106年國中教育會考數學詳解

 解：$$(-2)\times |-5|-|-3|=(-2)\times 5 - 3=-10-3=-13$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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 解：$$(A)\sqrt{2^2}=2\\(B)\sqrt{3^3}=3\sqrt{3}\\(C)\sqrt{4^4}=\sqrt{16^2}=16\\(D)\sqrt{5^5}=\sqrt{5^2\times 5^2\times 5}=25\sqrt{5}$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：$$6x\dot(3-2x)=18x-12x^2=-12x^2+18$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

各圖形之對稱軸如紅線所示，見下圖：

故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
(2, a)代入第1個方程式可得：4+3a=7，因此a=1；
(2, 1)代入第2個方程式可得：6-2=b，因此b=4；
a+b=1+4=5，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
阿信搭第1節且小怡搭第1節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第2節且小怡搭第2節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第3節且小怡搭第3節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第4節且小怡搭第4節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第5節且小怡搭第5節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
以上五種情形機率總和為\(5\times\frac{1}{25}=\frac{1}{5}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
由三線段長度可知ABC為一直角三角形，且角B為直角。分別以三頂點為圓心，半徑為2可得三圓，如下圖：

，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
\(252=2^2\times 3^2\times 7\)且\(42=2\times 3\times 7\)，
(A)與252的最大公因數為\(2\times 3\times 7=42\)
(B)與252的最大公因數為\(2\times 3^2\times 7=126\)
(C)與252的最大公因數為\(2^2\times 3\times 7=84\)
(D)與252的最大公因數為\(2^2\times 3^2\times 7=252\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
令三年級平均身高為a，則\(178\times 11= \)3a+(172+172+174+176+176+178+178) = 3a+1400，也就是1958=3a+1400，因此a=186；
也可以先計算8人與平均的差值之和為(-6)+(-6)+(-4)+(-4)+(-2)+(-2)+0+0=-24=\((178-a)\times 3\)，即178-a=-8, 也可求出a=186；
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
假設可以買a根，則\(9\times a\times 0.8<200 \Rightarrow a<\frac{1000}{36}=27.7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：$$\begin{cases} \frac { \triangle DBE }{ \triangle ABC } =\frac { 3\times 3 }{ \left( 3+2 \right) \times \left( 3+2 \right)  } =\frac { 9 }{ 25 } \Rightarrow \triangle DBE=\frac { 9 }{ 25 } \triangle ABC \\ \frac { \overline { AD }  }{ \overline { DB }  } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \frac { \triangle ADC }{ \triangle ABC } =\frac { 2 }{ 5 } \Rightarrow \triangle ADC=\frac { 2 }{ 5 } \triangle ABC \end{cases}\\ \Rightarrow \triangle DBE:\triangle ADC=\frac { 9 }{ 25 } :\frac { 2 }{ 5 } =9:10$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：$$x^2-8x=48\Rightarrow x^2-8x+16=48+16\Rightarrow {(x-4)}^2=48+16\Rightarrow a=4,b=16\\ \Rightarrow a+b=20$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

旋轉後：C→E、D→F、A→G，如下圖

因此F座標為(3,2)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

如上圖，\(\angle A=180-88=92, \angle B=180-88=92, \angle C=180-92=88\)
由於\(\angle A=\angle B\Rightarrow L_2與L_3\)平行
又\(\angle C=88\neq 92\Rightarrow L_1與L_3\)不平行
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
假設1粒蝦仁水餃a元、1粒韭菜水餃b元，則威立身上帶有15a=20b元。
買了9粒蝦仁水餃後，剩下15a-9a=6a元，可買6a/b=\(6a\div \frac{15a}{20}=6\times\frac{20}{15}\)=8粒韭菜水餃，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
令\(\angle DAE=a, \angle CAB=b, 及\angle CAD=c\)，如下圖

