{21}{26}\right)^3 \times \left(\frac{13}{14}\right)^4\times \left(\frac{4}{3}\right)^5$之值與下列何者相同？

$$(A)\frac{13}{3^3}\;(B)\frac{13^2}{3^3}\; (C)\frac{2\times 13}{7\times 3}\; (D)\frac{13\times 2^3}{7\times 3^2}$$

解： $$\left(\frac{21}{26}\right)^3 \times \left(\frac{13}{14}\right)^4\times \left(\frac{4}{3}\right)^5 =\left(\frac{3\times 7}{2\times 13}\right)^3\times \left(\frac{13}{2\times 7}\right)^4 \times \left(\frac{2^2}{3}\right)^5\\ =\frac{3^3\times 7^3\times 13^4\times 2^{10}}{2^3\times 13^2\times 2^4\times 7^4\times 3^5}=\frac{13\times 2^3}{7\times 3^2}, 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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16.圖(五)為一張正面白色，反面灰色的長方形紙片。今沿虛線剪下分成甲、乙兩長方形紙片，並將甲紙片反面朝上黏貼於乙紙片上，形成一張白灰相間的長方形紙片，如圖(六)所示。若圖(六)中白色與灰色區域的面積比為8:3，圖(六)紙片的面積為33，則圖(五)紙片的面積為何？

(A)231/4  (B)363/8  (C)42  (D)44

解： $$\begin{cases} \frac { 乙-甲 }{ 甲 } =\frac { 8 }{ 3 } \\ 乙=33 \end{cases}\Rightarrow \frac { 33-甲 }{ 甲 } =\frac { 8 }{ 3 } \Rightarrow 99-3甲=8甲\Rightarrow 11甲=99\Rightarrow 甲=9\\ \Rightarrow 甲+乙=9+33=42，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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17. 如圖(七)，圓O與正方形$ABCD$的兩邊$\overline{AB}$、$\overline{AD}$相切，且$\overline{DE}$與圓O相切於E點。若圖O的半徑為5，且$\overline{AB}=11$，則$\overline{DE}$的長度為何？ $$(A)5\;(B)6\;(C)\sqrt{30}\;(D)\frac{11}{2}$$

解：(B)

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18. 圖(八)為八個全等正六邊形緊密排列在同一平面上的情形。根據圖中標示的各點位置，判斷三角形ACD與下列哪一個三角形全等？
(A)三角形ACF (B)三角形ADE (C)三角形ABC (D)三角形BCF

解：(B)

故選(B)

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19. 圖(九)為一張三角形紙片，$P$點在$\overline{BC}$上。今將$A$摺至$P$時，出現摺線$\overline{BD}$，其中$D$點在$\overline{AC}$上，如圖(十)所示。若$\triangle ABC$的面積為80，$\triangle DBC$的面積為50，則$\overline{BP}$與$\overline{PC}$的長度比為何？

(A)3:2  (B) 5:3  (C) 8:5  (D)13:8

解：

令$\triangle ABD$面積$=\triangle DBP$面積$=a,\triangle DPC$面積$=b$，見上圖；由題意知 $$\begin{cases}2a+b=80\\a+b=50\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=30\\b=20\end{cases} \Rightarrow \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}}=\frac{a}{b}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2},故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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20. 如圖(十一)，長方形$ABCD$中，$M$為$\overline{CD}$中點，今以$B、M$為圓心，分別以$\overline{BC}$長、$\overline{MC}$長為半徑畫弧，兩弧相交於$P$點。若$\angle PBC=70^\circ$，則$\angle MPC$的度數為何？

(A) 20  (B) 35  (C) 40  (D) 55

解：

$$\triangle BCP為等腰\Rightarrow \angle BCP=(180^\circ-70^\circ)\div 2 = 55^\circ\\ 又\angle C=90^\circ\Rightarrow \angle MCP=90^\circ-55^\circ=35^\circ\\ \triangle MPC為等腰\Rightarrow \angle MPC=\angle MCP=35^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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21. 已知甲袋有張分別標示1~5的號碼牌，乙袋有6張分別標示6~11號碼牌，慧婷分別從甲、乙兩袋中各抽出一張號碼牌。若同一袋中每張號碼牌被抽出的機會相等，則她抽出兩張號碼牌，其數字乘積為3的倍數的機率為何？

