106學年度四技二專統測--數學(A)詳解

解：
公差\(d=a_2-a_1\)=2-3=-1\(\Rightarrow S_{16}=(2a_1+15d)\times 16\div 2=(6-15)\times 8\)=-72，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
公比r=3/2，因此\(a=2\div r = 2\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3},b=3\times r=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)，則a+b=\(\frac{4}{3}+\frac{9}{2}=\frac{8}{6}+\frac{27}{6}=\frac{35}{6}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：令圓心角為\(\theta\)，半徑為r，則$$\begin{cases} a=r\theta  \\ b=\frac { 1 }{ 2 } { r }^{ 2 }\theta  \end{cases}且2a=b\Rightarrow 2r\theta =\frac { 1 }{ 2 } { r }^{ 2 }\theta \Rightarrow { r }^{ 2 }\theta -4r\theta =0\\ \Rightarrow r\theta (r-4)=0\Rightarrow r=4$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

甲：-640=-640+720=80，在第1象限

乙：123在第2象限

丙：275在第4象限

丁：640=640-360=280在第4象限

故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

116公分位於最右(第5)區塊，轉出一位116公位代表最右區塊高度由4→3

113公分位於第4區塊，轉入一位113公位代表第4區塊高度由7→8

故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

斜率=\(\frac{5-0}{-1-0}=\frac{5}{-1}\)=-5，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
$$7x^2-48x-7>0\Rightarrow (7x+1)(x-7)>0\Rightarrow x>7 or x<\frac{-1}{7}$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
利用餘弦定理，即$${ \overline { AB }  }^{ 2 }=2^{ 2 }+2^{ 2 }-2\times 2\times 2\times \cos  (20°+20°)=8-8\cos  (2\times 20°)\\=8-8\left[ 2\cos ^{ 2 }{ 20° } -1 \right]  =16-16\cos ^{ 2 }{ 20° } =16\left[ 1-\cos ^{ 2 }{ 20° }  \right] \\ =16\sin ^{ 2 }{ 20° } \Rightarrow \overline { AB } =4\sin { 20° } $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
令\(\overrightarrow{CA}=(a,b)\)，則\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=(0,0)\)。因此(3+1+a)=0, 且(-4+1+b)=0，可得a=-4,b=3，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
$$令x^3+ax^2+bx-6=(x^2-x+3)(mx+n)\Rightarrow m=1,n=-2\\x^3+ax^2+bx-6=(x^2-x+3)(x-2)=x^3-3x^2+5x-6\Rightarrow a=-3, b=5\\ \Rightarrow a+b=2$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
依題意 f(x)=(x-3)P(x)+95\(\Rightarrow\)f(3)=95\(\Rightarrow\)f(3)=81+9a+15+62=9a+158=95 \(\Rightarrow\)a=-7，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=6\Rightarrow (x-1,1)\cdot(x+2,2)=6\Rightarrow (x-1)(x+2)+2=6\\ x^2+x-6=0\Rightarrow \alpha+\beta=-1$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：$$\sqrt{32}=2^a\Rightarrow 2^{\frac{5}{2}}=2^a\Rightarrow a=\frac{5}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{8}}=2^b\Rightarrow 2^{-\frac{3}{2}}=2^b\Rightarrow b=-\frac{3}{2}\\ a+b=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：$$\log_8a=\frac{1}{2}\Rightarrow a=8^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\\ \Rightarrow \log_2(\frac{a}{2})=\log_2(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{2})=\log_2(2^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

由上圖可知：$$\sin { A } +\tan { B } +\cos { C } =1+\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 3 }{ 5 } =\frac { 20+15+12 }{ 20 } =\frac { 47 }{ 20 } $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：

點(100,0)在陰影區域內，僅有(A)之二式均包含(100,0)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
圓\(C_1\)之圓心為(-6, -2)，半徑為2；$$C_{ 2 }:x^{ 2 }+y^{ 2 }-12x-6y+20=0\Rightarrow { (x-6) }^{ 2 }+{ (y-3) }^{ 2 }=5^{ 2 }\Rightarrow 圓心為(6,3),半徑為5\\ \Rightarrow d=\sqrt { 12^{ 2 }+5^{ 2 } } =13\Rightarrow d-r_1-r_2=13-2-5=6$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
兩個1組、兩個1組、3個1組共有\(\frac { 7! }{ 2!2!3! } =210\)排法，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
四種配菜選二種，共有\(C_2^4\)=6種選法
三種主菜選一種，共有3種選法
五種飲料選一種，共有5種選法
所以共可搭配\(6\times 3\times 5\)=90種套餐，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
擲二粒骰子共有6\(\times\)6=36種情形，其中
A={點數和小於7}={(5,1)、(1,5)、(4,2)、(2,4)、(3,3)、
(4,1)、(1,4)、(3,2)、(2,3)、(3,1)、(1,3)、(2,2)、(2,1)、(1,2)、(1,1)}有15種情形
B={點數和為5的倍數}={(6,4)、(4,6)、(5,5)、(4,1)、(1,4)、(3,2)、(2,3)}有7種情形
A\(\cup\)B={{(5,1)、(1,5)、(4,2)、(2,4)、(3,3)、(4,1)、(1,4)、(3,2)、(2,3)、(3,1)、(1,3)、(2,2)、(2,1)、(1,2)、(1,1)、(6,4)、(4,6)、(5,5)}有18種情形
因此P(A\(\cup\)B)=18/36=1/2，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：a=\(\pi\)、b=\(2\pi \Rightarrow\)a+2b=\(\pi+4\pi=5\pi\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
每個數都乘以0.6再加40，所以新的標準差是原來的0.6倍，因此舊的標準差為15\(\div\)0.6=25等，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

由上圖可知：成績低於70分的比率為50%+34%=84%，即840人，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

聯立不等式的交點分別為A、B、C三點，如上圖。
將三點分別代入f(x,y)，可得f(A)=4-12=-8、f(B)=6-12=-6、f(C)=2-4=-2。
因此最大值M=-2，最小值m=-8，則M-m=-2+8=6，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
10球取2球，共有\(C_2^{10}\)=45種取法
(1)兩球中有個金球，共有9種取法，機率為9/45=1/5
(2)兩顆皆為白球，共有\(C_2^6\)=15種取法，機率為15/45=1/3
(3)一紅球一白球，共有\(C_1^3\times C_1^6=3\times 6\)=18種取法，機率為18/45=2/5
期望值為\(20000\times\frac{1}{5}+2400\times\frac{1}{3}+1000\times\frac{2}{5}\)=4000 +800  +400  = 5200，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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