臺北市立內湖高級工業職業學校 115 學年度正式教師甄選
一、填充題（ 每題 5 分，共 50 分）
解答:$$|||||x^2-2x-3|-4|-5|-6|-7|=x^2+x-89 \ge 0 \Rightarrow (x-{-1+\sqrt{357}\over 2})(x-{-1-\sqrt{357}\over 2})\ge 0\\ \Rightarrow 約(x-8.9)(x+9.9)\ge 0 \Rightarrow \cases{x\ge 8.9 \Rightarrow x^2-2x-3\ge 59\\ x\le -9.9 \Rightarrow x^2-2x-3\ge 115} \\ \Rightarrow |||||x^2-2x-3|-4|-5|-6|-7|=x^2-2x-3-4-5-6-7=x^2-2x-25=x^2+x-89\\ \Rightarrow 3x=64 \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{64\over 3}$$
解答:$$假設x^{1234}=(x^2-x+1)Q(x)+(ax+b) \\ x^2-x+1=0 \Rightarrow (x+1)(x^2-x+1)=0 \Rightarrow x^3+1=0 \Rightarrow x^3=-1 \\ \Rightarrow x^{1234}=(x^3)^{411}\cdot x=-x\Rightarrow 餘式為\bbox[red, 2pt]{-x}$$
解答:$$x=\tan \theta\Rightarrow \cases{\tan^3 \theta=x^3\\ \cos^2 \theta=1/x^2}\Rightarrow {2\sqrt 2\over 3}\tan^3\theta+ 8\cot^2\theta = f(x)={2\sqrt 2\over 3}x^3+{8\over x^2} \\ \Rightarrow {{\sqrt 2\over 3}x^3 + {\sqrt 2\over 3}x^3+ {8\over 3x^2} +{8\over 3x^2} +{8\over 3x^2} \over 5}\ge \sqrt[5]{ \left( {\sqrt 2\over 3}x^3 \right)^2 \left( {8\over 3x^2} \right)^3} \Rightarrow f(x)\ge 5\sqrt[5]{1024\over 243} = \bbox[red, 2pt]{20\over 3}$$
解答:$$假設兩對角線\overline{AC}與\overline{BD}交於O,並令\cases{\overline{OA} =\overline{OC}=x\\ \overline{OB}=\overline{OD}=y} \\ \overline{BC }=\sqrt{37}\gt \overline{AB}=\sqrt{23} \Rightarrow \cases{\angle AOB=60^\circ\\ \angle BOC=120^\circ} \Rightarrow \cases{\overline{AB}^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^\circ\\ \overline{BC}^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ} \\ \Rightarrow \cases{x^2+y^2-xy =23\\ x^2+y^2+ xy=37} \Rightarrow xy=7 \Rightarrow 平行四邊形ABCD面積=4\triangle OAB =4\cdot {1\over 2}xy \sin 60^\circ \\=2\cdot 7\cdot {\sqrt 3\over 2}= \bbox[red, 2pt]{7\sqrt 3}$$
解答:$$全班n位同學號碼總和S=1+2+\cdots+ n={n(n+1)\over 2} \Rightarrow {S-x\over n-1}={91\over 4} \\ \Rightarrow {n(n+1)/2-x\over n-1}={91\over 4} \Rightarrow 4x=2n^2-89n+91 \\ 由於1\le x\le n \Rightarrow 4\le 4x\le 4n\Rightarrow 4\le 2n^2-89n+91\le 4n \\ \Rightarrow \cases{2n^2-89n+91\le 4n \Rightarrow (2n-91)(n-1)\le 0 \Rightarrow n\le 91/2\\ 2n^2-89n+91\ge 4 \Rightarrow (2n-87)(n-1)\ge 0\Rightarrow n\ge 87/2} \Rightarrow {87\over 2}\le n\le {97\over 2} \Rightarrow n=44,45 \\ \Rightarrow \cases{n=44 \Rightarrow 4x=47 \Rightarrow x不是整數\\n=45\Rightarrow 4x=136 \Rightarrow x=34} \Rightarrow (n,x)= \bbox[red, 2pt]{(45,34)}$$
解答:$$乘積要大的分拆原則:\cases{不要1:乘積不變,總和變小\\ 不要大於等於5的數: k\ge 5 \Rightarrow k=3+(k-3) \Rightarrow 3\cdot (k-3)\gt k, \text{for }k\ge 5} \\ \Rightarrow 剩下2,3,4，盡可能拆成3的連乘積\Rightarrow 2026=674\times 3+4 \\ \Rightarrow 最大乘積= \underbrace{3\times 3\times \cdots\times 3}_{674個}\times 2\times 2= \bbox[red, 2pt]{3^{674} \times 4}$$
