108年專門職業及技術人員高等考試
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學
解:
det(A−λI)=0⇒|2−λ001−λ2003−λ|=0⇒−λ(λ−3)(λ−2)=0⇒特徵值λ=0,2,3;λ=0⇒(A−λI)X=0⇒[200102003][x1x2x3]=0⇒{x1=0x1+2x3=0x3=0⇒取u1=[010]λ=2⇒(A−λI)X=0⇒[0001−22001][x1x2x3]=0⇒{x1=2x2x3=0⇒取u2=[210]λ=3⇒(A−λI)X=0⇒[−1001−32000][x1x2x3]=0⇒{x1=03x2=2x3⇒取u3=[023]⇒特徵向量為[010],[210],[023];
解:
(一)∇T=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(y+z,x+z,y+x)⇒∇T(1,1,1)=(2,2,2)=2ˆi+2ˆj+2ˆk(二)→v=3ˆi−4ˆk⇒→u=→v|→v|=35ˆi−45ˆk⇒∇T(1,1,1)⋅→u=(2,2,2)⋅(3/5,0,−4/5)=65+0−85=−25
解:
\unicode{x222F}_S F\cdot dA =\iiint_T \nabla\cdot (x \hat i+y\hat j+z\hat k)dV = \iiint_T ({\partial \over \partial x}x + {\partial \over \partial y} y+ {\partial \over \partial z} z)dV = \iiint_T 3\;dV\\ 由於S:x^2+y^2+z^2=1為半徑為1的球體,體積為{4\over 3}\pi \Rightarrow \iiint_T 3\;dV={4\over 3}\pi \times 3=\bbox[red, 2pt]{4\pi}\\ 其中T代表表面為S的封閉區域
解:
令 \begin{cases}f(z) = 1/(z+1)\\ g(z)=1/(z-1)\end{cases} \Rightarrow \oint_c {dz \over z^2-1}= \oint_c {dz \over (z+1)(z-1)}=\oint_c {f(z)dz \over z-1}=\oint_c {g(z)dz \over z+1} \\ (一)2\pi i\times f(1)= 2\pi i \times {1\over 2}= \bbox[red, 2pt]{\pi i}\\ (二)2\pi i\times g(-1) =2\pi i\times {1\over -2} = \bbox[red, 2pt]{-\pi i}
(一)E[X(X-4)]=5 \Rightarrow E[X^2-4X]=5\\ \Rightarrow E[X^2]-4E[X]=5 \Rightarrow E[X^2] =5+4E[X]= 5+4\times 2=\bbox[red, 2pt]{13}(二)E(-4X+10)= -4E(x)+10=-4\times 2+10 = \bbox[red, 2pt]{2}(三)Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2 = 13-2^2=9 \Rightarrow Var(-4X+10)= 16\cdot Var(X)=16\times 9=144\\ \Rightarrow \sqrt{Var(-4X+10)} =\sqrt{144}= \bbox[red, 2pt]{12}
不好意思 第一題 我算出來的答案 沒有 -1/3(a+x)^2 這項 請為我錯在哪? 我是用逆運算因子 來算ㄉ!!
回覆刪除有過程嗎?
刪除-1/3可以合併到C1
刪除作者已經移除這則留言。
回覆刪除-1/3(a+x)^2 應該包含到C1(a+x)^2
回覆刪除對!可以合併,只是要讓大家容易理解計算過程.......
刪除可以問一下第一題yh是怎麼解出來的嗎 我求出來為啥事正負根號2/u
回覆刪除令u=x^m => u^2y''-2y= m(m-1)x^m-2x^m=0 =>m^2-m-2=0 =>m=2,-1 => u=x^2,1/x
刪除那個是Cauchy Euler ODE嗎 那樣不是不能缺相嗎? 少了一個y'還可以那樣解嗎
刪除可以啊! 將答案代回原式是正確的。而且我再用網路https://www.wolframalpha.com/ 去算x^2y''-2y=0, 答案完全相同,它也說那是柯西尤拉方程式!!!
刪除了解 感謝
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