新竹市立數位實驗高級中等學校115學年度第1次正式教師甄選
一、填充題（共 15 題，每題 4 分，共 60 分）
解答:$$假設\log_3 5=a \Rightarrow \cases{\log_95 =\log_3 5/2=a/2\\ \log_{27} 5=\log_3 5/3=a/3} \Rightarrow x+a,x+a/2,x+a/3成等比\\ \Rightarrow \left( x+{a\over 2} \right)^2=(x+a)\cdot \left( x+{a\over 3} \right) \Rightarrow -{1\over 3}x={1\over 12}a \Rightarrow x=-{1\over 4}a \\ \Rightarrow 公比={x+a/2\over x+a} ={-a/4+a/2\over -a/4+a}= \bbox[red, 2pt]{1\over 3}$$
解答:
$$ x^2 - 2x - 1 = 0 的根也是 x^4 + ax^2 + bx + c = 0 的根\Rightarrow x^4 + ax^2 + bx + c 可以被 x^2 - 2x - 1 整除\\ 利用長除法(如上圖)可得\cases{b+2=-2a-10 \Rightarrow b=-2a-12\\ c=-a-5} \\ \Rightarrow f(a)=a^2+b^2+c^2 = a^2 + (-2a - 12)^2 + (-a - 5)^2 =6a^2+58a+169 \\ 極值發生在a=-{58\over 2\cdot 6} \approx-4.8 \Rightarrow \cases{f(-4)=33\\ f(-5)=29} \Rightarrow 最小值為\bbox[red, 2pt]{29}$$
解答:
$$假設\cases{ \overline{AB} = c \\ \overline{AC} = b\\ \overline{BC} = a } \Rightarrow \cases{\triangle ABC ={1\over 2}bc \sin A \\ \triangle ABQ={1\over 2}bc\sin(A+90^\circ) ={1\over 2}bc\cos 90^\circ} \\\Rightarrow \triangle ABC+\triangle ABQ ={1\over 2}bc(\sin A+\cos A) =8 \Rightarrow bc(\sin A+\cos A)=16 \cdots(1) \\餘弦定理:\cases{\triangle ABC: \overline{BC}^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\ \triangle ABQ: \overline{BQ}^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cos(A + 90^\circ) = b^2 + c^2 + 2bc \sin A } \\ \Rightarrow \overline{BQ}^2 - a^2 = 2bc(\sin A + \cos A) =2\times 16=32 \Rightarrow (\overline{BQ} + a)(\overline{BQ} - a) = 32 \\ \Rightarrow 16 \times (\overline{BQ} - a) = 32 \implies \overline{BQ} - a = 2 \Rightarrow \cases{ \overline{BQ} + a = 16\\\overline{BQ} - a = 2 } \Rightarrow 2a=14\\ \Rightarrow a= \overline{BC} = \bbox[red, 2pt]7$$
解答:$$「2 個白球不相鄰」的排列數:\\\qquad 1 個紅球、3 個黃球、4 個綠球，共8球的排列數:{8!\over 1!3!4!}=280\\ \qquad 這 8 個排好的球會產生 9 個空隙，將2個白球插入9個空隙的方法有C^9_2=36種\\ \qquad 因此2 個白球不相鄰的總數為 280 \times 36 = 10080 種。\\ 「2 個白球不相鄰，且 4 個綠球皆不相鄰」的排列數: \\ \quad 4 個綠球皆不相鄰的總數: \\ \qquad 1 個紅球、2 個白球、3 個黃球，共6球的排列數:{6!\over 2!3!} =60種\\ \qquad 將 4 個綠球插入此7個空隙有C^7_4= 35種。總數為60\times 35=2100種\\ \quad 4 個綠球皆不相鄰，且 2 個白球相鄰的總數: \\ \qquad 將 2 個白球綁定視為 1 個單位，與 1 個紅球、3 個黃球一起排列，共{5!\over 1!1!3!}=20種\\ \qquad 將 4 個綠球插入6個空隙有C^6_4=15種。總數為20\times 15=300\\ \quad 「2 個白球不相鄰且 4 個綠球皆不相鄰」的數量為 2100 - 300 = 1800 種。\\ 因此10080-1800=\bbox[red, 2pt]{8280}，即為所求$$
