朱式幸福: 115年台北陽明高中教甄-數學詳解

臺北市立陽明高級中學 115 學年度正式教師甄選

一、單選題 (合計 2 題，每題 3 分)

解答:$$依圖形 y=a_ix^2+b_ix 為凹向下，且y=0的兩根為0及一正值根，也就是a_i\lt 0且b_i\gt 0\\ 又P(0.05,0.05)在拋物線之上，即a_i\cdot 0.05^2+b_i\cdot 0.05 \lt 0.05 \Rightarrow 只有(A)符合，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

解答:$$伊分貝(1.2I)-伊分貝(I)=1 \Rightarrow k\log{1.2I\over I_0}- k\log{I\over I_0} =1 \\ \Rightarrow k\log 1.2I-k\log I_0-k\log I+k\log I_0= k\log 1.2 I-k\log I =k\log {1.2I\over I} =k \log 1.2=1 \\ \Rightarrow k={1\over \log 1.2} ={1\over \log 12-1}={1\over 2\log 2+\log 3-1} \approx 12.6,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

二、填充題 (合計 12 題，每題 6 分，答案完全正確才給分)

解答:$$\lim_{n\to \infty} \left( {2026\over n} \sum_{k=0}^{n-1} {1\over \left( 2+{k\over n} \right)^2} \right) = 2026\int_0^1 {1\over (2+x)^2} \,dx = 2026 \left. \left[ -{1\over 2+x} \right] \right|_0^1 =2026\cdot {1\over 6} = \bbox[red, 2pt]{1013\over 3}$$

解答:$$y=ax^2+bx \Rightarrow \mathbf y= \begin{bmatrix}\mathbf x^2 & \mathbf x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} \Rightarrow \mathbf y= \begin{bmatrix}0\\2\\3\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0& 0\\1& 1\\ 4& 2\\9& 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix} \\A= \begin{bmatrix}0& 0\\1& 1\\ 4& 2\\9& 3 \end{bmatrix} \Rightarrow A^TA= \begin{bmatrix}0& 1& 4& 9\\0 &1& 2& 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0& 0\\1& 1\\ 4& 2\\9& 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}98& 36\\36& 14 \end{bmatrix} \\ \Rightarrow A^T \mathbf y= \begin{bmatrix}0& 1& 4& 9\\0 &1& 2& 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\2\\3 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14\\8 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}98& 36\\36& 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}14\\8 \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix}a\\b \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 98& 36\\36& 14 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}14\\8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-23/19\\ 70/19 \end{bmatrix} \Rightarrow y=-{23\over 19}x^2+{70\over 19}x \Rightarrow y'=-{46\over 19}x+{70\over 19}=0 \\ \Rightarrow x={70\over 46} = \bbox[red, 2pt]{35\over 23}\quad (x為任意正實數, 不一定是整數)$$

解答:$$0.6x+40 \ge 10\sqrt x \Rightarrow 0.36x^2-52x+1600\ge 0 \Rightarrow 9x^2-1300x+40000\ge 0 \\ \Rightarrow (x-100)(9x-400)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le {400\over 9} \approx 44.4 \Rightarrow x\in \bbox[red, 2pt]{\{0\le x\le 44, x\in \mathbb Z\}}$$

解答:

$$\cases{正三角形內角為60^\circ\\ 正八角形內角為135^\circ}, 假設\cases{A(0,0) \\ \overline{AB}=a \Rightarrow B(a,0) \\F(f,0)} \Rightarrow \cases{\angle EFB=180^\circ-135^\circ=45^\circ\\ \angle EBF=180^\circ-60^\circ=120^\circ} \\ \Rightarrow \angle BEF=180^\circ- 45^\circ-120^\circ =15^\circ\Rightarrow \angle CED=180^\circ-15^\circ-135^\circ=30^\circ \\ 依題意A,C,D在一直線\Rightarrow \angle ACB= \angle CDE+\angle CED \Rightarrow \angle CDE=30^\circ \Rightarrow \overline{CD}=\overline{CE}=2 \\ \Rightarrow {\overline{DE} \over \sin 120^\circ} = {\overline{CD}=2 \over \sin 30^\circ} \Rightarrow 正八邊形邊長\overline{DE} = 2\sqrt 3 \Rightarrow\cases{C,E水平距離=1\\ C,E垂直距離=\sqrt 3} \\ 因此C({a\over 2},{a\over 2}\sqrt 3) \Rightarrow E\left({a\over 2}+1, ({a\over 2}-1)\sqrt 3 \right) , 由於\overline{EF}=2\sqrt 3 \Rightarrow ({a\over 2}-1)\sqrt 3={2\sqrt 3\over \sqrt 2}\\ \Rightarrow a=2+ 2\sqrt 2 \Rightarrow E(2+\sqrt 2,\sqrt 6) \Rightarrow E,F的水平距離=\sqrt 6 \Rightarrow f= \bbox[red, 2pt]{2+\sqrt 2+\sqrt 6}$$

