106年國中教育會考數學詳解

 解： $$(-2)\times |-5|-|-3|=(-2)\times 5 - 3=-10-3=-13$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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 解： $$(A)\sqrt{2^2}=2\\(B)\sqrt{3^3}=3\sqrt{3}\\(C)\sqrt{4^4}=\sqrt{16^2}=16\\(D)\sqrt{5^5}=\sqrt{5^2\times 5^2\times 5}=25\sqrt{5}$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解： $$6x\dot(3-2x)=18x-12x^2=-12x^2+18$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

各圖形之對稱軸如紅線所示，見下圖：

故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
(2, a)代入第1個方程式可得：4+3a=7，因此a=1；
(2, 1)代入第2個方程式可得：6-2=b，因此b=4；
a+b=1+4=5，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
阿信搭第1節且小怡搭第1節的機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
阿信搭第2節且小怡搭第2節的機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
阿信搭第3節且小怡搭第3節的機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
阿信搭第4節且小怡搭第4節的機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
阿信搭第5節且小怡搭第5節的機率為$\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}$
以上五種情形機率總和為$5\times\frac{1}{25}=\frac{1}{5}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
由三線段長度可知ABC為一直角三角形，且角B為直角。分別以三頂點為圓心，半徑為2可得三圓，如下圖：

，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
$252=2^2\times 3^2\times 7$且$42=2\times 3\times 7$，
(A)與252的最大公因數為$2\times 3\times 7=42$
(B)與252的最大公因數為$2\times 3^2\times 7=126$
(C)與252的最大公因數為$2^2\times 3\times 7=84$
(D)與252的最大公因數為$2^2\times 3^2\times 7=252$

故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
令三年級平均身高為a，則$178\times 11=$3a+(172+172+174+176+176+178+178) = 3a+1400，也就是1958=3a+1400，因此a=186；
也可以先計算8人與平均的差值之和為(-6)+(-6)+(-4)+(-4)+(-2)+(-2)+0+0=-24=$(178-a)\times 3$，即178-a=-8, 也可求出a=186；
故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
假設可以買a根，則$9\times a\times 0.8<200 \Rightarrow a<\frac{1000}{36}=27.7$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{cases} \frac { \triangle DBE }{ \triangle ABC } =\frac { 3\times 3 }{ \left( 3+2 \right) \times \left( 3+2 \right)  } =\frac { 9 }{ 25 } \Rightarrow \triangle DBE=\frac { 9 }{ 25 } \triangle ABC \\ \frac { \overline { AD }  }{ \overline { DB }  } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \frac { \triangle ADC }{ \triangle ABC } =\frac { 2 }{ 5 } \Rightarrow \triangle ADC=\frac { 2 }{ 5 } \triangle ABC \end{cases}\\ \Rightarrow \triangle DBE:\triangle ADC=\frac { 9 }{ 25 } :\frac { 2 }{ 5 } =9:10$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$x^2-8x=48\Rightarrow x^2-8x+16=48+16\Rightarrow {(x-4)}^2=48+16\Rightarrow a=4,b=16\\ \Rightarrow a+b=20$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

旋轉後：C→E、D→F、A→G，如下圖

因此F座標為(3,2)，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

如上圖，$\angle A=180-88=92, \angle B=180-88=92, \angle C=180-92=88$
由於$\angle A=\angle B\Rightarrow L_2與L_3$平行
又$\angle C=88\neq 92\Rightarrow L_1與L_3$不平行
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
假設1粒蝦仁水餃a元、1粒韭菜水餃b元，則威立身上帶有15a=20b元。
買了9粒蝦仁水餃後，剩下15a-9a=6a元，可買6a/b=$6a\div \frac{15a}{20}=6\times\frac{20}{15}$=8粒韭菜水餃，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
令$\angle DAE=a, \angle CAB=b, 及\angle CAD=c$，如下圖