解答:$$\cases{3^1 \equiv 3 \pmod 5 \\3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod 5 \\3^3 \equiv 27 \equiv 2 \pmod 5 \\3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod 5} \Rightarrow 3^n \pmod 5 循環數為4,而n \pmod 5的循環數為5 \\ \Rightarrow 3^n + n \pmod 5的循環數為 4\times 5=20\\ 在n=1,2,\dots, 20中,其中4個(n=3,4,6,17)符合(3^n+n)是5的倍數\\由於2026=20\times 101+6,因此共有101\times 4+3(n=3,4,6) = \bbox[red, 2pt]{407}個$$
解答:$$ \sqrt{S_{n-1}} + \sqrt{S_n} = a_n =S_n-S_{n-1} = (\sqrt{S_n})^2 - (\sqrt{S_{n-1}})^2 = (\sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}})(\sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}) \\ \Rightarrow \sqrt{S_{n-1}} + \sqrt{S_n} = (\sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}})(\sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}) \Rightarrow \sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}}=1 \\ \Rightarrow \langle \sqrt{S_n} \rangle 是一個公差為 1 的等差數列 \Rightarrow 首項\sqrt{S_1} =\sqrt{a_1}=\sqrt 9=3 \\ \Rightarrow \sqrt{S_n}=3+(n-1)\cdot 1=n+2 \Rightarrow a_n= (n+2)+(n+1) =2n+3 \\ \Rightarrow a_{2026}=2\times 2026+3= \bbox[red, 2pt]{4055}$$
解答:$$ \begin{cases} 3x - 4y = -5 \\ 4x - 3y = -2 \end{cases} \Rightarrow 交點C(1,2)即為中心點 \Rightarrow c=\overline{CF}=5\sqrt 2\\焦點到任一漸近線的距離等於共軛軸半長b\Rightarrow b=d(F,3x-4y+5=0) =1 \\ \Rightarrow c^2=a^2+b^2 \Rightarrow (5\sqrt 2)^2= a^2+1^2 \Rightarrow a=7 \Rightarrow 貫軸長=2=\bbox[red, 2pt]{14}$$
解答:$$ \vert{}\vec{a} \times \vec{b}\vert{}^2 = 3^2 + 6^2 + 6^2 = 81 \Rightarrow 面積 \vert{}\vec{a} \times \vec{b}\vert{} = 9 =|\vec a||\vec b| \sin 45^\circ =|\vec a|\cdot \sqrt{2^2+1^2+2^2}\cdot {1\over \sqrt 2} \\ \Rightarrow |\vec a|=3\sqrt 2 \Rightarrow \vec a\cdot \vec b= |\vec a||\vec b| \cos 45^\circ =3\sqrt 2\cdot 3\cdot {1\over \sqrt 2}=9 =(1,4s-t,2s+4t)\cdot (2,1,2)\\ \Rightarrow 8s+5t =7 \Rightarrow t={7-8s\over 5} \\ 又|\vec a|^2=\vec a\cdot \vec a \Rightarrow (3\sqrt 2)^2=1^2+ (4s-t)^2+(2s+4t)^2 \Rightarrow 20s^2 + 4st + 10t^2 = 17 \\ \Rightarrow 20s^2 + 4s(\frac{7 - 8s}{5}) + 10(\frac{7 - 8s}{5})^2 = 17 \Rightarrow 196s^2 - 196s + 13 = 0 \Rightarrow s={13\over 14},{1\over 14} \\ 若s={13\over 14} \Rightarrow t=-{3\over 35}, 方向不符; 若s={1\over 14}\Rightarrow t={9\over 7} \Rightarrow (s,t) = \bbox[red, 2pt]{\left( {1\over 14},{9\over 7} \right)}$$
