106學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解

106 學年度高級中等以上學校運動成績優良學生 升學輔導甄試學科考試 數學科 試題

  解： $$111^3-111^2\times 33+111\times 363-11^3 = 111^3-3\times 111^2\times 11+3\times 111\times 11^2-11^3 \\ = \left(111-11\right)^3=\left(100\right)^3=10^6$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
每排座位數為等差數列，公差為k；$a_{12}+a_{13}=100\Rightarrow a_1+11k+a_1+12k=100$，因此$2a_1+23k=100$。
F區共有$(2a_1+23k)\times 24\div 2=100\times 12=1200$個座位

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
利用長除法可得 $$f(x)=(x-2)(2x^2-1)-1=(x-2)[(x-2)(2x+4)+7)-1 \\= (x-2)^2(2x+4)+7(x-2)-1 = (x-2)^2(2(x-2)+8)+7(x-2)-1\\=2(x-2)^3+8(x-2)^2+7(x-2)-1\Rightarrow c=7$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$\frac{0.8^3}{0.8}=0.8^2=0.64$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\log _{ 10 }{ x } =-1.699\Rightarrow x=\frac { 1 }{ { 10 }^{ 1.699 } } =\frac { 1 }{ { { 10 }^{ 1 }\times 10 }^{ 0.699 } } =\frac { 1 }{ 10\times 5 } =0.02$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\sin { \frac { 7\pi  }{ 6 }  } =-\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } =-\frac { 1 }{ 2 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
假設單程距離為a，則平均速率=$\frac{a+a}{\frac{a}{15}+\frac{a}{10}}=\frac{2}{\frac{5}{30}}=12$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
原數據的平均數為$\frac{\mu+236}{100}$；原數據的標準差為$\frac{\sigma}{100}$；

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：
所圍三角形為滿足三不等式之交集，即x-y-4<0, x+2y-4<0及3x+y-3>0

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：利用正弦定理: $$\frac{\overline{DC}}{\sin{\angle CAD}}=\frac{\overline{AB}}{\sin{\angle ACB}}\Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{2}}=\frac{\overline{AB}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow \overline{AB}=2\sqrt{2}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：

若圖形的交會點數為2，即有兩相異實根，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
相關係數大於0代表x越大則y越大，因此r2>r4>0；r5=0；反之若x越大則y越小，代表係數小於0，因此0>r3>r1

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
直線與圓相切代表圓心至直線的距離=圓半徑，即(1,3)至直線的距離=5。因此 $$\left| \frac { 3+12+k }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } }  }  \right| =5\Rightarrow \left| 15+k \right| =25\Rightarrow k=10,-30$$ 由於k為正實數，所以k=-30不合

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：假設會打籃球也會踢足球共有a人，因此300-(160+130-a)=50，可得a=40

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\begin{cases} ax+by=7 \\ cx+dy=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 & 3 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -31 \\ 23 \end{bmatrix}\Rightarrow \alpha +\beta =-31+23=-8$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：

將展開圖組合成立體圖後，$\triangle AED$為一直角三角形，因此${\overline{AE}}^2+ {\overline{ED}}^2={\overline{AD}}^2 \Rightarrow 1+2={\overline{AD}}^2 \Rightarrow \overline{AD} = \sqrt{3}$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( x^{ 2 }-9 \right) +3x-1\Rightarrow xf\left( x \right) =xg\left( x \right) \left( x^{ 2 }-9 \right) +3x^{ 2 }-x\\ =xg\left( x \right) \left( x+3 \right) \left( x-3 \right) +\left( 3x-10 \right) \left( x+3 \right) +30$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：
由拋物線方程式可知(1,0)為焦點坐標，P為頂點(0,0)至焦點的距離最近，即1

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3-3 & 5-6 & 0-3 & 1-0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2-2 & 1-6 & 0+2 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}\\ =\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ { 2 }^{ n } } =\frac { 1-{ 2 }^{ 11 } }{ 1-2 } ={ 2 }^{ 11 }-1=2048-1=2047$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\frac { \log _{ 3 }{ 6 } -\log _{ 3 }{ 2 }  }{ 6-2 } =\frac { \log _{ 3 }{ \frac { 6 }{ 2 }  }  }{ 4 } =\frac { \log _{ 3 }{ 3 }  }{ 4 } =\frac { 1 }{ 4 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=3\Rightarrow \begin{vmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{vmatrix}=3\Rightarrow a(1-b)-b(1-a)=3\\ \Rightarrow a-ab-b+ab=3\Rightarrow a-b=3$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
P1 = P{(5,6)}, P2={(5,6),(6,5)}, P3={(6,6)}，P2出現的次數較多，所以機會較大，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：

$\frac{5!}{3!2!}=10$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：
由橢圓方程式可知:   a=4, b=3因此c=$\sqrt{7}$，三角形周長=2a+2c =$8+2\sqrt{7}$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

