12sin(x)=x 有幾個實數解？

12sin(x)=x 有幾個實數解？
很多人遇到這個問題都會說：畫兩個圖形, 一個是y=sin(x), 另一個是y=x/12，看看有幾個交點，就是答案。

這當然是廢話，問題是誰有辦法在考試的時候可以畫得如此精確？尤其在交點很多的時候，更不容易畫圖。
先考慮 y=sin(x)的圖形，它經過原點，週期為2π，最大值為1，最小值為-1,而且最大值出現在x =  [ π/2, 5π/2, 9π/2, ....] = 2nπ + π/2, n為整數。 圖形如下：

另一個圖形y=x/12，這是一條經過原點的直線，而且遞增。重點是它有多「斜」呢？

先想想看什麼時候該直線會比1大？也就是找a值，當x=a時，y=a/12>1。

一眼就看出a>12時，y值會大於1；繼續追問: 12在[0, π, 2π, 3π, 4π,....]哪兩個數之間？

答案是3π<12<4π。所以該直線經過O=(0,0)及C=(a, 1)，C在下圖的AB直線上(不含A、B兩點)。這樣很容易就看出y=x/12與y=sin(x)在第一象限有3個交點，由於這是對稱圖形，在第三象限也有3個交點，加上原點也是交點，所以共有7個交點。

從上面的例子可以發現: 在第一象限的交點數為一奇數，交點的多寡取決於C點落在哪一個波峰之間。若C點落在第1與第2個波峰之間，則直線OC與sin(x)有1個交點，若落在第2及第3個波峰之間，則有3個交點...，若落在第n及第n+1個波峰之間，則有2n-1個交點。第n個波峰的坐標為([π/2+2(n-1)π],1) = (2nπ-3π/2, 1)。

所以類似的題型就是要找C點落在哪個波峰之間？下圖的C落在第3及第4個波峰之間，所以有2x3-1=5個交點。

同理，算算看100sin(x)=x有幾個實數解？
解：
100/π = 31.8，即31π<a<32π => 30π+π/2<a<32π => (2x16)π-3π/2<a<32π => a在第16個及第17個波峰之間=>在第一象限有2*16-1=31個交點=>總共有31*2+1=63個實數解。
-- end --