106學年度四技二專統測--數學(B)詳解

解：

斜率=$\frac{5-a}{a-2}=2\Rightarrow  5-a=2a-4\Rightarrow  3a=9\Rightarrow  a=3$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} 2\sin { x } +1=1 \\ 2\sin { x } +1=0 \\ 2\sin { x } +1=-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sin { x } =0 \\ \sin { x } =\frac { -1 }{ 2 }  \\ \sin { x } =-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=0,\pi ,2\pi  \\ x=\frac { 7\pi  }{ 6 } ,\frac { 11\pi  }{ 6 }  \\ x=\frac { 3\pi  }{ 2 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=2 \\ c=1 \end{cases}$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} A=\left( \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } ,\sin { \frac { \pi  }{ 6 }  }  \right) =\left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 2 }  \right)  \\ B=\left( \cos { \frac { 11\pi  }{ 6 }  } ,\tan { \frac { 11\pi  }{ 6 }  }  \right) =\left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } ,-\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { AB } =\sqrt { { 0 }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 3 }$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\tan { \theta  } +\sec { \theta  } =\frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } +\frac { 1 }{ \cos { \theta  }  } =\frac { \frac { 7 }{ 25 }  }{ \frac { -24 }{ 25 }  } +\frac { 1 }{ \frac { -24 }{ 25 }  } =\frac { \frac { 32 }{ 25 }  }{ \frac { -24 }{ 25 }  } \\ =\frac { 32 }{ 25 } \times \frac { 25 }{ -24 } =\frac { -32 }{ 24 } =\frac { -4 }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\overrightarrow { AB } \cdot \overrightarrow { BC } =\left( 2-1,3-a \right) \cdot \left( 5-2,1-3 \right) =\left( 1,3-a \right) \cdot \left( 3,-2 \right) \\ =3+-6+2a=2a-3 \Rightarrow 2a-3=1\Rightarrow a=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $${ \left( 0.027 \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }+{ \left( \frac { 243 }{ 32 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left( \frac { 27 }{ 1000 }  \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }+{ \left( \frac { 243 }{ 32 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }={ \left( \frac { { 3 }^{ 3 } }{ { 10 }^{ 3 } }  \right)  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }+{ \left( \frac { { 3 }^{ 5 } }{ { 2 }^{ 5 } }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }\\ ={ \left( \frac { 3 }{ 10 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 3 }{ 2 }  \right)  }=\frac { 9 }{ 100 } +\frac { 3 }{ 2 } =\frac { 9 }{ 100 } +\frac { 150 }{ 100 } =\frac { 159 }{ 100 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $${ \left( \log { 2 }  \right)  }^{ 2 }+\log { 2 } \log { 5 } +\log { 5 } =\log { 2 } \left[ \log { 2 } +\log { 5 }  \right] +\log { 5 } \\ =\log { 2 } \times \log { 10 } +\log { 5 } =\log { 2 } +\log { 5 } =\log { 10 } =1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：1、a、2a為等比數列$\Rightarrow  a^2=2a\Rightarrow  a^2-2a+1=1\Rightarrow  (a-1)^2=1\Rightarrow a=2 \Rightarrow a^2+1=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：令h(x)=f(x)+g(x)=$x^3+x^2+(a-5)x+(b+2)$可以被$x^2+1$整除，代表$x^2=-1$代入h(x)為0，即 -x-1+(a-5)x+(b+2)=0$\Rightarrow  (a-6)x+(b+1)=0\Rightarrow  a=6,b=-1\Rightarrow  a+b=5$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
f(1)=0$\Rightarrow$1+a+b=0$\Rightarrow  a+b=-1$
f(-1)=6$\Rightarrow$1-a+b=6$\Rightarrow  a-b=-5$