(A)1/10 (B)1/3 (C)7/15 (D)8/15

解：

甲袋有5張號碼牌，乙袋有6張號碼牌，所以總共有5x6=30種可能。數字乘積為3的倍數必須是以下的情況：

甲袋	1,2,4,5	3
乙袋	6,9	6-11
幾種可能	4x2=8	1x6=6

合乎條件共有8+6=14種情況，所機率為14/30=7/15，故選(C)。

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22. 座標平面上，有一線型函數圖形過(-3,4)和(-7,4)兩點，判斷此函數圖形會過哪兩象限？

(A)第一象限和第二象限  (B)第一象限和第四象限

(C)第二象限和第三象限  (D)第二象限和第四象限

解：

此兩點的Y座標相同，所以是條水平線，通過一、二象限，故選(A)。

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23. 圖(十二)為正三角形$ABC$與正方形$DEFG$的重疊情形，其中$D、E$兩點分別在$\overline{AB}、\overline{BC}$上，且$\overline{BD}=\overline{BE}$。若$\overline{AC}=18，\overline{GF}=6$，則$F$點到$\overline{AC}$的距離為何？

$$(A)2\;(B)3\;(C)12-4\sqrt{3}\;(D)6\sqrt{3}-6$$

解：

依題意$\triangle ABC$為正三角形$\Rightarrow \angle B=60^\circ$，又$\triangle BDE$為等腰，因此$\triangle BDE$也是正三角形；
令$H$點為$\overline{AC}$的中點，則$\overline{BH}$為正$\triangle ABC$的中線，且$\overline{BI}$也是正$\triangle BDE$的中線，見上圖；
中線長$\overline{BH}=\overline{AC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=18\times\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$；中線長$\overline{BI}=\overline{DI}\times\sqrt{3}=3\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}$；
因此$F$點到$\overline{AC}$的距離$=\overline{JH}=\overline{BH}-\overline{BI}-\overline{IJ} =9\sqrt{3}-3\sqrt{3}-6 =6\sqrt{3}-6$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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24.

下列何者是$22x^7-83x^6+21x^5$的因式？ $$(A)2x+3\;(B)x^2(11x-7)\;(C)x^4(11x-3)\;(D)x^6(2x+7)$$

解： $$22x^7-83x^6+21x^5=x^5(22x^2-83x+21)=x^5(11x-3)(2x-7)，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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25. 圖(十三)的長方體與下列選項中的立體圖形均是由邊長為1公分的小正方體緊密堆砌而成。若下列有一立體圖形的表面積與圖(十三)的表面積相同，則此圖形為何？

解：

圖(十三)的表面積：22

(A)的表面積：20 (B)的表面積：22

(C)的表面積：24 (D)的表面積：24

故選(B)

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26.若一元二次方程式$a(x-b)^2=7$的兩根為$\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}$，其中a、b為兩數，則a+b之值為何？

(A)5/2  (B)9/2  (C)3  (D)5

解： $$a(x-b)^2=7\Rightarrow (x-b)^2=\frac{7}{a}\Rightarrow x-b=\pm\sqrt{\frac{7}{a}} \Rightarrow x=b\pm\sqrt{\frac{7}{a}}=\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7}\\ b=\frac{1}{2}, a=4\Rightarrow a+b=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2},故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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27.圖(十四)的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和2個各10克的砝碼。將左側袋中一顆石頭移至右側的秤盤，並拿走右側秤盤的1個砝碼後，天平仍呈平衡狀態，如圖(十五)所示。求被移動石頭的重量為多少克？

(A)5  (B)10 (C)15 (D)20

解：

假設石頭重X克

由圖(十四)知：左袋=右袋+20

由圖(十五)知：左袋-X=右袋+10+X

上式減下式可得X=10-X，所以X=5，故選(A)