\(\angle A=124=\angle BAE=a+b+c\)
2a+2b+c=180\(\Rightarrow a+b=180-124=56\Rightarrow c=124-56=68\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
(A) ab+1=\(39^2\Rightarrow ab=39^2-1=(39+1)(39-1)=40\times 38\),不是2質數
(B) ab+1=\(40^2\Rightarrow ab=40^2-1=(40+1)(40-1)=39\times 41\),不是2質數
(C) ab+1=\(41^2\Rightarrow ab=41^2-1=(41+1)(41-1)=42\times 40\),不是2質數
(D) ab+1=\(42^2\Rightarrow ab=42^2-1=(42+1)(42-1)=43\times 41\),是2質數
，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

見上圖：
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow O在\overline{AB}\)的中垂線上;
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OE}\);
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OE}\);

由以上三點可知：點O是\(\triangle ABE\)的外心

O是正方形OEDC的頂點，不在\(overline{ED}\)的中垂線上，所以不是\(\triangle AED\)的外心；，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

由上圖可知：\(\angle 1+\angle 4=180=\angle 4+\angle 2\Rightarrow \angle 1=\angle 2\)
旋轉中間垂直的十字，使其水平線與\(\overline{BC}\)平行，如下圖：

旋轉後\(\angle 1=\angle 2=90且\angle 3>90\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
(A)\(2\times 10^6=2\times\overline{OA}\)
(B)\(4\times 10^6=4\times\overline{OA}\)
(C)\(2\times 10^7=20\times\overline{OA}\)
(D)\(4\times 10^8=400\times\overline{OA}\)
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：
方法1：

\(\triangle AED及\triangle ABC\)皆為直角\(\triangle\)且三個角分別為30°-60°-90°，因此\(\overline{AD}=\overline{AE}\times\sqrt{3}=\sqrt{3}\)，同理\(\overline{ED}=\overline{BC}=2\)；又\(\overline{AB}=\overline{AD}\Rightarrow  \angle B=\angle D=45°\)，因此\(\overline{CH}=\overline{DH}=\frac{\overline{CD}}{\sqrt{2}}=\frac{\overline{AD}-\overline{AC}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\)；$$在直角\triangle BHC中\Rightarrow \frac { \overline { BG }  }{ \overline { BH }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \overline { CH }  } \Rightarrow \frac { \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \\ \Rightarrow \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \Rightarrow \overline { FG } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } \times \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } \times \frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  }^{ 2 } }{ \sqrt { 2 }  } =\frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ 在直角\triangle FGD中\Rightarrow { \overline { FD }  }^{ 2 }={ \overline { FG }  }^{ 2 }+{ \overline { GD }  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }\\ =12-6\sqrt { 3 } \Rightarrow \overline { FD } ={ \sqrt { 12-6\sqrt { 3 }  } = }3-\sqrt { 3 } \\ \overline { EF } =\overline { ED } -\overline { FD } =2-\left( 3-\sqrt { 3 }  \right) =\sqrt { 3 } -1\Rightarrow \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA } \\ =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 } $$

，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

方法2：

如上圖：\(令\overline{FC}長度為a\Rightarrow \overline{FD}=\overline{ED}-\overline{EF}=2-a\)；
在\(\triangle DFG中 \overline{FG}=\overline{FD}\div 2=\frac{2-a}{2}\)
在\(\triangle FCG中 \overline{FG}=\overline{FC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{2-a}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)
因此AEFC周長 = \( \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 }\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

方法3：(最快)

\(\triangle AED及\triangle ABC\)皆為直角\(\triangle\)且三個角分別為30°-60°-90°
\(  \angle  ACF=\angle CFD+\angle  D  \Rightarrow  60=\angle  CFD+30  \Rightarrow  \angle CFD=30\)
同理  \(  \angle EFB\)=30，也就是說\( \triangle  CFD與 \triangle EFB\)皆為等腰，即\( \overline{CF} = \overline{CD}且 \overline{EF}=\overline{EB}\)
因此AEFC周長 = \( \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =\overline { AE } +\overline { EB } +\overline {CD } +\overline { CA }=\overline{AB}+ \overline{AD}= \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

y=a(x+1)(x-7)與X軸交於(-1,0)及(7,0)，因此對稱軸為x=(-1+7)/2=3；

同理y=b(x+1)(x-15)與X軸交於(-1,0)及(15,0)，因此對稱軸為x=(-1+15)/2=7；

x=7向左移4單位就與x=3重疊，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
假設阿輝買了a杯飲料，則小薰買了a+6杯飲料
阿輝當場付了1000元，事後小薰給阿輝120元，所以阿輝花了1000-120=880元，小薰花了2000-880=1120元。
一杯飲料的價格=\(\frac{880}{a}=\frac{1120}{a+6}\Rightarrow a=22\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

