114年永慶高中特招-數學詳解

嘉義區嘉義縣立永慶高級中學
114 學年度高級中等學校特色招生考試

解答:$$4^6\times 8^4\div 2^8 =2^{12}\times 2^{12} \div 2^8 =2^{12+12-8}=2^{16} =16^4，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$誤植的總數為10\times 32=320 \Rightarrow 正確的總數=320+(45-25)=340\\ \Rightarrow 正確的平均值={340\over 10}=34，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$A(-2,-3) \to A'(-2+m,-3+n )在第一象限\Rightarrow \cases{-2+m\gt 0\\ -3+n\gt 0} \Rightarrow \cases{m\gt 2\\ n\gt 3} \\ \Rightarrow (m,n)=(3-6,4-6)共有4\times 3=12種情形 \Rightarrow 機率={12\over 6\times 6} ={12\over 36}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$D為\overline{BC}中點\Rightarrow\cases{ \angle ADC=90^\circ\\ \angle DAC=60^\circ} \Rightarrow \overline{CD}=10\times {\sqrt 3\over 2}=5\sqrt 3 \Rightarrow \overline{BC}=10\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答:$$假設內角為x度 \Rightarrow 外角為180-x度 \Rightarrow x-(180-x)=108 \Rightarrow x=144度 \Rightarrow {180(n-2) \over n}=144 \\ \Rightarrow 36n=360 \Rightarrow n=10，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$B項鍊20顆珠子的直徑平均數為7.5，比頸鍊C,項鍊D都大，因此B項鍊不是最短，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{100x+80y=620\\ 40x+50y =320} \Rightarrow \cases{x=3\\ y=4 } \Rightarrow 2(x+y)=14，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答:$$\cases{12點與14點氣溫相同\Rightarrow 頂點在(12+14)/2=13\\ 10點氣溫低於11點\Rightarrow 頂點是最高溫不是最低溫 \Rightarrow 圖形凹向下}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$\cases{y(0)=b\\ y(2)=0.7b} \Rightarrow a=-0.15b \Rightarrow y=-0.15b\cdot x+b \Rightarrow 0.1b=-0.15b\cdot x+b \Rightarrow x=6，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$P=70(1+10\%)^x\gt 100 \Rightarrow \cases{x=3 \Rightarrow P=93.17 \\x=4 \Rightarrow P=102.487}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:$$\cases{連續三個1 有2種:1112,2111\\連續四個1 有1種:1111\\ 連續三個2 有2種:1222,2221 \\ 連續四個2 有1種:2222 \\ 任意組合有2^4=16} \Rightarrow 符合條件的有16-6=10種，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$13 \to 40 \to 20 \to 10\to 5\to 16 \to 8\to 4\to 2\to 1 \Rightarrow 第10項為1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$(1,4,7,10), (3,6,9,12),(5,8,11,14) \Rightarrow 公差均為3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$



解答:

$$假設\cases{大圓半徑R\\ 小圓半徑r\\ 切點為P}  \Rightarrow \overline{AP} =\overline{AB}/2=5 \Rightarrow \overline{OA}^2= \overline{OP}^2+ \overline{AP}^2 \Rightarrow R^2=r^2+25 \Rightarrow R^2-r^2=25\\ \Rightarrow 環狀面積=R^2\pi-r^2\pi =(R^2-r^2)\pi =25\pi，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$


解答:$$假設每段影片長度均為a, 則\cases{循環0:3a=66 \Rightarrow a=22\\ 循環1:4a+3a=66 \Rightarrow a不是整數\\循環2:8a+3a=66 \Rightarrow a=6}，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$由前視圖可知高度為3，又由上視圖可前後長度為2

，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:

$$由上圖可知，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:

$$\cases{正12邊形每一圓心角為{360^\circ\over 12}=30^\circ \Rightarrow \angle A_8A_4 A_7=15^\circ \\ \overline{A_1A_7} 為外接圓直徑 \Rightarrow \triangle A_4A_1A_7為等腰直角三角形 \Rightarrow \cases{\angle A_1A_4A_7=90^\circ \\ \angle A_7A_1A_4= 45^\circ}}\\ \Rightarrow \angle A_1A_4P=90^\circ-15^\circ=75^\circ \Rightarrow \angle A_1PA_4=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$


解答:

$$正\triangle 的外心也是重心，因此正\triangle ABC的高\overline{AP}=10\times {3\over 2}=15\\ \Rightarrow 內切圓半徑r=\overline{OP}=15-10=5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$


解答:$${4\over 1+\sqrt 2+\sqrt 3} ={4(1+\sqrt 2-\sqrt 3)\over (1+\sqrt 2+\sqrt 3)(1+\sqrt 2-\sqrt 3)} = { 4+4\sqrt 2-4\sqrt 3\over 2\sqrt 2} ={2+2\sqrt 2-2\sqrt 3\over \sqrt 2} \\={2\sqrt 2+4-2\sqrt 6\over 2}=\sqrt 2+2-\sqrt 6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

解答:$$兩等差數列分別為\cases{3,7,11,15 =\langle a_n=3+(n-1)4 \rangle\\ 5,11,17,23 =\langle b_n=5+(n-1)6} \Rightarrow \cases{a_{22}=87\\b_{15}=89}\\ \Rightarrow 兩數列交錯依序為a_1,b_1,a_2,b_2,\dots,a_{15} ,b_{15} \Rightarrow b_{15}在第30項，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:

$$\cases{\overline{AB}= 12\times{1\over 2}=6\\ \overline{CD}=8\times {\sqrt 3\over 2}=4\sqrt 3 \approx 6.9} \Rightarrow 共上升6+6.9 \approx 13，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

解答:$$\cases{方案甲: y=500+100x\\ 方案乙:y=800+80x}  \Rightarrow 800+80x\lt 500+100x \Rightarrow 20x\gt 300 \Rightarrow x=15，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$


解答:$$(A)1 \Rightarrow 6+5+4+3+2+1=21\\ (B) 2\Rightarrow 5+4+3+2+1+3=18\\ (C)3 \Rightarrow 4+3+2+1+3+6= 19\\ (D)4\Rightarrow 3+2+1+3+6+9=23，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

解答:

$$需要四個長的直角三角形及一個正方形，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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