106學年度四技二專統測--數學(C)詳解

解：
2x+y=11$\Rightarrow$y=11-2x代入拋物線，可得$x^2-4=11-2x\Rightarrow x^2+2x-15=0 \Rightarrow$(x+5)(x-3)=0$\Rightarrow$x=-5,x=3$\Rightarrow$A=(-5,21), B=(3,5)。
因此直線$\overline{AB}$方程式為2x+y=11。

令P=(a,11-2a)，則 $$\frac { \overline { AP }  }{ \overline { BP }  } =\frac { 2 }{ 1 } \Rightarrow \frac { \sqrt { { \left( a+5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 10+2a \right)  }^{ 2 } }  }{ \sqrt { { \left( a-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 6-2a \right)  }^{ 2 } }  } =\frac { 2 }{ 1 } \Rightarrow \frac { { \left( a+5 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 10+2a \right)  }^{ 2 } }{ { \left( a-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 6-2a \right)  }^{ 2 } } =\frac { 4 }{ 1 } \\ \Rightarrow \frac { { 5a }^{ 2 }+50a+125 }{ { 5a }^{ 2 }-30a+45 } =\frac { 4 }{ 1 } \Rightarrow { 5a }^{ 2 }+50a+125={ 20a }^{ 2 }-120a+180\\ \Rightarrow { 15a }^{ 2 }-170a+55=0\Rightarrow (3a-1)(a-11)=0\Rightarrow a=11,\frac { 1 }{ 3 } \\ \Rightarrow P=(a,11-2a)=(11,-11)or(\frac { 1 }{ 3 } ,\frac { 31 }{ 3 } )$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\tan { \theta  } \csc { \theta  } =-1+6\cos { \theta  } \Rightarrow \frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  } \times \frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } =-1+6\cos { \theta  } \Rightarrow 6\cos ^{ 2 }{ \theta  } -\cos { \theta  } -1=0\\ \Rightarrow \left( 3\cos { \theta  } +1 \right) \left( 2\cos { \theta  } -1 \right) =0\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { -1 }{ 3 } (\frac { 1 }{ 2 } 不合,\theta 在第3象限)\Rightarrow \tan { \theta  } =2\sqrt { 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} \sin { 18° } =\cos { \left( 90°-18° \right)  } =\cos { 72° }  \\ \sin { 36° } =\cos { \left( 90°-36° \right)  } =\cos { 54° }  \end{cases}\\ \Rightarrow \sin ^{ 2 }{ 18° } +\sin ^{ 2 }{ 36° } +\sin ^{ 2 }{ 54° } +\sin ^{ 2 }{ 72° } +\sin ^{ 2 }{ 90° } \\ =\cos ^{ 2 }{ 72° } +\cos ^{ 2 }{ 54° } +\sin ^{ 2 }{ 54° } +\sin ^{ 2 }{ 72° } +1\\ =\left( \cos ^{ 2 }{ 54° } +\sin ^{ 2 }{ 54° }  \right) +\left( \cos ^{ 2 }{ 72° } +\sin ^{ 2 }{ 72° }  \right) +1\\ =1+1+1=3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\sin { \theta  } =\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 }  }{ 4 } \Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { \sqrt { 6 } +\sqrt { 2 }  }{ 4 } \\ \Rightarrow \tan { 2\theta  } =\frac { \sin { 2\theta  }  }{ \cos { 2\theta  }  } =\frac { 2\sin { \theta  } \cos { \theta  }  }{ 2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -1 } =\frac { \frac { 1 }{ 2 }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
由於$7^2+24^2=25^2$，所以該三角形為直角三角形。
因此外接圓半徑=斜邊的一半=25/2；內切圓半徑=(7+24)-(7+24+25)/2 =31-28=3
r/R=3/(25/2)=6/25=0.24，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\left( t\vec { a } +(1-t)\vec { b }  \right) \cdot \left( \vec { a } -\vec { b }  \right) =t\vec { a } \cdot \vec { a } -t\vec { a } \cdot \vec { b } +(1-t)\vec { b } \cdot \vec { a } -(1-t)\vec { b } \cdot \vec { b } \\ =t+2t-2(1-t)-5(1-t)=t+2t-2+2t-5+5t=10t-7=0\Rightarrow t=\frac { 7 }{ 10 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\frac { -x^{ 2 } }{ x^{ 2 }-4 } =\frac { 1 }{ x+2 } +\frac { 2 }{ x-2 } =\frac { \left( x-2 \right) +2\left( x+2 \right)  }{ \left( x+2 \right) \left( x-2 \right)  } =\frac { 3x+2 }{ x^{ 2 }-4 } \\ \Rightarrow -x^{ 2 }=3x+2\Rightarrow (x+2)(x+1)=0\Rightarrow x=-1(x=-2會使原式分母為0)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} \left| x+y \right| =2 \\ \left| x-y-4 \right| =0 \\ \left| 2x+3y-z \right| =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=\pm 2 \\ x-y-4=0 \\ 2x+3y-z=0 \end{cases}\Rightarrow \left( x,y,z \right) =\left( 3,-1,3 \right) or(1,-3,-7)$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\left( C \right) t=1\Rightarrow \begin{cases} 2x=1 \\ 2y+z=3 \\ 2y+z=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=1/2 \\ 矛盾 \\ 矛盾 \end{cases}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & { x }^{ 2 } \\ 1 & 10 & 121 \end{matrix} \right| =121x+10+x^{ 2 }-x-121-10x^{ 2 }=-9x^{ 2 }+120x-111=0\\ \Rightarrow 3x^{ 2 }-40x+37=0\Rightarrow (3x-37)(x-1)=0\Rightarrow x=\frac { 37 }{ 3 } ,1\Rightarrow \frac { 37 }{ 3 } +1=\frac { 40 }{ 3 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$\omega =\frac { -1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } \Rightarrow 2\omega +1=\sqrt { 3 } i\Rightarrow 4\omega ^{ 2 }+4\omega +1=-3\\ \Rightarrow \omega ^{ 2 }+\omega +1=0\Rightarrow (\omega -1)(\omega ^{ 2 }+\omega +1)=0\Rightarrow \omega ^{ 3 }=1\\ \Rightarrow \frac { { \omega  }^{ 107 } }{ \omega +1 } =\frac { { \omega  }^{ 3^{ 35 } }\times \omega ^{ 2 } }{ \omega +1 } =\frac { \omega ^{ 2 } }{ \omega +1 } =\frac { -(\omega +1) }{ \omega +1 } =-1$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} -x^{ 2 }+6x+b>0 \\ \left| x+a \right| <5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }-6x-b<0 \\ -5<x+a<5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} (x-3)^{ 2 }<b+9 \\ -5-a<x<5-a \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} -\sqrt { b+9 } <x-3<\sqrt { b+9 }  \\ -5-a<x<5-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3-\sqrt { b+9 } <x<3+\sqrt { b+9 }  \\ -5-a<x<5-a \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 3+\sqrt { b+9 } =5-a \\ 3-\sqrt { b+9 } =-5-a \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sqrt { b+9 } =2-a \\ \sqrt { b+9 } =8+a \end{cases}\Rightarrow 2-a=8+a\\ \Rightarrow a=-3\Rightarrow \sqrt { b+9 } =5\Rightarrow b=16\Rightarrow a+b=-3+16=13$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：令公比=r，則b=ar 及 c=$ar^2$ $${ \left( a+b+c \right)  }^{ 2 }=a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 }+2\left( ab+bc+ca \right) \Rightarrow 81=189+2\left( ab+bc+ca \right) \\ \Rightarrow -54=ab+bc+ca=ab+bc+b^{ 2 }=b\left( a+b+c \right) =9b\Rightarrow b=-54/9=-6$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$\begin{cases} \log { a } =\frac { 1 }{ 2 } \log { \frac { 1 }{ 2 } =\frac { -\log { 2 }  }{ 2 } =\frac { -3\log { 2 }  }{ 6 } =\frac { -\log { 8 }  }{ 6 }  }  \\ \log { b } =\frac { 1 }{ 3 } \log { \frac { 1 }{ 3 } =\frac { -\log { 3 }  }{ 3 } =\frac { -2\log { 3 }  }{ 6 } =\frac { -\log { 9 }  }{ 6 }  }  \\ \log { c } =\frac { 1 }{ 6 } \log { \frac { 1 }{ 6 } =\frac { -\log { 6 }  }{ 6 } =\frac { -\log { 6 }  }{ 6 }  } =\frac { -\log { 6 }  }{ 6 }  \end{cases}\\ \log { 9 } >\log { 8 } >\log { 6 } \Rightarrow \log { c } >\log { a } >\log { b }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\log _{ 10 }{ x } =\log _{ 10 }{ { \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 20 } } =20\log _{ 10 }{ \frac { 1 }{ 3 }  } =-20\log _{ 10 }{ 3 } \\ =-20\times 0.4771=-9.542\Rightarrow m=-10,尾數=0.458\\ \Rightarrow m=-10,n=4\Rightarrow m+n=-6$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
