115年國中教育會考
第一部分：選擇題 (1 ～ 25 題)
解答:$$\cases{x+2y=5 \cdots(1)\\2x-2y=1 \Rightarrow x-y=1/2 \cdots(2)} \Rightarrow 兩式相減:3y={9\over 2} \Rightarrow y={3\over 2}代入(1) \Rightarrow x+3=5 \\ \Rightarrow x=2，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{\triangle ABC為正三角形\Rightarrow \angle ABC=60^\circ\\ BCFE為矩形 \Rightarrow \angle BCF=90^\circ}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$504=2^3\times 3^2\times 7 \Rightarrow \sqrt{504} =\sqrt{2^3} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt 7 =2\sqrt 2\times 3\times \sqrt{7} =2\times 3\times \sqrt{2\times 7} =6\sqrt{14} \\ =a\sqrt{b}\Rightarrow \cases{a=6\\b=14} \Rightarrow a+b=20，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\cases{甲:\{2,3,4\} \\ 乙:\{3,4,5\}} \Rightarrow (甲,乙)=\cases{(2,3) \Rightarrow 2+3=5\\ (2,4) \Rightarrow 2+4=6\\ (2,5) \Rightarrow 2+5=7\\ (3,3) \Rightarrow 3+3=6\\(3,4) \Rightarrow 3+4=7\\ (3,5)\Rightarrow 3+5=8\\ (4,3) \Rightarrow 4+3=7\\ (4,4) \Rightarrow 4+4=8\\ (4,5) \Rightarrow 4+5=9} \Rightarrow \cases{5出現1次\\ 6出現2次\\ 7出現3次\\ 8出現2次\\ 9出現1次}\Rightarrow 7出現最多次，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$2.45\times 98.7-(-0.55)\times 98.7 =2.45\times 98.7+0.55 \times 98.7 = (2.45+0.55)\times 98.7 \\=3\times 98.7=3\times(100-1.3) =300-3.9=296.1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$全部-良級-大果+(良級且大果)=800-80-100+10=630，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$利用長除法可得: 4x^2-3x-5=(x+2)(4x-11)+17 \Rightarrow \cases{商式:4x-11\\ 餘式:17} \\ \Rightarrow 商式+餘式=4x+6，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$乙\lt 丁\lt 丙 \Rightarrow 7.3\times 10^6\lt 丁\lt 5.4\times 10^7，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$2x(x+7)-10(x+7)=(2x-10)(x+7) =2(x-5)(x+7)=0 \\ \Rightarrow x=5,-7\Rightarrow \cases{a=5\\b=-7} \Rightarrow a+2b=5-14=-9，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$假設妹妹要買的書原價x元，哥哥分攤600元，代表哥哥少付720-600=120元，\\妹妹少付200-120=80元 \Rightarrow 妹妹分攤(x-80)元 \\ 依要買的書原價比例來分攤:也就是{哥哥原價\over 妹妹原價}= {哥哥分攤\over 妹妹分攤} \Rightarrow {720\over x} ={600\over x-80} \\\Rightarrow {6\over x}={5\over x-80} \Rightarrow 5x=6x-480 \Rightarrow x=480，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$依數線位置可知:a+b\lt a\lt b 且 b\lt 0, 可假設\cases{a=-3\\ b=-2} \Rightarrow b-a=1\Rightarrow Q在B的右邊，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$由於\cases{\overline{DE} =\overline{CF} =a\\ \overline{AF} =\overline{BE}=b \\ \angle BED =\angle AFC}，因此\triangle AFC與\triangle BED全等 (SAS) \Rightarrow \overline{BD}=\overline{AC}=9 \\\Rightarrow \overline{AD}=15-9=6 \Rightarrow ADEF周長=\overline{AF}+ \overline{EF}+ \overline{DE}+ \overline{AD}= (b+ \overline{EF} +a)+6\\ =\overline{BC}+6=16+6=22，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$L與x軸平行 \Rightarrow L: y=k，又L通過(-3,-1) \Rightarrow -1=k \Rightarrow L:y=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(D)} $$