解答:$$ f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 4 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 \Rightarrow P點切線斜率m=f'(4)=-9 \\ \Rightarrow 切線L:y=-9x+12 \Rightarrow \Gamma\cap L: x^3 - 9x^2 + 15x - 4 = -9x + 12 \\ \Rightarrow x^3 - 9x^2 + 24x - 16 = 0 \Rightarrow (x - 4)^2(x - 1) = 0 \Rightarrow x=1,4 \\ \Rightarrow 所圍面積A= \int_{1}^{4} [(x^3 - 9x^2 + 15x - 4) - (-9x + 12)] dx = \int_{1}^{4} (x^3 - 9x^2 + 24x - 16) dx \\= \left. \left[ {1\over 4}x^4-3x^3+12x^2-16x \right] \right|_1^4= \bbox[red, 2pt]{27\over 4}\\也可以直接使用公式:{|a|\over 12}(\beta-\alpha)^4 ={1\over 12}(4-1)^4= {27\over 4}$$
解答:$$假設非零複數z=re^{i\theta} (r\gt 0) \Rightarrow \cases{z^2= r^2e^{i2\theta} \\ \bar z=re^{-i\theta}} \Rightarrow r^2e^{i2\theta } =(3+4i) re^{-i\theta} =5e^{i\alpha}re^{-i\theta} =5re^{\alpha-\theta} \\ \Rightarrow \cases{r^2=5r\\ 2\theta=\alpha-\theta+2k\pi} \Rightarrow \cases{r=5\\ \theta=\alpha/3 +2k\pi/3} 構成一個內接正三角形\\ 此正三角形可以分割成 3 個全等的等腰三角形，其兩腰長為圓半徑 R = 5\\，兩腰夾角為 \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \Rightarrow 面積= 3 \times (\frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \sin 120^\circ) = \bbox[red, 2pt]{\frac{75\sqrt{3}}{4} }$$
解答:
$$\cases{\overline{CA} = \overline{CB} \\\overline{CA} \perp \overline{CB}} \Rightarrow \triangle ABC 為等腰直角三角形,且\angle C=90^\circ \Rightarrow 面積={1\over 2}\overline{AC}^2 =9\Rightarrow \overline{AC}=3\sqrt 2\\ 假設\cases{C=(c,0), c\gt 0\\ A=(x_1,y_1), x_1,y_1\gt 0\\ B=(x_2,y_2), x_2 ,y_2\gt 0} \Rightarrow \cases{x_1=y_1^2/4\\x_2 =y_2^2/4} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{CA} =(y_1^2/4-c,y_1) \\ \overrightarrow{CB} =(y_2^2/4-c,y_2)}\\ \overline{CA} \perp \overline{CB} \Rightarrow \left(\frac{y_2^2}{4} - c, y_2\right) = \left(-y_1, \frac{y_1^2}{4} - c\right) \Rightarrow \cases{ y_2 = \frac{y_1^2}{4} - c \Rightarrow c = \frac{y_1^2}{4} - y_2 \\ \frac{y_2^2}{4} - c = -y_1 \Rightarrow c = \frac{y_2^2}{4} + y_1 } \\ \Rightarrow \frac{y_1^2}{4} - y_2 = \frac{y_2^2}{4} + y_1 \Rightarrow y_1=y_2+4 \Rightarrow \overline{CA}=18= |\overrightarrow{CA}|^2 =(-y_2)^2+ y_1^2=18\\ \Rightarrow y_2^2 + (y_2 + 4)^2 = 18 \Rightarrow y_2^2 + 4y_2 - 1 = 0 \Rightarrow y_2=-2+\sqrt 5\Rightarrow y_1= y_2+4= 2+\sqrt 5 \\ \Rightarrow c={y_2^2 \over 4}+y_1 = \frac{(-2+\sqrt{5})^2}{4} + (2+\sqrt{5}) = \frac{17}{4} \Rightarrow C= \bbox[red, 2pt]{\left( {17\over 4},0 \right)}$$
