106學年度四技二專統測--數學(S)詳解

解：
令該直線方程式為y=mx+b，代入A、B兩點可得 $$\begin{cases} 2=m+b \\ 4=2m+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m=2 \\ b=0 \end{cases}$$ ，該直線為y=2x。僅有選項(B)合乎直線方程式，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：a=(2+2)/2=2, b=(2+4)/2=3，因此a+b=2+3=5，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$f\left( x \right) =g\left( x \right) \left( x^{ 2 }+3x+2 \right) +\left( x+4 \right) =g\left( x \right) \left( x+2 \right) \left( x+1 \right) +\left( x+1 \right) +3\\ =\left( x+1 \right) \left[ g\left( x \right) \left( x+2 \right) +1 \right] +3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} f\left( 2 \right) =10 \\ f\left( -1 \right) =4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 4+2a+b=10 \\ 1-a+b=4 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 2a+b=6 \\ -a+b=3 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=4 \end{cases}\Rightarrow a+b=5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：$x^2$-6x+k=(x-a)(x-b)=$x^2-(a+b)x+ab\Rightarrow a+b=6$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\frac { 2\pm \sqrt { 4-4a }  }{ 2a } >0\Rightarrow \begin{cases} 4-4a>0 \\ a>0 \\ 2>\sqrt { 4-4a }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 1>a \\ a>0 \\ a>0 \end{cases}\Rightarrow 1>a>0$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

區域R=梯形ABED+三角形BCE=$(3+7)\times 4\div 2 + 1\times 3\div 2$=20+(3/2)=21.5，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

該區域由四個頂點：A、B、C、D所圍繞。將頂點代入f，可求其極值：
f(A)=-6+4=-2、f(B)=16-2+4=18、f(C)=18+4=22、f(D)=4，因此最大值為22，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

20→40→80→160，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
首項a=1.5，公差=-0.25。5項總和=1.5+(1.5-0.25)+(1.5-0.5)+(1.5-0.75)+(1.5-1)=7.5-2.5=5，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

主角由A走到B，鏡頭位於C點，如上圖。由於三角形ABC為直角，且角C為直角，因此B、C相距10x2=20公尺，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
$\frac{21}{4}\pi=\frac{21}{4}\pi-4\pi=\frac{5}{4}\pi$位於第三象限
(A)$\frac{44}{9}\pi=\frac{44}{9}\pi-4\pi=\frac{8}{9}\pi$位於第二象限
(B)$\frac{36}{7}\pi=\frac{36}{7}\pi-4\pi=\frac{8}{7}\pi$位於第三象限
(C)$\frac{29}{5}\pi=\frac{29}{5}\pi-4\pi=\frac{9}{5}\pi$位於第四象限
(D)$\frac{23}{3}\pi=\frac{23}{3}\pi-6\pi=\frac{5}{3}\pi$位於第四象限
，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

sin5 = 0.9/10=0.09，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：扇形面積為圓面積的八分之一，即$10^2\pi\div 8=12.5\pi$=39.25，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

\(\vec{OP}+\vec{OQ}=(2,3)+(-5,7)=(-3,10)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\begin{cases} L_{ 1 }:5x-12y=7 \\ L_{ 2 }:5x-12y=-6 \end{cases}\Rightarrow \overline { L_{ 1 }L_{ 2 } } =\frac { 7-(-6) }{ \sqrt { { 5 }^{ 2 }+{ 12 }^{ 2 } }  } =\frac { 13 }{ 13 } =1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $${ 3 }^{ x }-5=\log _{ 2 }{ 16 } =\log _{ 2 }{ { 2 }^{ 4 } } =4\Rightarrow { 3 }^{ x }=4+5=9\Rightarrow x=2$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\frac { { 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } }{ { 2 }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 4 }  } } ={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 4 }  }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 5 }{ 12 }  }={ 2 }^{ x }\cdot { 3 }^{ y }\\ \Rightarrow x=\frac { 1 }{ 6 } ,y=\frac { 5 }{ 12 } \Rightarrow x+y=\frac { 7 }{ 12 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

圓心至直線的距離=$\left| \frac { 3-4\times 2+1 }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 4 }{ 5 } <1$(半徑)，因此相交於兩點，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
三角形BCO為直角三角形$\Rightarrow \overline{OC}=3\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$=4/(5+3)=1/2，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

$3\times 3\times 5\times 2$=90，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

選出演員後並不需要排列，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
抽出1張流行音樂及1張古典音樂有$3\times 2=6$種情形，5張CD隨機抽出2張，共有$C_2^5$=10種情形，因此機率為6/10=3/5，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
A={(6,2)、(2,6)、(3,5)、(5,3)、(4,4)、(4,5)、(5,4)、(6,3)、(3,6)、(6,4)、(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,5)、(6,6)}，共15種
B={(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)、(1,4)、(2,4)、(3,4)、(5,4)、(6,4)}，共11種
A與B均包含{(4,4)、(4,5)、(5,4)、(6,4)、(4,6)}，共5種
A$\cup$B=共有15+11-5=21種情形，機率為21/36=7/12，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：

改一個數字，平均值隨之調整，因此標準差也隨之改變，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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