解答:$$y=-(x+5)^2-20 \Rightarrow y坐標的最大值為-20，因此不可能有y=-15,或y=25的點，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:
$$正六邊形每一內角為{(6-2)\times 180^\circ\over 6}=120^\circ \Rightarrow \angle CDE=\angle DEF=120^\circ \\ 假設 \angle DEH=a^\circ, 則\angle EHI=60^\circ+a^\circ (三角形的外角)\\ 又\angle GEH=\angle EHI=正n邊形的內角 \Rightarrow \angle DEF+\angle DEH+ \angle GEH=360^\circ \\ \Rightarrow 120^\circ+ a^\circ+ 60^\circ+a^\circ=360^\circ \Rightarrow a=90 \Rightarrow 正n邊形的內角=60^\circ + 90^\circ=150^\circ\\ \Rightarrow {(n-2)\times 180^\circ \over n}=150^\circ \Rightarrow 150n=180(n-2) \Rightarrow 30n=360\Rightarrow n=12，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$\angle C=40^\circ \Rightarrow \angle A=90^\circ-40^\circ=50^\circ, 又\overline{AE}為\angle A的角平分線\Rightarrow \angle BAE=\angle DAE=25^\circ\\ D為直角三角形ABC的外接圓圓心\Rightarrow \overline{DA} =\overline{DB}=半徑 \Rightarrow \angle ABD=\angle A=50^\circ \\ \Rightarrow \angle AEB=180^\circ-50^\circ-25^\circ =105^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:$$2030-2023=7 \Rightarrow 2700\times(1+2.5\%)^7 =2700\times (1.025)^7，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$
解答:
$$假設菱形ABCD兩對角線交於P點，則 \overline{BP} =\overline{PD} ={1\over 2}\overline{PD} ={1\over 2} \cdot 24=12\\又\angle BPO=90^\circ \Rightarrow \overline{OB}^2 =\overline{OP}^2+ \overline{BP}^2 \Rightarrow 13^2= \overline{OP}^2 +12^2 \Rightarrow \overline{OP}^2 =25 \Rightarrow \overline{OP}=5 \\ 假設\overline{CO} =a \Rightarrow \overline{PA} =\overline{PC} =5+a \Rightarrow 半徑\overline{OA} =5+a+5=10+a=13 \Rightarrow a=3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$ABEF為長方形\Rightarrow \stackrel{\Large \frown}{EF} =\stackrel{\Large \frown}{AB}= 87^\circ \Rightarrow \stackrel{\Large \frown}{BE} =\stackrel{\Large \frown}{AF} ={1\over 2}(360^\circ-87^\circ\times 2) = 93^\circ \\ \Rightarrow \cases{\stackrel{\Large \frown}{BE} \gt \stackrel{\Large \frown}{BC} \Rightarrow E在\stackrel{\Large \frown}{CD}上 \\ \stackrel{\Large \frown}{AF} \lt \stackrel{\Large \frown}{AD} \Rightarrow F在\stackrel{\Large \frown}{AD}上} ，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$M=2^2\times 11\times k, 若k\gt 2,則M之外最大的因數是2\times 11\times k而不是2^2\times 11, 因此k=2\\ \qquad 因此M=2^3 \times 11\Rightarrow 8一定是M的因數 \Rightarrow 甲正確\\ N=3\times 11\times s,若s=2,9就不是N的因數 \Rightarrow 乙錯誤，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:
