國中數學難題解析(3題)：相似與比例

壹、已知三角形ABC的面積為10，且D、E、F分別為邊$\overline{BC}$、$\overline{AC}$及$\overline{AB}$上的點，此三點異於A點，使得$\overline{BD}=2$、$\overline{DC}=3$，如圖所示。如果$\triangle BCE$的面積等於四邊形DCEF的面積，試問$\triangle BCE$的面積為何？

(A)4  (B)5  (C)6  (D)$\frac{5}{3}\sqrt{10}$

解：

$\triangle BCE$的面積等於四邊形DCEF的面積
$\Rightarrow \triangle BGD$面積=$\triangle EFG \Rightarrow \triangle BDE$面積=$\triangle EFD$面積
由於$\triangle BDE$與$\triangle EFD$有共同的底，即線段$\overline{DE}$。由於兩者面積相同，代表$\overline{DE}$至點F的距離與至點B的距離相同，因此$\overline{FB}$與$\overline{ED}$平行。
$$\overline{ED}//\overline{FB}\Rightarrow \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{DB}}=\frac{3}{2}\\ \frac{\triangle BAE}{\triangle BCE}=\frac{2}{3}\Rightarrow \triangle BCE=\frac{3}{5}\times\triangle ABC = \frac{3}{5}\times 10 = 6$$ 故選(C)。

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貳、如上圖，$\triangle ABC$中，已知$\overline{DF}//\overline{AE}$，E、F三等分$\overline{BC}$，且D為$\overline{AC}$的中點，求$\overline{AG}:\overline{GE}$?
解：
在$\triangle BFD$中，由於$\overline{EG}//\overline{FD}且\overline{BE}=\overline{EF}$，所以$\overline{FD}=2\overline{EG}$；
在$\triangle CAE$中，由於$\overline{DF}//\overline{AE}且\overline{CF}=\overline{EF}$，所以$\overline{AE}=2\overline{DF}$；

因此 $$\overline{AE}=2\overline{DF}=2\times 2\overline{EG}=4\overline{EG}\\ \Rightarrow \overline{AE}=\overline{AG}+\overline{GE}=4\overline{GE}\Rightarrow \overline{AG}=3\overline{GE}\\ \Rightarrow \overline{AG}:\overline{GE}=3:1$$

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參、如上圖，梯形ABCD中，$\overline{AB}//\overline{CD}，\overline{AB}:\overline{CD}$=3:4，E點是$\overline{AD}$的中點，F點與G點三等分$\overline{BC}$，則四邊形ABFE與四邊形GEDC的面積比為何？
(A)9:16      (B)16:9    (C)9:13    (D)13:9
解：
連接E、B兩點及E、C兩點，分別得線段$\overline{EB}$及$\overline{EC}$，如下圖：

由於$\overline{AB}//\overline{DC}$且E為$\overline{AD}$中點，所以$\overline{AB}$至點E的距離與$\overline{DC}$至點E的距離相同。因此$\triangle ABE與\triangle EDC$的面積比=$\overline{AB}:\overline{DC}$=3:4 ---------------(1)
此外，E為$\overline{AD}$中點，所以$\triangle EBC$的面積是梯形ABCD的一半。

關於這一點，還是稍為解釋一下：
在梯形ABCD中，$\overline{EP}//\overline{AB}$，且E為$\overline{AD}$中點，如下圖

假設梯形的高為h，則梯形面積為$(\overline{AB}+\overline{CD})\times\frac{h}{2}$；
由於$\triangle BEC$面積=$\triangle BEP+\triangle CEP$=$\overline{EP}\times\frac{h}{4}+\overline{EP}\times\frac{h}{4}$=$\overline{EP}\times\frac{h}{2}$。
$\overline{EP}$為梯形的中線，所以$\overline{EP}=(\overline{AB}+\overline{CD})/2$，代入上式可得$\triangle BEC$面積=$\overline{EP}\times\frac{h}{2}$=$\overline{AB}+\overline{CD})/2 \times\frac{h}{2}$=梯形面積的一半。
由於$\triangle EBC$的面積是梯形ABCD的一半，所以$\triangle ABE+\triangle EDC$的面積=$\triangle EBC$的面積=梯形ABCD的一半。
令$\triangle ABE$面積=3a$\Rightarrow \triangle ECD$面積=4a$\Rightarrow  \triangle BEC$面積=3a+4a=7a；
又F點與G點三等分$\overline{BC}$，所以$\triangle BEF=\triangle FEG=\triangle GEC$=$\triangle BEC$/3=7a/3

因此四邊形ABFE與四邊形GEDC的面積比=(3a+7a/3):(4a+7a/3)=(16a/3):(19a/3)=16:19，故選(B)。