解答:$$n球任取2球，兩球號碼為x,y 且x\gt y，則有C^n_2種取法，球號差值k=x-y=1,2,\dots,n-1\\ \Rightarrow E_1={1\over C^n_2} \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k) ={n+1\over 3} \\ 先取1球,放回再取1球，共有n^2種可能。設兩次抽出的號碼為x,y, k=|x-y| \Rightarrow 0\le k\le n-1 \\ \Rightarrow \cases{k=0 \Rightarrow x=y有n種\\k\gt0 \Rightarrow 有2(n-k)種} \Rightarrow E_2={1\over n^2} \sum_{k=1}^{n-1} k\cdot 2(n-k) ={n\over 3}-{1\over 3n} \\ \Rightarrow \lim_{n\to \infty}(E_1-E_2) = \lim_{n\to \infty} \left( {n+1\over 3}-{n\over 3}+{1\over 3n} \right) = \bbox[red, 2pt]{1\over 3}$$
解答:$$假設\triangle ABC的外接圓圓心O \Rightarrow \overline{OA} =\overline{OB} =\overline{OC}=4\\ 依題意6=|\overrightarrow{AB}| \Rightarrow 36=|\overrightarrow{AB}|^2=|\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}|^2= |\overrightarrow{OA}|^2-2 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}+ |\overrightarrow{OB}|^2 \Rightarrow \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=-2 \\ 平行四邊形ABCD中:\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{BC} =(\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}) +(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) =\overrightarrow{OA}- 2\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC} \\ \Rightarrow |\overrightarrow{BD}| =|\overrightarrow{OA}- 2\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}| \le |\overrightarrow{OA}- 2\overrightarrow{OB}|+ |\overrightarrow{OC}| \\ 由於|\overrightarrow{OA}- 2\overrightarrow{OB}|^2 =|\overrightarrow{OA}|^2- 4\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} +4|\overrightarrow{OB}|^2=16-4\cdot(-2)+4\cdot 16=88 \\ \Rightarrow |\overrightarrow{OA}- 2\overrightarrow{OB}| =\sqrt{88} =2\sqrt{22} \Rightarrow |\overrightarrow{BD}| \le \bbox[red, 2pt]{2\sqrt{22}+4}$$
解答:
$$\Gamma:y=x^2 \Rightarrow c={1\over 4} \Rightarrow F(0,{1\over 4}) \\ P_n\in \Gamma \Rightarrow P_n=(x_n,x_n^2) \Rightarrow X_n=(x_n,0) \Rightarrow \overleftrightarrow{FX_n}: y=-{x\over 4x_n}+{1\over 4} \\ \Rightarrow P_{n+1}= (x_{n+1},x_{n+1}^2) \in \overleftrightarrow{FX_n} \Rightarrow x_{n+1}^2=-{x_{n+1} \over 4x_n}+{1\over 4} \Rightarrow 4x_nx_{n+1}^2=x_n-x_{n+1} \\ \Rightarrow x_{n+1}={-1+\sqrt{1+16x_n^2} \over 8x_n} ={2x\over 1+\sqrt{1+16x_n^2}} \Rightarrow |x_{n+1}|\lt |x_n| \Rightarrow \lim_{n\to \infty}x_n=0 \\ \lim_{n\to \infty} {\overline{X_nP_{n+1}} \over \overline{P_{n+1}X_{n+1}}} =\lim_{n\to \infty} {\sqrt{(x_n-x_{n+1})^2+x_{n+1}^4} \over x_{n+1}^2} =\lim_{n\to \infty} \sqrt{16x_n^2+1} =\sqrt{16\cdot 0+1} = \bbox[red, 2pt]1$$
二、 計算證明題（ 每題 10 分，共 50 分）
解答:$$由於分段選取會產生順序問題，不同順序的選取產生相同的結果，也就是\bbox[red, 2pt]{重複計算}的錯誤\\ 正確做法:將分組結果分類討論: \cases{2男3女 :C^5_2 \times C^4_3=40 \\ 3男2女 :C^5_3 \times C^4_2=60 \\ 4男1女 :C^5_4 \times C^4_1=20 } \Rightarrow 合計:\bbox[red, 2pt]{120}種$$