由於f(-3)=f(1)代表f(x)與x=(-3+1)/2=-1對稱，因此極值發生在x=-1

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $${ \left( 2x+y \right)  }^{ 10 }=\sum _{ n=0 }^{ 10 }{ C^{ 10 }_{ n }{ \left( 2x \right)  }^{ n } } { y }^{ 10-n }\Rightarrow x^{ 3 }y^{ 7 }的係數=C^{ 10 }_{ 3 }2^{ 3 }=\frac { 10! }{ 7!3! } \times 8=960$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$a_n=a_1+3(n-1)=4+3(n-1)=3n+1=2017\Rightarrow n=672$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\overline{BD}=\sin{\theta}, \overline{OD}=\cos{\theta}\Rightarrow \tan{\angle BCA}= \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}\\ = \frac{\sin{\theta}}{\overline{CO}+\overline{OD}}= \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\frac { 1-3i }{ a+bi } =1+i\Rightarrow 1-3i=\left( a+bi \right) \left( 1+i \right) =(a-b)+(a+b)i\Rightarrow \begin{cases} a-b=1 \\ a+b=-3 \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$\sin { 20° } \times \cos { 50° } \times \sec { 50° } \times \csc { 20° } \\ =\sin { 20° } \times \cos { 50° } \times \frac { 1 }{ \cos { 50° }  } \times \frac { 1 }{ \sin { 20° }  } =1$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$\begin{cases} x+y+z+1=0 \\ 2x-y+2x+3=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} y=\frac { 1 }{ 3 }  \\ x+z=\frac { -4 }{ 3 }  \end{cases}$$

故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：$\overrightarrow{PQ}=(2-1,1-(-1),-1-1)=(1,2,-2)$，由於$\overline{PQ}//平面E的法向量$，也就是$\frac{1}{1}=\frac{a}{2}=\frac{b}{-2}\Rightarrow a=2,b=-2$，又Q在E上，即 2+a-b+c=0，所以2+2+2+c=0, c=-6，a+b+c=2-2-6=-6

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

80分距離平均數2個標準差的範圍，所以60分至80分的人數已占全體的95%。超過80分的人數就是(1800X5%)/2  =   45

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
2枚皆為10元的機率為$\frac{C^2_2}{C^5_2}=\frac{1}{10}$，期望值為$20\times \frac{1}{10}=2$
1枚10元1枚5元的機率為$\frac{C^2_1C^3_1}{C^5_2}=\frac{6}{10}$，期望值為$15\times \frac{6}{10}=9$
2枚皆為5元的機率為$\frac{C^3_2}{C^5_2}=\frac{3}{10}$，期望值為$10\times \frac{3}{10}=3$
期望值=2+9+3=14，故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解： $$5^{ a }=2^{ b }=\sqrt { 10^{ c } } \Rightarrow 5^{ a }=2^{ b }=10^{ \frac { c }{ 2 }  }\Rightarrow a\log { 5 } =b\log { 2 } =\frac { c }{ 2 } \log { 10 } \\ \Rightarrow \frac { c }{ a } =\frac { 2\log { 5 }  }{ \log { 10 }  } ,\frac { b }{ a } =\frac { 2\log { 2 }  }{ \log { 10 }  } \Rightarrow \frac { c }{ a } +\frac { b }{ a } =\frac { 2\log { 5 }  }{ \log { 10 }  } +\frac { 2\log { 2 }  }{ \log { 10 }  } \\ =\frac { 2\left( \log { 2 } +\log { 5 }  \right)  }{ \log { 10 }  } =\frac { 2\log { 10 }  }{ \log { 10 }  } =2$$

故選$\bbox[red,2pt]{(E)}$

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解：

該點與中心點O的距離等於$\overline{OF}$的長度，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\vec { a } \cdot \vec { b } =\left| \vec { a }  \right| \left| \vec { b }  \right| \cos { 135° } \Rightarrow \left( -4,-2 \right) \cdot \left( x,-1 \right) =\sqrt { 4^{ 2 }+2^{ 2 } } \times \sqrt { x^{ 2 }+1^{ 2 } } \times \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \\ \Rightarrow -4x+2=\sqrt { 20 } \times \sqrt { x^{ 2 }+1 } \times \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } =\sqrt { 5x^{ 2 }+5 } \times \sqrt { 2 } \Rightarrow { \left( -4x+2 \right)  }^{ 2 }=10x^{ 2 }+10\\ \Rightarrow 3x^{ 2 }-8x-3=0\Rightarrow (3x+1)(x-3)=0\Rightarrow x=3,\frac { -1 }{ 3 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解： $$g\left( x \right) =f\left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right) =\sin { \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  } =-\sin { \left( \frac { \pi  }{ 2 } -x \right)  } =-\cos { x }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$\widehat { p } =\frac { 320 }{ 400 } =\frac { 4 }{ 5 } \\ \Rightarrow 2\sqrt { \frac { \widehat { p } \left( 1-\widehat { p }  \right)  }{ n }  } =2\sqrt { \frac { \frac { 4 }{ 5 } \left( 1-\frac { 4 }{ 5 }  \right)  }{ 400 }  } =2\sqrt { \frac { 1 }{ 2500 }  } =2\times \frac { 1 }{ 50 } =4\%$$

故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$