108年升官等-天文-應用數學(微積分,微分方程,向量分析)-詳解

108年公務、關務人員升官等考試

等      級：薦任
類科別：天文
科       目：應用數學(微積分,微分方程,向量分析)

一、解下列三元一次方程式 $$2x_1+ 6x_2+x_3=7 \\ x_1+ 2x_2-x_3=-1 \\ 5x_1+ 7x_2-4x_3=9$$

解：
$$\begin{cases} 2x_1+ 6x_2+x_3=7 \\ x_1+ 2x_2-x_3=-1 \\ 5x_1+ 7x_2-4x_3=9 \end{cases} \Rightarrow \left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 6 & 1 & 7\\ 1& 2 & -1 & -1 \\ 5& 7& -4& 9\end{array}\right]\xrightarrow{-2r_2+r_1,-5r_2+r_3} \left[\begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 9\\ 1& 2 & -1 & -1 \\ 0& -3& 1& 14 \end{array} \right]\\ \xrightarrow {-r_1+r_2,\;(3/2)r_1+r_3}\left[\begin{array}{rrr|r} 0 & 2 & 3 & 9\\ 1& 0 & -4 & -10 \\ 0& 0 & 11/2& 55/2 \end{array} \right] \Rightarrow \begin{cases} 2x_2+3x_3=9 \\ x_1-4x_3=-10 \\ \frac{11}{2}x_3=\frac{55}{2} \end{cases} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\begin{cases} x_1=10 \\ x_2=-3 \\ x_3=5 \end{cases}}$$

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二、計算矩陣$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1& 3\end{pmatrix}$之特徵值(eigenvalues)和特徵向量(eigenvectors)。

解：

$$A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1& 3\end{pmatrix} \Rightarrow det(A-\lambda I)=0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 \\ 1& 3-\lambda\end{vmatrix}=0 \Rightarrow (\lambda-3)(\lambda-1)=0\Rightarrow \lambda=3,1\\ \lambda=3 \Rightarrow (A-\lambda I)X=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} \Rightarrow x_1=0\Rightarrow 取u_1=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} \\\lambda=1 \Rightarrow (A-\lambda I)X=0 \Rightarrow \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1& 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} \Rightarrow x_1+2x_2  =0\Rightarrow 取u_2=\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{特徵值:3,1；特徵向量:\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}}$$

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三、解下列微分方程式 $$\left( e^{2y}-y\cos xy\right)dx +\left(2xe^{2y}-x\cos xy +2y \right)dy=0$$
解： $$\left(e^{2y}-y\cos{(xy)} \right)dx+ \left(2x^{2y}-x\cos (xy)+2y\right)dy=0 \equiv M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\ \Rightarrow \begin{cases} {\partial \over \partial y}M=2e^{2y}-\cos (xy)+xy\sin (xy) \\ {\partial\over \partial x}N= 2e^{2y} -\cos (xy)+ xy\sin (xy)\end{cases} \Rightarrow {\partial \over \partial y}M= {\partial \over \partial x}N \Rightarrow 正合 \\ 令\Phi(x,y)= \begin{cases} \int M\;dx+p(y) =\int e^{2y}-y\cos{(xy)}\;dx+p(x)= xe^{2y}-\sin (xy)+p(y)\\ \int N\;dy+q(x) =\int 2x^{2y}-x\cos (xy)+2y\;dy+q(x)= xe^{2y}-\sin (xy)+y^2+q(x)\end{cases} \\ \Rightarrow \Phi(x,y)=xe^{2y}-\sin (xy)+y^2+C \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{xe^{2y}-\sin (xy)+y^2+C=0}為其解，C為常數；$$

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四、解下列微分方程式 $$x{dy\over dx} -4y=x^6e^x$$
解：
$$x{dy\over dx}-4y=x^6e^x \Rightarrow {dy\over dx}-{4\over x}y=x^5e^x \Rightarrow 積分因子I(x)=e^{\int -{4\over x}dx} =e^{\ln {1\over x^4}} ={1\over x^4} \\ \Rightarrow I(x){dy\over dx}-I(x){4\over x}y=I(x)x^5e^x \Rightarrow {1\over x^4}{dy \over dx}-{4\over x^5}y=xe^x \Rightarrow \left({y\over x^4} \right)'=xe^x\\ \Rightarrow {y\over x^4}=\int xe^x\;dx=xe^x-e^x+C \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y=x^5e^x-x^4e^x+Cx^4,C為常數}$$

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五、假設向量函數(vector function)為$F(x,y)= (3+2xy)i +(x^2-3y^2)j$，找出函數$f$滿足$F=\nabla f$。

解：
$$F=\nabla f\Rightarrow f=\begin{cases} \int 3+2xy\;dx +p(y)=3x+x^2y+p(y)\\ \int x^2-3y^2\;dy+q(x) =x^2y-y^3+q(x)\end{cases} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{f=x^2y+3x-y^3+C,C為常數}$$

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六、在橢球${x^2\over 4}+y^2 +{z^2\over 9}=3$上$(-2, 1,-3)$，求其切平面(tangent plane)方程式和法線(normal line)方程式。

解：
$$f(x,y,z)={x^2\over 4}+y^2 +{z^2\over 9}-3 \Rightarrow \nabla f=\left .({x\over 2},2y,{2z\over 9})\right|_{(-2,1,-3)} = (-1, 2, -{2\over 3})\\ \Rightarrow \nabla f\cdot (x+2,y-1,z+3)=0 \Rightarrow -(x+2)+2(y-1)-{2\over 3}(z+3)=0 \Rightarrow -x+2y-{2\over 3}z=6\\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{切平面方程式:3x-6y+2z+18=0 } \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{法線方程式: {x+2 \over 3}={y-1 \over -6}={z+3 \over 2}}$$

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七、假設$L$為拉普拉斯變換 (Laplace Transformation)，計算$L^{-1}\left\{ {1\over (s^2+k^2)^2}\right\}$。

解：
$$\begin{cases} L\{\sin kt\}={k\over s^2+k^2} ={k(s^2+k^2)\over (s^2+k^2)^2} ={ks^2+k^3\over (s^2+k^2)^2}\\ L\{\cos kt\}= {s\over s^2+k^2} \Rightarrow L\{t\cos kt\}= {s^2-k^2\over (s^2+k^2)^2} \Rightarrow L\{kt\cos kt\}= {ks^2-k^3\over (s^2+k^2)^2}\end{cases} \\ \Rightarrow L\{\sin kt\}-L\{kt\cos kt\}= {2k^3\over (s^2+k^2)^2} \Rightarrow  {1\over 2k^3}L\{\sin kt-kt\cos kt\}={1\over (s^2+k^2)^2} \\\Rightarrow L\{{1\over 2k^3}(\sin kt-kt\cos kt)\}={1\over (s^2+k^2)^2} \Rightarrow L^{-1}\left\{ {1\over (s^2+k^2)^2}\right\} =\bbox[red, 2pt]{{1\over 2k^3}(\sin kt-kt\cos kt)}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考