114年大學分科測驗-數學乙詳解

114學年度分科測驗試題數學乙考科

第壹部分、選擇（填）題（占72分）
一、單選題（占30分）

解答:$$1.\bar 5 \times 5=1{5\over 9}\times 5={14\over 9} \times 5={70\over 9}=7{7\over 9} =7.\bar 7，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$\cases{x=1\\ y=1}代入\cases{(1)\bigcirc: 0^2+1^2=1 \\(2) \times: 0^2+0^2 =0\ne 1\\ (3)\times: 不是圓\\ (4)\times: 1^2+1^2 =2\ne 1 \\(5)\times: 不是圓}，故選\bbox[red, 2pt]{(1)}$$

解答:

$$見上圖，「A大」有18格，18格有2格「B=6」，因此條件機率={2\over 18}={1\over 9}，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

解答:

$$在立方體的稜邊作一筆畫，如上圖，故選\bbox[red, 2pt]{(5)}$$

解答:$$重排後的\mu_X, \sigma_X,\mu_Y,\sigma_Y不變，但\sum x_iy_y會改變\\ \cases{原來的\sum x_iy_i= 9+15+ 6+16 +40+42 +96+56 =280\\重排後的\sum x_iy_i=6+9+12+20+35+42+64+96=284} \Rightarrow 重排後\sum x_iy_i變大 \\因此迴歸直線斜率m={ n\sum x_iy_i -\sum x_i\sum y_i \over n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}變大 \Rightarrow 迴歸直線方程式:y=m(x-\mu_X)+\mu_Y \\ \Rightarrow y=mx-m\mu_X+\mu_Y \Rightarrow y截距b=-m\mu_X+ \mu_Y變小，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$\sum_{k=1}^5 \log_7 {2k-1\over 2k+1} =\sum_{k=1}^5 \left(\log_7 (2k-1)-\log_7 (2k+1) \right)\\=\log_7 1-\log_73+\log_7 3-\log_75+ \log_7 5-\log_7 7 +\log_7 7-\log_7 9+\log_79-\log_7 11 \\=\log_71-\log_7{11} =0- {\log 11\over \log 7} =-{\log 11\over \log 7}，故選\bbox[red, 2pt]{(4)}$$

二、多選題（占24分）

解答:$$(1) \bigcirc: A^2= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix} =A \\(2)\bigcirc: 矩陣相加可交換\\ (3) \times: \cases{AB= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0& 1\\ 0& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0& 1\\ 0& 1\end{bmatrix} \\[1ex]BA=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1& 0\\ 1& 0\end{bmatrix}} \Rightarrow AB\ne BA \\(4)\times: AB\ne BA \Rightarrow (A-B)^2= A^2-AB-BA+B^2 \ne A^2-2AB+B^2 \\(5) \bigcirc:A+B= \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 1\end{bmatrix} \Rightarrow (A+B)^2 = \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2&2\\ 2&2\end{bmatrix} =2(A+B)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(125)}$$

解答:

$$(1) \bigcirc: \angle A\gt 90^\circ \Rightarrow \cos \angle A ={b^2+c^2-a^2 \over 2bc} \lt 0 \Rightarrow a^2\gt b^2+c^2 \\(2)\bigcirc: 正弦定理: {c\over \sin \angle C} ={a\over \sin \angle A} \Rightarrow {c\over a}={ \sin \angle C\over \sin \angle  A} ={\sin 29^\circ\over \sin 91^\circ} \gt{\sin 29^\circ\over \sin 90^\circ} =\sin 29^\circ \\(3) \times:在\overline{BC}上找一點D，使得\angle DBC=90^\circ ,如上圖,則\cos 29^\circ ={b \over \overline{CD} }\gt {b\over \overline{BC}=a} \\(4)  \times: \cos \angle C=\cos 29^\circ ={a^2+b^2-c^2 \over 2ab} \gt \cos 30^\circ={\sqrt 3\over 2} \Rightarrow {a^2+b^2-c^2\over ab} \gt \sqrt 3 \\(5) \times:{c\over \sin 29^\circ} =2R \Rightarrow R={c\over 2\sin 29^\circ} \gt {c\over 2\sin 30^\circ} =c \Rightarrow R\gt c\\，故選\bbox[red, 2pt]{(12)}$$

