111年國中教育會考-數學詳解

111 年國中教育會考

第一部分：選擇題 (1 ～ 25 題)

解答： $$絕對值代表與原點的距離，由上圖可知：A離原點最近，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$6x^2+4x = 2x^2 \times 3+ 4x \Rightarrow 餘式為4x，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$156= 2^2 \times 3\times 13，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$假設底面正方形邊長為x，長方體的高為h，則x與h的位置如上圖所示；\\因此\cases{3x=12\\ 2x+h=22} \Rightarrow \cases{x=4\\ h=14} \Rightarrow 體積=4\times 4\times 14=224，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $${9\over 22}+{11\over 18} -({23\over 22}-{7\over 18})={9\over 22}+{11\over 18} -{23\over 22}+{7\over 18} =({9\over 22}-{23\over 22}) +({11\over 18} +{7\over 18}) ={-14\over 22}+{18\over 18}\\= {-7\over 11}+1={4\over 11}，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$(A) \cases{25^2=625\\ 30^2=900} \Rightarrow 2022 \gt 900\\ (B)\cases{30^2=900\\ 35^2 =1225} \Rightarrow 2022\gt 1225\\ (C)\cases{35^2= 1225 \\ 40^2= 1600} \Rightarrow 2022 \gt 1600\\ (D)\cases{40^2 =1600\\ 45^2=2025} \Rightarrow 1600\lt 2022\lt 2025\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$(6,5)至x+0y+2=0的距離= \left| {6+0+2\over \sqrt{1^2+0^2}}\right| = 8，\\當然也可以只考慮水平方向的距離，即6-(-2)=8，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$39x^2 +5x-14 = (3x+a)(bx+c) = 3bx^2 +(3c+ab)x +ac \Rightarrow \cases{3b=39\cdots(1)\\ 3c+ab=5 \cdots(2)\\ ac=-14 \cdots(3)}\\ 由(1)可得b=13 代入(2) \Rightarrow  3c+13a=5 \Rightarrow c={5-13a\over 3}代入(3) \Rightarrow {5a-13a^2\over 3}=-14\\ \Rightarrow 13a^2-5a-42=0 \Rightarrow (a-2)(13a+21)=0 \Rightarrow a=2(a=-21/13不是整數) \\ \Rightarrow 2c=-14 \Rightarrow c=-7\Rightarrow a+2c = 2-14=-12，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$12顆球抽出5顆，剩下12-5=7顆球；這7顆球只有1號、3號及5號符合要求，因此機率為3/7\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$(x-2)^2=3 \Rightarrow x-2= \pm \sqrt 3 \Rightarrow x=2\pm \sqrt 3 \Rightarrow \cases{a=2+\sqrt 3\\ b=2-\sqrt 3}\\ \Rightarrow 2a+b =  4+2\sqrt 3+2-\sqrt 3=6+\sqrt 3，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$假設預算為x元，則遊戲機售價=x+1200，售價打八折促銷價為(x+1200)\times 80\% = x-200\\ \Rightarrow 0.8x+960=x-200 \Rightarrow 0.2x =  1160 \Rightarrow x=1160\times 5=5800，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$p= 7.52\times 10^{-6} =0.00000752 \Rightarrow 0\lt p\lt 1且p比較接近0，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$令P為\overline{AB}的中點，則\overline{OP}\bot \overline{AB} 且\cases{\overline{OP}= 3\\ \overline{PC}=(6+2)\div 2-2=2} \Rightarrow \overline{OC} =\sqrt{3^2+2^2} =\sqrt{13}\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$低於60萬元的人數為5+5+10+40 +80+100+ 80+80+65+45 = 510萬人\\，因此所占比率為{510\over 750} = 0.68=68\%，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答： $$\overline{DE}為\overline{AB}的中垂線，因此 \overline{DE}也是\angle AEB的角平分線，即\angle 1=\angle 2\\ 又\cases{\angle 1+\angle B=90^\circ \\ \angle 3+\angle C \lt 90^\circ(因為\angle EAC\gt 90^\circ)} \Rightarrow \angle 3+\angle C \lt \angle 1+\angle B \Rightarrow \angle 3\lt \angle 1(因為\angle B=\angle C)\\ ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答： $$7\times 3+1.6-0.4(距落地架)-0.5(距一樓地面) = 21.7，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{\angle A與115^\circ 互補\\ \angle C與120^\circ互補} \Rightarrow \cases{\angle A= 180^\circ-115^\circ = 65^\circ\\ \angle C= 180^\circ-120^\circ=60^\circ} \\\Rightarrow \angle B=180^\circ -\angle A-\angle C= 180^\circ-65^\circ-60^\circ = 55^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$假設兩雙鞋定價為a及b，其中a\gt b；\cases{特惠活動:需支付a+0.6b元；\\使用折價券:需支付0.8a+0.8 b元；}\\ 兩者相差50元，兩種可能情形:\cases{折價券花費較少:a+0.6b-(0.8a+0.8b) = 0.2a-0.2b=50 \\特惠活動花費較少:0.8a+0.8b-(a+0.6b)= -0.2a+0.2b=50  }\\ \Rightarrow \cases{a-b= 250\\ b-a=250(不合，因為a\gt b)} \Rightarrow 折價券花費較少且定價相差250元，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$假設圓半徑為r，則\overline{GD} =\overline{GE}=\overline{GF} =r；又G為重心，則\overline{AG}=2\overline{GD} =2r;\\ F為切點\Rightarrow \angle AFG=90^\circ 再加上\cases{\overline{GF}=r\\ \overline{AG}=2r} \Rightarrow \cases{\angle GAF=30^\circ \\ \angle AGF=60^\circ} \Rightarrow \angle EAF=30^\circ\times 2=60^\circ\\ \Rightarrow \angle 1+\angle 2= 180^\circ -45^\circ-40^\circ-60^\circ = 35^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$\overline{DB}= \overline{DF} +\overline{FB}=14+8=22 \Rightarrow \overline{DB'}=\overline{DB}=22 \Rightarrow \overline{AC}= \overline{AB'}=10+22=32\\ 又\cases{\angle B'=\angle B=60^\circ =\angle A\\ \angle AFD =\angle BFG (對頂角)} \Rightarrow \triangle ADF\sim \triangle BGF (AAA)\Rightarrow \cfrac{\overline{AF}}{\overline{DF}} = \cfrac{\overline{BF}}{\overline{FG}} \Rightarrow {16\over 14}=\cfrac{8}{\overline{FG}}\\ \Rightarrow \overline{FG}=7  \Rightarrow \overline{CG} =\overline{AC}-\overline{AF}-\overline{FG} =32-16-7 = 9，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