$$假設直線DE與\overline{BC}交於Q點\\ \cases{內錯角\angle CAE=\angle AED=65^\circ \Rightarrow \overline{AC} 平行\overline{DQ}\\\angle D =\angle C=65^\circ \Rightarrow \overline{AD}平行\overline{CQ}} \Rightarrow ACQD為平行四邊形 \\ \angle C=\angle BAC \Rightarrow \overline{AB}=\overline{BC}=5+8=13 \Rightarrow \overline{AE}= \overline{AB}-\overline{BE} =13-6=7 \\ 同理, \angle D=\angle AED \Rightarrow \overline{AD}=\overline{AE} =7 \Rightarrow \overline{CQ} =\overline{AD}=7 \Rightarrow \overline{FQ} =8-7=1 \\ 由於\overline{AD}平行\overline{FQ}, \triangle PQF與\triangle PDA相似 \Rightarrow {\overline{FQ} \over \overline{AD}}={1\over 7} ={\overline{FP}\over \overline{AP}} \Rightarrow \cases{\overline{AP} =7k\\ \overline{FP}=k} \\ \Rightarrow {\overline{AP} \over \overline{AF}}={\overline{AP} \over \overline{AP} +\overline{PF}} ={7k\over 7k+k} ={7\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:
$$甲作法: \cases{\triangle PAD與\triangle PCB全等 (SSS) \\\triangle PAB與\triangle PCD全等 (SSS)} \Rightarrow \cases{\triangle PAD面積=\triangle PCB面積\\ \triangle PAB面積=\triangle PCD面積} \\ \Rightarrow \cases{P到\overline{AD}的距離=P到\overline{BC}的距離 \\ P到\overline{AB}的距離=P到\overline{CD}的距離 } \Rightarrow 甲作法正確\\ 乙作法:\cases{\overline{PD}為\angle D的角平分線 \Rightarrow P到\overline{AD}的距離=P到 \overline{CD}的距離\\ \overline{PC}為\angle C的角平分線 \Rightarrow P到\overline{CD}的距離=P到 \overline{BC}的距離}\\ \Rightarrow P到\overline{AD}的距離=P到 \overline{BC}的距離, 但無法保證:P到 \overline{CD}的距離=P到 \overline{AB}的距離，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$
解答:$$120-V_實\le {V_實\over 10}+4 \Rightarrow 116\le {11\over 10}V_實 \Rightarrow V_實\ge 116\times {10\over 11}=105.45無條件進入106，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$\cases{1分鐘=1/60 小時\\ 200公分=2公尺= 2/1000=1/500公里} \Rightarrow y={{1\over 500}\over {1\over 60}}x=0.12x \Rightarrow y=0.12x，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$
解答:$$甲儀器故障，測出的速度比實際大，因此實際速度p\lt 60\\乙換小輪胎，其餘不變，相同轉速下，實際行走距離較短，因此速度比原來的慢，即q\lt 60\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$
解答:$$\textbf{(1)}第一週:週一5圈、週四5+2=7圈\\ 第二週:週一7圈、週四7+2=9圈，答:\bbox[red, 2pt]{9}圈 \\\textbf{(2)} 15公里=15000公尺=15000/400=37.5圈\\第一週的週一跑5圈,記為a_1=5、第二週的週一跑7圈,記為a_2=7,因此a_n為等差數列，公差=2 \\ \Rightarrow a_n=5+(n-1)2=37.5 \Rightarrow n=17.25 \Rightarrow \cases{a_{17} =37 \\a_{18} =39} \Rightarrow 第17週的週一跑17圈、週四跑19圈 \\ \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{第17週的星期四}，當日訓練距離會超過15公里$$
解答:
$$\textbf{(1)} 三個相同的五邊形 \Rightarrow \angle CDE=\angle CDF= \angle EDF \Rightarrow \angle CDE={360^\circ\over 3}= \bbox[red, 2pt]{120^\circ}$$
$$\textbf{(2)} 假設M,N為正六邊形相鄰的兩頂點，R為\overline{MN}中點，且\overline{DR}與\overline{EC},\overline{AB}分別交於P,Q,如上圖 \\ \triangle PCD三角分別為90^\circ-30^\circ-60^\circ ，又\overline{PC}={1\over 2} \overline{AB} =45 \Rightarrow \overline{DP}={45\over \sqrt 3} =15\sqrt 3 \\\Rightarrow \overline{DR} \gt 15\sqrt 3+130+50=180+15\sqrt 3 \\ 而\triangle DRN三內角也是30^\circ-90^\circ-60^\circ, 因此\overline{DN}= \overline{DR}\times {2\over \sqrt 3}=(180+15\sqrt 3 ) \times {2\over \sqrt 3}=30+120\sqrt 3 \\ \triangle DMN為一正三角形,所以正六邊形邊長\overline{MN} =\overline{DR} 至少 \bbox[red, 2pt]{30+120\sqrt 3}公分$$
====================== END ==========================解題僅供參考，其他國中會考試題及詳解
沒有留言:
張貼留言