解答:$$\textbf{(1) 由正弦定理證明餘弦定理}: {a\over \sin A}={b\over \sin B}={c\over \sin C}=2R \\\Rightarrow \cases{a=2R\sin A =2R\sin(B+C)=2R( \sin B\cos C+ \sin C\cos B)=b\cos C+c\cos B\\ b=2R\sin B =2R\sin(A+C)=2R(\sin A\cos C+\sin C\cos A) =a\cos C+c\cos A\\ c=2R\sin C =2R\sin(A+B)= 2R(\sin A \cos B+ \sin B\cos A)=a\cos B+b\cos A} \\ \Rightarrow \cases{a^2=ab\cos C+ac\cos B\\ b^2=ab\cos C+ bc\cos A\\c^2=ac\cos B+bc\cos A} \Rightarrow b^2+c^2-a^2= 2bc\cos A \Rightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cos A, \bbox[red, 2pt]{故得證} \\\textbf{(2) 由餘弦定理證明正弦定理}: a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\\Rightarrow \cos A={b^2+c^2-a^2\over 2bc} \Rightarrow \sin^2A =1- \left( {b^2+c^2-a^2\over 2bc} \right)^2\\ \Rightarrow {\sin^2A\over a^2} ={(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c)(-a+b+c) \over 4a^2b^2c^2}; 同理可得{\sin^2A\over a^2} ={\sin^2B \over b^2} ={\sin^2 C\over c^2}\\ \Rightarrow {\sin A\over a}={\sin B\over b}={\sin C \over c}, \bbox[red,2pt]{故得證}$$
解答:$$假設選出的數字集合為A，並將其中的元素由小到大排列為 a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n\\依題意:從A任選兩數x,y，而同時滿足\cases{(x-y) \nmid (x+y) \\ (x-y) \nmid xy} \\ 若x-y=1 \Rightarrow 1 \mid (x+y)\Rightarrow 與條件不符\\ 若x-y=2 \Rightarrow x=y+2 \Rightarrow x+y=2(y+1) \Rightarrow (x-y) \mid (x+y) \Rightarrow 與條件不符\\ 因此A中任意兩數的差必須大於等於3 \Rightarrow a_{i+1}-a_i\ge 3, i=1,2,\dots,n-1 \Rightarrow a_n\ge a_1+3(n-1) \\ \Rightarrow a_n\ge 1+3(n-1)=3n-2 \Rightarrow 3n-2\le 2026 \Rightarrow n\le \bbox[red, 2pt]{676}$$
解答:$$f(x)=x^3+ ax^2+ bx+c \Rightarrow \cases{f(1)=1+a+b+c \\ f(1/2)=1/8+a/4+b/2+c\\ f(-1/2)=-1/8+a/4-b/2+c\\ f(-1)=-1+a-b+c} \\ \Rightarrow f(1)-2f({1\over 2})+2f(-{1\over 2})-f(-1)={3\over 2},同時\cases{f(1)\le M\\ f(1/2)\ge m \Rightarrow -2f(1/2)\le -2m\\ f(-1/2)\le M \Rightarrow 2f(-1/2)\le 2M\\ f(-1)\ge m \Rightarrow -f(-1)\le -m} \\ \Rightarrow f(1)-2f({1\over 2})+2f(-{1\over 2})-f(-1) \le M-2m+2M-m=3(M-m) \Rightarrow {3\over 2} \le 3(M-m) \\ \Rightarrow M-m\ge \bbox[red, 2pt]{1\over 2}$$
解答:$$\textbf{(1) }\langle F_n\rangle 為\text{法里數列(Farey sequence)},假設{23\over 80}的下一項為{c\over d},則\cases{80c-23d=1\\ n=100} \\ 由於\cases{80=3\times 23+11 \\23=2\times 11+1} \Rightarrow 80 \times(-2)-23 \times(-7) =1\Rightarrow \cases{c=23k-2\\d=80k-7}\\ 又n=100 \Rightarrow 0\lt d\le 100 \Rightarrow 0\lt 80k-7\le 100 \Rightarrow k=1 \Rightarrow \cases{c=21\\ d=73} \Rightarrow {23\over 80}的下一項為\bbox[red, 2pt]{21\over 73}\\ \textbf{(2) }\bbox[red, 2pt]{否證}\\ 依法里數列特性:|F_n|= |F_{n-1}|+\phi(n), 其中\phi(n):是不大於 n 且與 n 互質的正整數的個數 \\ \Rightarrow |F_2|=|F_1|+ \phi(2)=2+1=3 \Rightarrow |F_3|=|F_2|+ \phi(3)=3+2=5 \\\Rightarrow |F_4|= |F_3|+\phi(4)=5+2=7 \Rightarrow \cdots \Rightarrow |F_{10}|=|F_9|+ \phi(10)=29+4=33不是質數$$
解題僅供參考，其他教甄試題及詳解
沒有留言:
張貼留言