解答:$$假設\cases{p=P(正)={1\over 3} \\ q=P(反) ={2\over 3}} 及狀態\cases{S_0: 未匹配任何開頭,E_0: 完成目標需要的平均投擲次數\\ S_1: 最後一次擲出正面, E_1:到完成目標還需要的平均投擲次數 \\ S_2: 最後兩次擲出正反面, E_2:到完成目標還需要的平均投擲次數} \\ \Rightarrow \cases{E_0=1+pE_1+qE_0 =1+{1\over 3}E_1+{2\over 3}E_0 \\ E_1 = 1 + p E_1 + q E_2 = 1 + \frac{1}{3}E_1 + \frac{2}{3}E_2 \\ E_2 = 1 + p(0) + q E_0 = 1 + \frac{2}{3}E_0} \Rightarrow \cases{E_0= 3+E_1 \\ \frac{2}{3}E_1 = 1 + \frac{2}{3}E_2 } \Rightarrow E_0=\bbox[red, 2pt]{33\over 2}$$
解答:$$(\sqrt{3}-1)x - (\sqrt{3}+1)y = 0 \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}x \Rightarrow 斜率m= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} =2-\sqrt 3 =\tan 15^\circ \\ \Rightarrow 鏡射直線的斜角 \alpha = 15^\circ \\假設旋轉角為 \phi，鏡射直線的斜角為 \alpha ，則變換矩陣A= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} \cos(2\alpha - \phi) & \sin(2\alpha - \phi) \\ \sin(2\alpha - \phi) & -\cos(2\alpha - \phi) \end{pmatrix} 剛好也是個鏡射矩陣，鏡射斜角\theta=\alpha-{\phi\over 2}\\ 依題意，將\cases{\phi=170^\circ \\\alpha=15^\circ} 代入\;\theta= 15^\circ - \frac{170^\circ}{2} = -70^\circ \Rightarrow 同界角 \theta = -70^\circ + 180^\circ = \bbox[red, 2pt]{110^\circ }$$
解答:$$兩圓均與直線 L: y = mx 和 x 軸相切，且其中一個交點為位於第一象限的 P(6, 3) \\ 因此圓心必落在 L 與 x 軸的交角平分線上 \Rightarrow 可假設\cases{圓心(a,r), r\gt 0 \\ 角平分線:y=kx } \Rightarrow r= ka \Rightarrow a=r/k\\ 圓方程式:(x-a)^2+(y-r)^2=r^2 \Rightarrow \left(6 - \frac{r}{k}\right)^2 + (3 - r)^2 = r^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{k^2}r^2 - \left(\frac{12}{k} + 6\right)r + 45 = 0 \Rightarrow 兩根之和:r_1+r_2 = \frac{\frac{12}{k} + 6}{\frac{1}{k^2}} = 12k + 6k^2 = \frac{15}{2} \\ \Rightarrow 4k^2+8k-5=0 \Rightarrow (2k-1)(2k+5)=0 \Rightarrow k={1\over 2}\\ (若k=-5/2 \Rightarrow 4r^2-30r+1125=0 無實數解, 不合)\\ 角平分線的斜率 k = \tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow 直線 L 的斜率 m = \tan(2\alpha) ={2\tan \alpha\over 1-\tan^2 \alpha}={2\cdot (1/2)\over 1-(1/2)^2} = \bbox[red, 2pt]{4\over 3}$$
解答:$$假設在輪到甲投擲的「常規狀態」下，甲最終獲勝的機率為 x \Rightarrow x= p+(1-p)^2 x\\ \Rightarrow x(2p-p^2)=p \Rightarrow x={1\over 2-p}\\ 遊戲從頭開始，假設甲獲勝的總機率為P, 甲獲勝的方式:\\ (1)甲第一擲就獲勝:機率為 p\\ (2)甲第一擲失敗(機率1-p)，乙連續兩次都失敗(機率(1-p)^2),遊戲進入「常規狀態」\\ 因此甲獲勝總機率P=p+(1-p)^3\cdot x=p+{(1-p)^3\over 2-p} ={1\over 2} \\ \Rightarrow 2p^3 - 4p^2 + p = 0 \Rightarrow p(2p^2-4p+1)=0 \Rightarrow p= \bbox[red, 2pt]{2-\sqrt 2\over 2}$$
二、申論教案題(佔 40 分)
$$\bbox[red, 2pt]{略}$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
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