解答:$$入射光L_1:{x \over 2}={y\over 2}=z \Rightarrow 單位方向向量\vec e_1= \left( {2\over 3},{2\over 3}, {1\over 3} \right) \\ 反射光L_2: {x-2\over 2}={y-5\over 3}={z-16\over 6} \Rightarrow 單位方向向量\vec e_2= \left( {2\over 7},{3\over 7}, {6\over 7} \right) \\ \Rightarrow \vec e_1+\vec e_2= \left( {20\over 21}, {23\over 21},{25\over 21} \right) \parallel (20,23,25) \Rightarrow (m,n)= \bbox[red, 2pt]{(23,25)}$$

解答:

$$\overline{PB}^2= \overline{OB}^2+ \overline{OP}^2= 4^2+d^2 =16+d^2 =\overline{BB'}^2+ \overline{PB'}^2 =1+\overline{PB'}^2 \Rightarrow \overline{PB'} =\sqrt{15+d^2} \\ \Rightarrow \cases{\cos \angle OPB= d/\sqrt{16+d^2} \\ \cos \angle BPB'= \sqrt{15+d^2}/\sqrt{16+d^2}} \Rightarrow \cases{\sin \angle OPB= 4/\sqrt{16+d^2} \\ \sin \angle BPB'= 1 /\sqrt{16+d^2}} \\ \cos {\angle A'PB'\over 2} =\cos \angle P'PB' = \cos (\pi-(\angle OPB+\angle BPB')) =-\cos (\angle OPB+\angle BPB') \\ = \sin \angle OPB \sin \angle BPB'- \cos \angle OPB \cos \angle BPB'= {4\over \sqrt{16+d^2}} \cdot {1\over \sqrt{16+d^2}}-{d\over \sqrt{16+d^2}} \cdot {\sqrt{15+d^2} \over \sqrt{16+d^2}} \\={4-d\sqrt{15+d^2} \over 16+d^2} = {1\over 11} \Rightarrow 28-d^2=11d\sqrt{15+d^2} \Rightarrow 784-56d^2+d^4=121d^2(15+d^2) \\ \Rightarrow 120d^4 +1871d^2-784=0 \Rightarrow d^2={49\over 120} \Rightarrow d={7\over 2\sqrt{30}} = \bbox[red, 2pt]{7\sqrt{30} \over 60}$$

解答:$$假設\cases{\overline{AB} = \overline{AC} \\ \angle A=\theta } \Rightarrow \angle B=\angle C={1\over 2}(\pi-\theta) \\ 利用公式:\cos A+\cos B+\cos C=1+{r\over R} \Rightarrow \cos \theta+2\cos \left( {\pi\over 2}-{\theta\over 2} \right)= 1+{r\over R} \\ \Rightarrow \left( 1-2\sin^2{\theta\over 2} \right)+2\sin {\theta\over 2}= 1+{r\over R} \Rightarrow {r\over R}= 2\sin{\theta\over 2} \left( 1-\sin{\theta\over 2} \right) ={1\over 1+\sqrt 2} =\sqrt 2-1\\ 取u=\sin {\theta\over 2} \Rightarrow 2u^2-2u+(\sqrt 2-1)=0 \Rightarrow u={2\pm (2\sqrt{2}-2)\over 4} \Rightarrow \cases{u=\sqrt 2/2 \Rightarrow \theta=90^\circ不合\\ u=\bbox[red, 2pt]{(2-\sqrt 2)/2}}$$

解答:$$\text{先排列 9 節沒有廁所的車廂，這 9 節車廂會產生 10 個空隙。}\\ \text{從這 10 個空隙中選出 3 個位置放入廁所，方法數為:}C^{10}_3=120\\ 第 1 節車廂有廁所: \\\qquad \text{第 2 節車廂絕對不可設廁所，剩下的 2 間廁所必須安排在第 3-12 節(共 10 節車廂)中} \\ \qquad \text{先排列剩下的 8 節無廁所車廂，從其產生的 9 個空隙中選取 2 個放入廁所，}\\ \qquad \text{方法數為：}C^9_2=36 \Rightarrow P_1= {36\over 12}={3\over 10} \\ 第 6 節車廂有廁所:\\ \qquad \text{第 5 節與第 7 節皆不可設廁所。剩下的 2 間廁所必須安排在}\\ \qquad \text{「前半段：第 1 到 4 節」與「後半段：第 8 到 12 節」}\\ \qquad \cases{2 間皆在前半段:C^3_2=3\\ 2 間皆在後半段:C^4_2=6\\ 前半段與後半段各 1 間:4\times 5=20} \Rightarrow P_6={3+6+20\over 120} ={29\over 120} \\ 因此 (P_1,P_6) = \bbox[red, 2pt]{ \left( {3\over 10},{29\over 120} \right)}$$

解答:$$假設三種狀態的期望值:\cases{x:起始狀態(或前一次擲出為「反」)\\ y:目前序列結尾為 1 個「正」\\z:目前序列結尾為連續 2 個(或以上)的「正」} \\ \Rightarrow \cases{ x = 1 + \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}x \\ y = 1 + \frac{1}{2}z + \frac{1}{2}x \\ z = 1 + \frac{1}{2}z + \frac{1}{2}\cdot 0} \Rightarrow \cases{x= \bbox[red, 2pt]8\\ y=6\\z=2}$$