$\angle A=124=\angle BAE=a+b+c$
2a+2b+c=180$\Rightarrow a+b=180-124=56\Rightarrow c=124-56=68$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
(A) ab+1=$39^2\Rightarrow ab=39^2-1=(39+1)(39-1)=40\times 38$,不是2質數
(B) ab+1=$40^2\Rightarrow ab=40^2-1=(40+1)(40-1)=39\times 41$,不是2質數
(C) ab+1=$41^2\Rightarrow ab=41^2-1=(41+1)(41-1)=42\times 40$,不是2質數
(D) ab+1=$42^2\Rightarrow ab=42^2-1=(42+1)(42-1)=43\times 41$,是2質數
，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：

見上圖：
點O是$\triangle ABC$的外心$\Rightarrow O在\overline{AB}$的中垂線上;
點O是$\triangle ABC$的外心$\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OE}$;
點O是$\triangle ABC$的外心$\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OE}$;

由以上三點可知：點O是$\triangle ABE$的外心

O是正方形OEDC的頂點，不在$overline{ED}$的中垂線上，所以不是$\triangle AED$的外心；，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

由上圖可知：$\angle 1+\angle 4=180=\angle 4+\angle 2\Rightarrow \angle 1=\angle 2$
旋轉中間垂直的十字，使其水平線與$\overline{BC}$平行，如下圖：

旋轉後$\angle 1=\angle 2=90且\angle 3>90$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
(A)$2\times 10^6=2\times\overline{OA}$
(B)$4\times 10^6=4\times\overline{OA}$
(C)$2\times 10^7=20\times\overline{OA}$
(D)$4\times 10^8=400\times\overline{OA}$
，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解：
方法1：

$\triangle AED及\triangle ABC$皆為直角$\triangle$且三個角分別為30°-60°-90°，因此$\overline{AD}=\overline{AE}\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$，同理$\overline{ED}=\overline{BC}=2$；又$\overline{AB}=\overline{AD}\Rightarrow  \angle B=\angle D=45°$，因此$\overline{CH}=\overline{DH}=\frac{\overline{CD}}{\sqrt{2}}=\frac{\overline{AD}-\overline{AC}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$； $$在直角\triangle BHC中\Rightarrow \frac { \overline { BG }  }{ \overline { BH }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \overline { CH }  } \Rightarrow \frac { \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \\ \Rightarrow \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \Rightarrow \overline { FG } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } \times \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } \times \frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  }^{ 2 } }{ \sqrt { 2 }  } =\frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ 在直角\triangle FGD中\Rightarrow { \overline { FD }  }^{ 2 }={ \overline { FG }  }^{ 2 }+{ \overline { GD }  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }\\ =12-6\sqrt { 3 } \Rightarrow \overline { FD } ={ \sqrt { 12-6\sqrt { 3 }  } = }3-\sqrt { 3 } \\ \overline { EF } =\overline { ED } -\overline { FD } =2-\left( 3-\sqrt { 3 }  \right) =\sqrt { 3 } -1\Rightarrow \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA } \\ =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 }$$

，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

方法2：

如上圖：$令\overline{FC}長度為a\Rightarrow \overline{FD}=\overline{ED}-\overline{EF}=2-a$；
在$\triangle DFG中 \overline{FG}=\overline{FD}\div 2=\frac{2-a}{2}$
在$\triangle FCG中 \overline{FG}=\overline{FC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{2-a}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$
因此AEFC周長 = $\overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 }$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

方法3：(最快)

$\triangle AED及\triangle ABC$皆為直角$\triangle$且三個角分別為30°-60°-90°
$\angle  ACF=\angle CFD+\angle  D  \Rightarrow  60=\angle  CFD+30  \Rightarrow  \angle CFD=30$
同理  $\angle EFB$=30，也就是說$\triangle  CFD與 \triangle EFB$皆為等腰，即$\overline{CF} = \overline{CD}且 \overline{EF}=\overline{EB}$
因此AEFC周長 = $\overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =\overline { AE } +\overline { EB } +\overline {CD } +\overline { CA }=\overline{AB}+ \overline{AD}= \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

y=a(x+1)(x-7)與X軸交於(-1,0)及(7,0)，因此對稱軸為x=(-1+7)/2=3；

同理y=b(x+1)(x-15)與X軸交於(-1,0)及(15,0)，因此對稱軸為x=(-1+15)/2=7；

x=7向左移4單位就與x=3重疊，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：
假設阿輝買了a杯飲料，則小薰買了a+6杯飲料
阿輝當場付了1000元，事後小薰給阿輝120元，所以阿輝花了1000-120=880元，小薰花了2000-880=1120元。
一杯飲料的價格=$\frac{880}{a}=\frac{1120}{a+6}\Rightarrow a=22$，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