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28.圖(十六)為雅婷左手拿著3張深灰色與2張淺灰色的牌疊在一起的情形。以下是她每次洗牌的三個步驟：
步驟一：用右手拿出疊在最下面的2張牌，如圖(十七)。
步驟二：將右手拿的2張牌依序交錯插入左手拿的3張牌之間，如圖(十八)。
步驟三：用左手拿著顏色順序已改變的5張牌，如圖(十九)。
若依上述步驟洗牌，從圖(十六)的情形開始洗牌若干次後，其顏色順序拿再次與圖(十六)相同，則洗牌次數可能為下列何者？

(A)18  (B)20  (C)25  (D)27

解：

假設一開始的紙牌順序為12345，則洗牌的結果：

12345→14253→15432→13524→12345

洗過4次牌後，回到初始狀態。

所以只要洗牌的次數是4的倍數，就回到初始狀態。

故選(B)

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29.數線上A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，且C在AB上。若|a|=|b|，AC:CB=1:3，則下列b、c的關係式，何者正確？

(A)|c|=|b|/2   (B)|c|=|b|/3  (C)|c|=|b|/4  (D)|c|=3|b|/4

解：

因為|a|=|b|，所以A、B兩點分別在原點的兩側，且與原點等距離。
假設A在原點的左側，B在右側，則3(|a|-|c|)=|b|+|c|→3(|b|-|c|)=|b|+|c|→|c|=|b|/2，故選(A)。

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30. 如圖(廿)，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，並連接BG。根據圖中標示的角，判斷下列角1、角2、角3、角4大小的關係，何者正確？

(A)角1<角2 (B)角1>角2 (C)角3<角4 (D)角3>角4

解：

角1=角2=正方形AEFG以A為圓心轉動的角度。

在三角形ABG中，大角對大邊，所角3>角4。

故選(D)。

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31.如圖(廿一)，甲、乙兩人想在正五邊形ABCDE內部找一點P，使得四邊ABPE為平形四邊形，其作法如下：
(甲)連接BD、CE，兩線段相交於P點，則P即為所求
(乙)先取CD的中點M，再以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AM於P點，則P即為所求

對於甲、乙兩人的作法，下列鄰斷何者正確？
(A)兩人皆正確  (B)兩人皆錯誤
(C)甲正確，乙錯誤  (D)甲錯誤，乙正確

圖(廿一)

解：

正五邊形的一角為(5-2)x180/5=108度。角BAP=108/2=54，所以三角形ABP不是正三角形，也就是說BP與AP不等長，即BP與AE不等長，所以乙的作法不是平形四邊形。

故選(C)。

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32. 若$A=101\times 9996\times 10005，B=10004\times 9997\times 101$，則$A-B$之值為何？

(A)101  (B)-101  (C)808  (D)-808

解： $$x=10000\Rightarrow A-B=101(x-4)(x+5)-101(x+4)(x-3)\\=101[(x-4)(x+5)-(x+4)(x-3)]=101[(x^2+x-20)-(x^2+x-12)]\\=101\times(-8)=-808,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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33.如圖(廿二)，將一張三角形紙片沿虛線剪成甲、乙、丙三塊，其中甲、丙為梯形，乙為三角形。根據圖中標示的邊長數據，比較甲、乙、丙的面積大小，下列判斷何者正確？

(A)甲>乙，乙>丙    (B)甲>乙，乙<丙
(C)甲<乙，乙>丙    (D)甲<乙，乙<丙
解：

故選(D)

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34. 如圖(廿三)，$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$是半圓，$O$為$\overline{AB}$中點，$C、D$兩點在$\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$上，且$\overline{AD}//\overline{OC}$，連結$\overline{BC}、\overline{BD}$。若$\overset{\LARGE{\frown}}{CD}=62^\circ$，則$\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$的度數為何？

(A)56  (B)58  (C)60  (D)62

解：

$$令\overset{\LARGE{\frown}}{BC}=a,\overset{\LARGE{\frown}}{AD}=b, 見上圖;\\\overline{AD}//\overline{OC}\Rightarrow \angle DAB=\angle COB\Rightarrow \frac{62+a}{2}=a\Rightarrow a=62^\circ\\ \overset{\LARGE{\frown}}{AB}為半圓\Rightarrow a+b+62=180^\circ \Rightarrow b=180-62-a=180^\circ-62^\circ-62^\circ=56^\circ, 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$
--- END ---