解答:$$\text{ $c, d, e, f, g$ 共 5 個相異字母排列數為 $5!=120$}\\ 5 個相異字母會產生6個空隙，2個a與3個b分配到6個空隙的情形:\\情況 1:兩個 a 放在同一個空隙中(即 aa 相鄰) \\\qquad 6個空隙選1個放入兩個a，有6種選擇\\\qquad 剩下的 3 個 b 必須分佈在剩餘的 5 個空隙中(1個空隙可放入多個b)\\\qquad 方法數為H^5_3=35,應此共6\times 35=210種\\ 情況 2:兩個 a 放在不同的空隙中(即 a 不相鄰)\\ \qquad 從 6 個空隙中選擇 2 個各放入一個 a,共有C^6_2=15種\\\qquad 剩下的 3 個 b 必須分佈在剩餘的 4 個空隙中，方法數為H^4_3=20,應此共15\times 20=300\\ 兩種情況合計:210+300=510，最後再乘上5!,即510\times 120= \bbox[red, 2pt]{61200}$$

解答:$$\cases{a + b = -1 \cdots(1) \\ab + bc + ca = -3 \cdots(2) \\abc + bcd + cda + dab = -5 \cdots(3)\\ abcd = 12 \cdots(4)} \Rightarrow 式(1) 代入(2):ab+c(b+a)=ab-c=-3 \\ \Rightarrow ab=c-3代入(4) \Rightarrow (c-3)cd=12 代入(3) \Rightarrow ab(c+d)+ cd(a+b)= (c-3)(c+d)-cd=-5 \\ \Rightarrow 3d=c^2-3c+5 \Rightarrow d={1\over 3}(c^2-3c+5) 代入(c-3)cd=12 \Rightarrow {1\over 3}c(c-3) (c^2-3c+5)=12 \\ \Rightarrow (c^2-3c)(c^2-3c+5)=36 \Rightarrow u(u+5)=36 \Rightarrow u^2+5u-36=0, 其中u=c^2-3c\\ \Rightarrow (u+9)(u-4)=0\Rightarrow \cases{u=c^2-3c=-9 \Rightarrow c^2-3c+9=0 \Rightarrow \Delta=-27\lt0不合\\ u=c^2-3c=4 \Rightarrow c^2-3c-4=0 \Rightarrow (c-4)(c+1)=0} \\ \Rightarrow \cases{c=4 \Rightarrow \cases{a+b=-1\\ ab=c-3=1} \Rightarrow a,b為兩根之方程式:t^2+t+1=0 \Rightarrow \Delta=-3\lt 不合\\ c=-1 \Rightarrow d=3 \Rightarrow c+d=\bbox[red, 2pt]2}$$

解答:$$n^{19} - 2 是 35 的倍數 \Rightarrow n^{19} \equiv 2 \pmod{35}\\ 已知\cases{ \gcd(n,35)=1\\ 35=5\times 7} \Rightarrow \cases{n^{19} \equiv 2 \pmod 5\\ n^{19} \equiv 2 \pmod 7}\\ 利用費馬小定理: \gcd(n,5) \Rightarrow n^4 \equiv \pmod 5, 因此n^{19} =(n^4)^4\cdot n^3 \equiv 1^4\cdot n^3 \equiv n^3 \pmod 5\\ 現在n^3 \equiv 2 \pmod 5 \Rightarrow 逐一測試可得n \equiv 3 \pmod 5\\ 同理, 費馬小定理:\gcd(n,7) =1 \Rightarrow n^6 \equiv 1 \pmod 7, 因此n^{19}= (n^6)^3\cdot n \equiv 1^3 \cdot n\equiv n \pmod 7 \\ \qquad \Rightarrow n\equiv 2 \pmod 7\\ 將上述兩結果\cases{n^{19} \equiv 2 \pmod 5\\ n^{19} \equiv 2 \pmod 7} \Rightarrow \cases{ n \equiv 3 \pmod 5\\ n \equiv 2 \pmod 7} 合併逐一測試符合的正整數, 可得n= \bbox[red, 2pt]{23}$$

三、計算題 (合計 3 題，共 22 分，寫下詳細過程才給分)

解答:$$設總保險箱數為 n = 115 ，上鎖的保險箱集合大小為 m = 24，已打開的數量為 n-m = 91\\令 f(n, m) :在 n 個元素的排列中，沒有任何循環完全落在指定大小為 m 的子集內的排列數\\在所有 n! 種排列中，指定集合內的 m 個元素可以分成兩部分：\\\cases{有 j 個元素自己內部形成了若干個封閉循環(0 \le j \le m)\\ 剩下的 m-j 個元素，其所在的循環都至少跨到了外面 n-m 個元素中}\\ 因此 n! = \sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j} j! \cdot f(n-j, m-j) \Rightarrow f(n,m)=(n-m)(n-1)! (可用數學歸納法證明) \\ \Rightarrow 欲求之機率P={f(n,m) \over n!}={(n-m)(n-1)! \over n!}={n-m\over n} ={115-24\over 115}= \bbox[red, 2pt]{91\over 115}$$