假設隔板左邊的水箱底面積為A，右邊的底面積為B，則水量為40A+50B。
隔板拿掉後，水面高度為(40A+50B)/(A+B)
令水箱底面的長為h，寬度為200，則A=\((130+110)\times h\div 2\)=120h, B=\((70+90)\times h\div 2\)=80h；水面高度=(4800h+4000h)/(120h+80h)=8800/200=44，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
數字 a 依序按了三個按鍵後成為\(\sqrt{a}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}\Rightarrow \frac{1}{a}\)
因此數字100依序按了三個按鍵後成為1/100，再依序按了三個按鍵後成為100。
\(100\div 6=16餘4\)，因此按了100下與按4下的結果是一樣，即\(\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

\(在直角\triangle ABR\)中，\(\overline{AB}=4且\overline{BR}=5\Rightarrow \overline{AR}=3\Rightarrow  \overline{RD}=\overline{AD}-\overline{AR}\)=4-3=1
令\(\overline{DS}=a，則{\overline{RS}}^2 =a^2+1\)；
\(在直角\triangle BRS\)中，\({\overline{BS}}^2 = {\overline{BR}}^2+{\overline{RS}}^2=25+a^2+1\)
\(在直角\triangle BSC\)中，\({\overline{BS}}^2 = {\overline{BC}}^2+{\overline{CS}}^2=16+{(4-a)}^2\)
因此 \(25+a^2 +1=16+{(4-a)}^2\Rightarrow  8a=6\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)
四邊形RBCS面積=\(\triangle  BQR+梯形SCQR=\overline{RQ}\times\overline{BQ}\div  2  + ( \overline{SC}+\overline{RQ}) \times \overline{RD}\div 2\)  =  \(4\times  3\div  2+((4-a)+4)\div  2 \) = 6+(8-a)/2  =  \(10-\frac{a}{2}=10-\frac{3}{8}=\frac{77}{8}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

另解(網友提供)：$$\cases{  \angle ARB+ \angle DRS = 90^\circ \\ \angle ARB+ \angle ABR = 90^\circ} \Rightarrow \angle DRS= \angle ABR\;加上\; \angle A=\angle D=90^\circ \\ \Rightarrow \triangle ABR \sim \triangle DRS (符合AAA) \Rightarrow {\triangle DRS \over \triangle ABR} = {\overline{DR}^2 \over \overline{AB}^2} ={1\over 16 }\\ \Rightarrow \triangle DRS = {1\over 16} \triangle ABR ={1\over 16}\times (3\times 4\div 2)= {3\over 8} \\\Rightarrow RBCS面積=ABCD- \triangle ABR-\triangle DRS =16 -6 -{3\over 8} ={77\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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非選擇題

解：
(1)
甲得票數=200+286+97 = 583、乙得票數=211+85+41=337、丙得票數=147+244+205=596
(2)還有250票尚未開出，若全部都是投給乙，則乙的得票數為337+250=587，仍低於丙的得票數，所以乙候選人沒有機會當選；若全部投給甲，則甲的票數為583+250=833高於丙的票數，因此甲候選人仍有機會當選。

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解：
(1)C點代入直線L可得：\(5\times 6-3\times 0=k\Rightarrow k=30\)
(2)由k值可求得直線L的y截距為10，即\(\overline{OD}=10\)，如下圖

由於\(\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{3}{5}=\frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}\)，且\(\angle AOB=\angle COD=90°\)，滿足SAS (一組對應角相等且夾此等角的兩邊應成比例)，所以\(\triangle AOB與\triangle COD\)相似。

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-- end --