解答:$$(1)\bigcirc:選擇(一)獲得0元的情形:抽到0元牌，機率為{3\over 5} \\(2) \times:選擇(一)獎金期望值={1000\cdot {2\over 5}+0\cdot {3\over 5}}=400元\\(3)\times:選擇(二)獲得1000元的情形:\cases{第1次抽到1000不放回，第2次又抽到1000，機率為{2\over 5}\cdot {1\over 5}={2\over 25} \\第1次抽到0不放回，第2次抽到1000，機率為{3\over 5}\cdot {2\over 5}={6\over 25} } \\\qquad \Rightarrow 機率合計:{8\over 25} \\(4)\bigcirc: 選擇(二)獲得0元的情形:\cases{第1次抽到1000不放回，第2次 抽到 0，機率為{2\over 5}\cdot {3\over 5}={6 \over 25} \\第1次抽到0不放回，第2次又抽到 0 ，機率為{3\over 5}\cdot {2\over 5}={6\over 25} }  \\\qquad \Rightarrow 機率合計:{12\over 25} \\(5) \bigcirc:選擇(二)\cases{獲得1000元的機率8/25\\ 獲得0元的機率12/25} \Rightarrow獲得500元機率=1- {8\over 25}-{12\over 25}={1\over 5} \\\qquad \Rightarrow 獎金期望值=1000\cdot {8\over 25}+ 500\cdot {1\over 5} =420元\\，故選\bbox[red, 2pt]{(145)}$$

三、選填題（占18分）

解答:$${1-7i\over -1+i} ={(1-7i)(-1-i)\over (-1+i)(-1-i)} = {-8+6i\over 2} =-4+3i \Rightarrow \cases{a=\bbox[red, 2pt]{-4} \\b=\bbox[red, 2pt ]3}$$

解答:$$三種附加功能，各有開啟與不開啟兩種模式，因此共有2^3=8種狀態\\因此總共有5\times 4\times 8=160種行程\\ 需扣除第一種衣料搭配A開啟(B,C有4種狀態)的行種，共有1\times 4\times 4=16種行程\\ 此衣機共有160-16= \bbox[red, 2pt]{144}種行程$$

解答:$$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AC} =(\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AC} =(-\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AC} = -|\overline{AC}|^2 +\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \\= -|\overline{AC}|^2+ 16 =3 \Rightarrow \overline{AC}^2=13 \Rightarrow \overline{AC} =\sqrt{\bbox[red, 2pt]{13}}$$

第貳部分、混合題或非選擇題（占28分）

解答:$$\cases{x=-3有極小值 \Rightarrow f''(-3) \gt 0\\ x=1有極大值 \Rightarrow f''(1)\lt 0}，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$f'(x)=a(x+3)(x-1) \Rightarrow f''(x)=2ax+2a =0 \Rightarrow x=-1 \Rightarrow 反曲點(-1,f(-1))\\ \Rightarrow f'(-1)=4 \Rightarrow a\cdot 2\cdot (-2)=4 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow f'(x)=-(x+3)(x-1) = \bbox[red, 2pt]{-x^2-2x+3}$$

解答:$$\int_{-3}^1f'(x)\, dx= \int_{-3}^1 (-x^2-2x+3)\,dx =\left. \left[-{1\over 3}x^3-x^2+3x \right] \right|_{-3}^1 = \bbox[red, 2pt]{32\over 3}$$

解答:$$\cases{(一)甲面積不超過15 公畝\\(二)甲面積與乙面積的和不超過24公畝 \\(三)甲面積不超過乙面積的3倍，且乙面積不超過甲面積的2倍} \Rightarrow \cases{x\le 15\\ x+y\le 24\\ x\le 3y且y\le 2x} \\\cases{(1)\times: 違反y\le 2x \\(2)\times: 違反x+y\le 24\\ (3) \bigcirc\\ (4)\times: 違反x\le 3y\\ (5)\times: 違反x\le 15} ，故選\bbox[red, 2pt]{(3)}$$

解答:$$\bbox[red, 2pt]{\cases{x\le 15\\ x+y\le 24\\ x\le 3y\\y\le 2x \\x,y\ge 0}}$$

解答:

$$獲利函數f(x,y)=6x+7y \Rightarrow 可行解區域頂點\cases{A= (x+y=24)與(y=2x)的交點=(8,16)\\  B= (x+y=24)與(x=15)的交點=(15,9)\\  C= (x=3y)與(x=15)的交點=(15, 5)\\ O= (x=3y)與(y=2x)的交點=(0,0)}\\   \Rightarrow \cases{f(A)=160 \\f(B)=153 \\f(C)=125\\ f(O)=0} \Rightarrow 最大獲利\bbox[red, 2pt]{160}萬元$$

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