假設隔板左邊的水箱底面積為A，右邊的底面積為B，則水量為40A+50B。
隔板拿掉後，水面高度為(40A+50B)/(A+B)
令水箱底面的長為h，寬度為200，則A=$(130+110)\times h\div 2$=120h, B=$(70+90)\times h\div 2$=80h；水面高度=(4800h+4000h)/(120h+80h)=8800/200=44，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：
數字 a 依序按了三個按鍵後成為$\sqrt{a}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}\Rightarrow \frac{1}{a}$
因此數字100依序按了三個按鍵後成為1/100，再依序按了三個按鍵後成為100。
$100\div 6=16餘4$，因此按了100下與按4下的結果是一樣，即$\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}$，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：

$在直角\triangle ABR$中，$\overline{AB}=4且\overline{BR}=5\Rightarrow \overline{AR}=3\Rightarrow  \overline{RD}=\overline{AD}-\overline{AR}$=4-3=1
令$\overline{DS}=a，則{\overline{RS}}^2 =a^2+1$；
$在直角\triangle BRS$中，${\overline{BS}}^2 = {\overline{BR}}^2+{\overline{RS}}^2=25+a^2+1$
$在直角\triangle BSC$中，${\overline{BS}}^2 = {\overline{BC}}^2+{\overline{CS}}^2=16+{(4-a)}^2$
因此 $25+a^2 +1=16+{(4-a)}^2\Rightarrow  8a=6\Rightarrow a=\frac{3}{4}$
四邊形RBCS面積=$\triangle  BQR+梯形SCQR=\overline{RQ}\times\overline{BQ}\div  2  + ( \overline{SC}+\overline{RQ}) \times \overline{RD}\div 2$  =  $4\times  3\div  2+((4-a)+4)\div  2$ = 6+(8-a)/2  =  $10-\frac{a}{2}=10-\frac{3}{8}=\frac{77}{8}$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

另解(網友提供)： $$\cases{  \angle ARB+ \angle DRS = 90^\circ \\ \angle ARB+ \angle ABR = 90^\circ} \Rightarrow \angle DRS= \angle ABR\;加上\; \angle A=\angle D=90^\circ \\ \Rightarrow \triangle ABR \sim \triangle DRS (符合AAA) \Rightarrow {\triangle DRS \over \triangle ABR} = {\overline{DR}^2 \over \overline{AB}^2} ={1\over 16 }\\ \Rightarrow \triangle DRS = {1\over 16} \triangle ABR ={1\over 16}\times (3\times 4\div 2)= {3\over 8} \\\Rightarrow RBCS面積=ABCD- \triangle ABR-\triangle DRS =16 -6 -{3\over 8} ={77\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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非選擇題

解：
(1)
甲得票數=200+286+97 = 583、乙得票數=211+85+41=337、丙得票數=147+244+205=596
(2)還有250票尚未開出，若全部都是投給乙，則乙的得票數為337+250=587，仍低於丙的得票數，所以乙候選人沒有機會當選；若全部投給甲，則甲的票數為583+250=833高於丙的票數，因此甲候選人仍有機會當選。

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解：
(1)C點代入直線L可得：$5\times 6-3\times 0=k\Rightarrow k=30$
(2)由k值可求得直線L的y截距為10，即$\overline{OD}=10$，如下圖

由於$\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{3}{5}=\frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}$，且$\angle AOB=\angle COD=90°$，滿足SAS (一組對應角相等且夾此等角的兩邊應成比例)，所以$\triangle AOB與\triangle COD$相似。

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-- end --