由上二式可求得a=-3, b=2，因此3a+2b=-9+4=-5，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：由a+b=-1及  ab=-5何求得$(b-a)^2=(b+a)^2-4ab$=1+20=21$\Rightarrow  b-a=\sqrt{21}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\left| \begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & a & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & a & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{matrix} \right| =(5a-4)+(5a+4)=10a=20\Rightarrow a=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x^2-2x-3<0\Rightarrow  (x-3)(x+1)<0  \Rightarrow  -1<x<3\Rightarrow  a=-1,b=3\Rightarrow  a+b=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：主菜有$C_1^3=3$種撰擇，配菜有$C_3^8=56$種選擇。因此可搭配出3$\times$56=168種組合，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：$C_2^5\times  C_2^3\times C_2^3\times C_2^3$=10$\times  3\times  3\times  3$=270，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
點數和為5的情形：(4,1)、(1,4)、(3,2)、(2,3)，共4種情形
點數和為10的情形：(5,5)、(6,4)、(4,6)，共3種情形
點數和為5或為10機率為(4+3)/36=7/36，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
球號是5的倍數：5,10,15,20,25,30，共6種情形，機率為6/34
球號是7的倍數：7,14,21,28，共4種情形，機率為4/34
其他情況共有34-6-4=24種，機率為24/34
期望值=$51\times \frac{6}{34}+85\times\frac{4}{34}+17\times\frac{24}{34}$=9+10+12=31，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：a=12-4=8,  b=12+10=22,  c=40-4-a-10-12=6,  d=40
因此 a+b+c+d=8+22+6+40  =  76，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：99%的信賴區間比95%的信賴區更大，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\sin { \theta  } +\sqrt { 3 } \cos { \theta  } =2\left( \frac { 1 }{ 2 } \sin { \theta  } +\frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } \cos { \theta  }  \right) =2\left( \cos { \frac { \pi  }{ 3 }  } \sin { \theta  } +\sin { \frac { \pi  }{ 3 }  } \cos { \theta  }  \right) \\ =2\sin { \left( \frac { \pi  }{ 3 } +\theta  \right)  } =a\sin { \left( b+\theta  \right)  } \Rightarrow a=2,b=\frac { \pi  }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：大角對大邊，所以角B最大。再利用餘弦定理可得 $$b^{ 2 }=a^{ 2 }+c^{ 2 }-2ac\cos  \angle B\Rightarrow \cos  \angle B=\frac { a^{ 2 }+c^{ 2 }-b^{ 2 } }{ 2ac } =\frac { 2+{ \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  }^{ 2 }-4 }{ 2\times \sqrt { 2 } \times \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } \\ =\frac { 2-2\sqrt { 3 }  }{ 2\times \sqrt { 2 } \times \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } =\frac { -2\left( \sqrt { 3 } -1 \right)  }{ 2\times \sqrt { 2 } \times \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } =\frac { -1 }{ \sqrt { 2 }  } \Rightarrow \angle B=135°$$
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
雙曲線的頂點為(5,0)及(-5,0)，因此a=5+5=10
橢圓長軸為10，因此b=10
所以a+b=10+10=20，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
橢圓E:中心點(0,0), b=4,a=2
圓C：${(x-4)}^2+y^2=2^2$代表圓心(4,0)，半徑=2

兩者相交兩點，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$f\left( x \right) =\frac { { x }^{ 2 }+2x+2 }{ x-2 } \Rightarrow f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 2x+2 }{ x-2 } -\frac { { x }^{ 2 }+2x+2 }{ { \left( x-2 \right)  }^{ 2 } } \\ \Rightarrow f^{ ' }\left( 1 \right) =\frac { 4 }{ -1 } -\frac { 5 }{ 1 } =-9$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\int _{ 0 }^{ 2 }{ 6x{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ 2 } } dx=\int _{ 0 }^{ 2 }{ 6x{ \left( { x }^{ 4 }-2{ x }^{ 2 }+1 \right)  } } dx\\ =\int _{ 0 }^{ 2 }{ 6{ x }^{ 5 }-12{ x }^{ 3 }+6x } dx =\left. \left( x^{ 6 }-3x^{ 4 }+3x^{ 2 } \right)  \right| _{ 0 }^{ 2 }\\ ={ 2 }^{ 6 }-3\times { 2 }^{ 4 }+3\times { 2 }^{ 2 }=64-48+12=28$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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