十個中文字中，四有4個、十有4個、個有2個。將4個十綁在一起算1個，所以共有$\frac{7!}{4!2!}$=105種排法，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
將x=1,y=1代入就是所有係數和，因此a=${(1-2)}^4$=1,b=${(1-2)}^5$=-1, 則b/a=-1，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
取出2個紅球有3種取法→得1萬元
取出2個藍球有3種取法→得6千元
取出2個綠球有3種取法→得2千元；
取出1個紅球1個藍球有9種取法→8千元
取出1個紅球1個綠球有9種取法→6千元
取出1個藍球1個綠球有9種取法→4千元
全部有$C_2^9$=36種取法，期望值為 $$10000\times\frac{3}{36}+6000\times\frac{3}{36}+ 2000\times\frac{3}{36}+8000\times\frac{9}{36}+6000\times\frac{9}{36}+4000\times\frac{9}{36}\\=6000$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
第二組資料是第一組資料乘以(-1/3)再減去1，所以平均值也隨著乘以(-1/3)再減去1；而標準差僅與倍數有關，即原標準差乘以(-1/3)，且為正值，，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$\begin{cases} \left( A \right)  & x^{ 2 }-2x+y^{ 2 }+4y+1=0 \\ \left( B \right)  & x^{ 2 }-4x+y^{ 2 }-2y+4=0 \\ \left( C \right)  & x^{ 2 }-2x+y^{ 2 }-4y+4=0 \\ \left( D \right)  & x^{ 2 }-4x+y^{ 2 }-6y+9=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left( A \right)  & { (x-1) }^{ 2 }+{ (y+2) }^{ 2 }=4 \\ \left( B \right)  & { (x-2) }^{ 2 }+{ (y-1) }^{ 2 }=1 \\ \left( C \right)  & { (x-1) }^{ 2 }+{ (y-2) }^{ 2 }=1 \\ \left( D \right)  & { (x-2) }^{ 2 }+{ (y-3) }^{ 2 }=4 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \left( A \right)  & 圓心(1,-2) \\ \left( B \right)  & 圓心(2,1) \\ \left( C \right)  & 圓心(1,2) \\ \left( D \right)  & 圓心(2,3) \end{cases}$$ 圓心需在y=x-1上，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$4x^{ 2 }-16y^{ 2 }+4x+16y+1=0\Rightarrow 4(x^{ 2 }+x+\frac { 1 }{ 4 } )-16(y^{ 2 }-y+\frac { 1 }{ 4 } )=-4\\ \Rightarrow \frac { { \left( y-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } -\frac { { \left( x+\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } }{ 1 } =1\Rightarrow a=\frac { 1 }{ 2 } ,b=1\\ \Rightarrow 貫軸長i=2a=1,正焦弦長j=\frac { 2{ b }^{ 2 } }{ a } =4\Rightarrow i+j=5$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 3 }+ax^{ 2 }+bx+13\Rightarrow f'\left( x \right) =3x^{ 2 }+2ax+b\Rightarrow \begin{cases} f'\left( -1 \right) =3-2a+b=1 \\ f'\left( 0 \right) =b=2 \end{cases}\\ \Rightarrow a=2,b=2\Rightarrow a+b=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解： $$f\left( x \right) =x^{ 3 }-\frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }-6x+3\Rightarrow f'\left( x \right) =3x^{ 2 }-3x-6\\ 令f'\left( x \right) =0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0,則x=2及x=-1時有極值\\ f\left( 2 \right) =8-6-12+3=-7,f\left( -1 \right) =-1-\frac { 3 }{ 2 } +6+3=\frac { 13 }{ 2 } \\ \Rightarrow 兩極值相加=-7+\frac { 13 }{ 2 } =\frac { -1 }{ 2 }$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\int _{ 1 }^{ 5 }{ f\left( x \right)  } dx=\int _{ 1 }^{ 3 }{ f\left( x \right)  } dx+\int _{ 2 }^{ 5 }{ f\left( x \right)  } dx-\int _{ 2 }^{ 3 }{ f\left( x \right)  } dx=1+4-2=3$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：f(x)在x=-1的左極限$x^2+2$及右極限$6-3x^2$都是3，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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