解答：

$$\overline{AB}為直徑\Rightarrow \angle C=\angle D= \angle E=\angle F=90^\circ，又\overline{AB}=10 \Rightarrow \cases{\overline{BC}=\sqrt{10^2-6^2} =8\\ \overline{BD}=\sqrt{10^2-8^2} =6\\ \overline{BE}=\sqrt{10^2-5^2} =5\sqrt 3\\ \overline{BF}=\sqrt{10^2-9^2} =\sqrt{19} }\\ 又\cases{\angle C=\angle D=90^\circ \\ \overline{AC}=\overline{BD} =6\\ \overline{BC}=\overline{AD}=8 } \Rightarrow \triangle ACB\cong \triangle BDA \Rightarrow \angle CAB=\angle DBA \\\Rightarrow \stackrel{\Large{\frown}}{CB} = \stackrel{\Large{\frown}}{AD} \Rightarrow  \stackrel{\Large{\frown}}{AC} + \stackrel{\Large{\frown}}{AD}=\stackrel{\Large{\frown}}{AC} + \stackrel{\Large{\frown}}{BC}=\stackrel{\Large{\frown}}{AB};  而\angle BAF \ne \angle ABE \Rightarrow  \stackrel{\Large{\frown}}{AE} + \stackrel{\Large{\frown}}{AF} \ne \stackrel{\Large{\frown}}{AB} ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

解答：

$$圖形平移前後皆對稱x=-6，也就是\cases{(a+b)\div 2=-6\\ (c+d)\div 2=-6} \Rightarrow a+b=c+d\\ 原圖形凹向下，往上平移後圖形與x軸兩交點距離變大，即(d-c)\gt (b-a)，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

解答： $$\cases{\angle B=\angle FAC\\ \overline{BD}=\overline{AC}\\ \angle BDE=\angle C} \Rightarrow \triangle ACF \cong \triangle BDE (ASA) \Rightarrow \triangle BDE面積=\triangle ACF面積 ;\\假設\triangle BDE面積=\triangle ACF面積=5k;而\triangle ABF面積:\triangle ACF面積= \overline{BF}: \overline{CF}\\ =(7+4):5 = 11:5 \Rightarrow \triangle ABF面積=11k \Rightarrow 四邊形ADEF面積= \triangle ABF-\triangle BDE\\=11k-5k=6k \Rightarrow {ADEF\over \triangle ABC}={6k\over 11k+5k} ={3\over 8}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{PA-20發光效率={1440\over 20} =72\\ PB-14發光效率={1200\over 14} =85{5\over 7}}\Rightarrow PA-20 \not \gt PB-14 \Rightarrow 甲錯誤\\ \begin{array}{}PA 類別& 功率&光通量& 發光效能\\\hline PA-20 & 20 & 1440 & 72\\ PA-30 & 30 & 2340 & 78\\ PA-40 & 40 & 3360 & 84\\\hline \end{array} \Rightarrow 功率越大，效能越大\Rightarrow 乙正確，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

解答： $$\cases{基本方案: 90支PA-40一小時的電費=90\times {40\over 1000}\times 5 =18元\\省電方案: 120支PB-28一小時的電費= 120\times {28\over 1000}\times 5 =16.8元} \\ \Rightarrow 一小時電費差價18-16.8=1.2元，而施工費用相差60000-45000=15000元，\\ 因此需要{15000\over 1.2}=12500小時後，省下的電費才會高於施工費用，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

第二部分：非選擇題 (1 ～ 2 題 )

解答： $$(1)15天=15\times 24=360小時 \Rightarrow 細胞可分裂360\div 20 = 18次\Rightarrow 15天後分裂成4^{18}個細胞 \\ \qquad \Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{18}\\(2)4^{18} =2^{36}，而8公克的綠藻粉需要8\times 60億個細胞，\\\qquad 由於2^{32} \le 60億\le 2^{33} \Rightarrow 8\times 2^{32} \le 8\times 60億\le 8\times 2^{33} \Rightarrow 2^{35} \le 8\times 60億\le 2^{36} =4^k \\\qquad \Rightarrow 4^k=2^{36}個綠藻細胞\bbox[red,2pt]{足夠}製作8公克綠藻粉$$

解答： $$(1)11-4=\bbox[red,2pt]{7}\\(2)一副完整的牌有大牌4\times 5=20張、小牌52-20=32張；\\假設已發出28張牌中，有小牌a張、大牌b張，則\cases{a+b=28\\ a-b=10} \Rightarrow \cases{a=19\\ b=9} \\\Rightarrow \cases{剩下小牌32-19=13張\\ 剩下大牌20-9=11張} \Rightarrow 下一張發出大牌的機率為{11\over 13+11} =\bbox[red,2pt]{11\over 24}$$